例1 (2026·南京鼓楼区金陵中学月考)某校组织学生从学校到仙林湖环湖跑,匀速前进,七(1)班师生共42人,每6人排成一排,相邻两排之间间隔1米,途中经过一个桥AB,队伍从开始上桥到刚好完全离开桥共用了100秒,当队尾刚好走到桥的一端B处时,排在队尾的班长发现小蒋还在桥的另一端A处拍照,于是以队伍1.5倍的速度跑去找小蒋,同时队伍仍按原速度继续前行,40秒后,小蒋以1.2米/秒的速度往队伍方向前进,小蒋行进20秒后与班长相遇,相遇后两人以队伍2倍的速度前行追赶队伍.
(1)七(1)班的队伍长度为米.
(2)求班级队伍行进的速度.
(3)班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的老师一共用了多少时间?
解析 (1)由师生总人数及每排人数,可计算排数,再根据相邻两排之间间隔1米,可得出结论.
(2)可设班级队伍行进的速度为$x$米/秒,则班长去找小蒋的速度为$1.5x$米/秒,根据班长与小蒋在桥上的相遇过程,可求得$x$的值.
(3)求出班长与队首老师之间的距离,按照追及问题模型解题即可.
答案 (1)6
(2)设班级队伍行进的速度为$x$米/秒,则班长去找小蒋的速度为$1.5x$米/秒.由题意,得
$100x=1.5x(40+20)+1.2×20+6$,解得$x=3$.
故班级队伍行进的速度为3米/秒.
(3)设小蒋与班长相遇后两人追上队首的老师用了$y$秒,小蒋与班长的速度为6米/秒,他们与队首的老师的距离为$1.5×3×60+3×60+6=456$(米).
根据题意,得$6y-3y=456$,
解得$y=152$,$60+152=212$(秒).
故班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的老师一共用了212秒.
(1)七(1)班的队伍长度为米.
(2)求班级队伍行进的速度.
(3)班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的老师一共用了多少时间?
解析 (1)由师生总人数及每排人数,可计算排数,再根据相邻两排之间间隔1米,可得出结论.
(2)可设班级队伍行进的速度为$x$米/秒,则班长去找小蒋的速度为$1.5x$米/秒,根据班长与小蒋在桥上的相遇过程,可求得$x$的值.
(3)求出班长与队首老师之间的距离,按照追及问题模型解题即可.
答案 (1)6
(2)设班级队伍行进的速度为$x$米/秒,则班长去找小蒋的速度为$1.5x$米/秒.由题意,得
$100x=1.5x(40+20)+1.2×20+6$,解得$x=3$.
故班级队伍行进的速度为3米/秒.
(3)设小蒋与班长相遇后两人追上队首的老师用了$y$秒,小蒋与班长的速度为6米/秒,他们与队首的老师的距离为$1.5×3×60+3×60+6=456$(米).
根据题意,得$6y-3y=456$,
解得$y=152$,$60+152=212$(秒).
故班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的老师一共用了212秒.
答案：$\boldsymbol{6}$
(2) 设班级队伍行进的速度为$x$米/秒，则班长去找小蒋的速度为$1.5x$米/秒。
由题意列方程：
$100x=1.5x×(40+20)+1.2×20+6$
解得：$x=3$
答：班级队伍行进的速度为3米/秒。
(3) 设小蒋与班长相遇后，两人追上队首的老师用了$y$秒。
相遇后两人的行进速度为$3×2=6$米/秒，此时两人与队首老师的距离为：
$1.5×3×60 + 3×60 + 6=456 \mathrm{ 米}$
由追及关系列方程：
$6y-3y=456$
解得：$y=152$
总用时为$40+20+152=212$秒
答：班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的老师一共用了212秒。
(2) 设班级队伍行进的速度为$x$米/秒，则班长去找小蒋的速度为$1.5x$米/秒。
由题意列方程：
$100x=1.5x×(40+20)+1.2×20+6$
解得：$x=3$
答：班级队伍行进的速度为3米/秒。
(3) 设小蒋与班长相遇后，两人追上队首的老师用了$y$秒。
相遇后两人的行进速度为$3×2=6$米/秒，此时两人与队首老师的距离为：
$1.5×3×60 + 3×60 + 6=456 \mathrm{ 米}$
由追及关系列方程：
$6y-3y=456$
解得：$y=152$
总用时为$40+20+152=212$秒
答：班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的老师一共用了212秒。
解析：
【分析】
（1）先计算队伍排数：总人数42人，每6人一排，可得排数为$42÷6=7$排，间隔数=排数-1，结合每段间隔1米，即可算出队伍长度。
（2）设队伍行进速度为$x$米/秒，则班长速度为$1.5x$米/秒。等量关系：队伍100秒行驶的路程（桥长+队伍长）=班长往返走的路程+小蒋走的路程+队伍长，据此列方程求解即可。
（3）先计算班长和小蒋相遇时，两人与队首的距离：从班长出发到相遇共60秒，这段时间班长反向走的路程+队伍前行的路程+队伍本身长度就是追及路程。相遇后两人速度是队伍速度的2倍，根据追及时间=追及路程÷速度差算出追及时间，加之前的60秒就是总时长。
【解析】
（1）队伍排数：$42÷6=7$（排），间隔数为$7-1=6$（个），队伍长度为$6×1=6$（米）。
（2）设班级队伍行进的速度为$x$米/秒，则班长去找小蒋的速度为$1.5x$米/秒。
由题意列方程：
$100x=1.5x×(40+20)+1.2×20+6$
整理得$100x=90x+30$
解得$x=3$
（3）设小蒋与班长相遇后，两人追上队首的老师用了$y$秒。
相遇后两人的行进速度为$3×2=6$米/秒，此时两人与队首老师的距离为：
$1.5×3×60 + 3×60 + 6=456$（米）
由追及关系列方程：
$6y-3y=456$
解得$y=152$
总用时为$40+20+152=212$（秒）
【答案】
（1）$\boldsymbol{6}$
（2）班级队伍行进的速度为3米/秒
（3）班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的老师一共用了212秒
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇追及，间隔问题
【点评】
本题是行程类综合应用题，梯度设置合理，解题关键是理清不同运动阶段各主体的路程、速度、时间关系，找准等量关系建立方程，能有效锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
（1）先计算队伍排数：总人数42人，每6人一排，可得排数为$42÷6=7$排，间隔数=排数-1，结合每段间隔1米，即可算出队伍长度。
（2）设队伍行进速度为$x$米/秒，则班长速度为$1.5x$米/秒。等量关系：队伍100秒行驶的路程（桥长+队伍长）=班长往返走的路程+小蒋走的路程+队伍长，据此列方程求解即可。
（3）先计算班长和小蒋相遇时，两人与队首的距离：从班长出发到相遇共60秒，这段时间班长反向走的路程+队伍前行的路程+队伍本身长度就是追及路程。相遇后两人速度是队伍速度的2倍，根据追及时间=追及路程÷速度差算出追及时间，加之前的60秒就是总时长。
【解析】
（1）队伍排数：$42÷6=7$（排），间隔数为$7-1=6$（个），队伍长度为$6×1=6$（米）。
（2）设班级队伍行进的速度为$x$米/秒，则班长去找小蒋的速度为$1.5x$米/秒。
由题意列方程：
$100x=1.5x×(40+20)+1.2×20+6$
整理得$100x=90x+30$
解得$x=3$
（3）设小蒋与班长相遇后，两人追上队首的老师用了$y$秒。
相遇后两人的行进速度为$3×2=6$米/秒，此时两人与队首老师的距离为：
$1.5×3×60 + 3×60 + 6=456$（米）
由追及关系列方程：
$6y-3y=456$
解得$y=152$
总用时为$40+20+152=212$（秒）
【答案】
（1）$\boldsymbol{6}$
（2）班级队伍行进的速度为3米/秒
（3）班长从B处返回找小蒋开始到他们两人追上队首的老师一共用了212秒
【知识点】
一元一次方程应用，行程相遇追及，间隔问题
【点评】
本题是行程类综合应用题，梯度设置合理，解题关键是理清不同运动阶段各主体的路程、速度、时间关系，找准等量关系建立方程，能有效锻炼逻辑分析能力。
【难度系数】
0.6
1.（2025·烟台中考）某商场打折销售一款风扇，若按标价的6折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的9折出售，则每台风扇盈利95元.这款风扇每台的标价为(
A.350元
B.320元
C.270元
D.220元
A
).A.350元
B.320元
C.270元
D.220元
答案：A
[解析]设这款风扇每台的标价为$x$元，
根据题意,得$0.6x+10=0.9x-95$,解得$x=350$,
所以这款风扇每台的标价为350元.故选A.
[解析]设这款风扇每台的标价为$x$元，
根据题意,得$0.6x+10=0.9x-95$,解得$x=350$,
所以这款风扇每台的标价为350元.故选A.
解析：
【分析】
解这道题的核心是找到题目中恒定不变的量，即风扇的进价，无论按几折销售，风扇的成本（进价）都是固定的。我们可以先设风扇的标价为未知数，分别结合两种打折销售的盈亏情况表示出进价，再根据进价相等列出一元一次方程，解方程即可求出标价。
【解析】
设这款风扇每台的标价为$x$元。
按标价的6折出售时每台亏损10元，因此进价可表示为$(0.6x+10)$元；
按标价的9折出售时每台盈利95元，因此进价可表示为$(0.9x-95)$元。
根据进价固定，列方程得：
$0.6x+10=0.9x-95$
移项得：$0.9x-0.6x=10+95$
合并同类项得：$0.3x=105$
系数化为1得：$x=350$
因此这款风扇每台的标价为350元，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，销售盈亏问题
【点评】
本题属于销售类一元一次方程应用题，解题关键是抓住“进价不变”这一隐含等量关系建立方程，是常考的基础题型，熟练掌握销售问题中售价、进价、利润的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是找到题目中恒定不变的量，即风扇的进价，无论按几折销售，风扇的成本（进价）都是固定的。我们可以先设风扇的标价为未知数，分别结合两种打折销售的盈亏情况表示出进价，再根据进价相等列出一元一次方程，解方程即可求出标价。
【解析】
设这款风扇每台的标价为$x$元。
按标价的6折出售时每台亏损10元，因此进价可表示为$(0.6x+10)$元；
按标价的9折出售时每台盈利95元，因此进价可表示为$(0.9x-95)$元。
根据进价固定，列方程得：
$0.6x+10=0.9x-95$
移项得：$0.9x-0.6x=10+95$
合并同类项得：$0.3x=105$
系数化为1得：$x=350$
因此这款风扇每台的标价为350元，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一元一次方程的应用，销售盈亏问题
【点评】
本题属于销售类一元一次方程应用题，解题关键是抓住“进价不变”这一隐含等量关系建立方程，是常考的基础题型，熟练掌握销售问题中售价、进价、利润的关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
2. 某市有甲、乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多$\frac{1}{2}$。
(1)乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用由政府拨款70000元(全部用完)，则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
(1)乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为4000元，乙工程队每天施工费用为2000元，若该工程总费用由政府拨款70000元(全部用完)，则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
答案：(1)$20×(1+\frac{1}{2})=30$(天).
故乙工程队单独完成这项工程需要30天.
(2)设还需要$x$天才能完成.
依题意,得$\frac{5+x}{20}+\frac{x}{30}=1$,解得$x=9$.
故还需要9天才能完成.
(3)设甲工程队需要施工$y$天,则乙工程队需要施工$\frac{1-\frac{y}{20}}{\frac{1}{30}}=(30-\frac{3}{2}y)$天.
依题意,得$4000y+2000(30-\frac{3}{2}y)=70000$,
解得$y=10$,则乙需要$30-\frac{3}{2}×10=15$(天).
故甲工程队需要施工10天,乙工程队需要施工15天.
故乙工程队单独完成这项工程需要30天.
(2)设还需要$x$天才能完成.
依题意,得$\frac{5+x}{20}+\frac{x}{30}=1$,解得$x=9$.
故还需要9天才能完成.
(3)设甲工程队需要施工$y$天,则乙工程队需要施工$\frac{1-\frac{y}{20}}{\frac{1}{30}}=(30-\frac{3}{2}y)$天.
依题意,得$4000y+2000(30-\frac{3}{2}y)=70000$,
解得$y=10$,则乙需要$30-\frac{3}{2}×10=15$(天).
故甲工程队需要施工10天,乙工程队需要施工15天.
解析：
【分析】
这是一道工程类应用题，分三小问逐步求解：
(1) 第一问求乙单独完成的时间，已知乙的时间比甲多$\frac{1}{2}$，把甲单独完成的时间看作单位“1”，乙对应的分率是$1+\frac{1}{2}$，用甲的时间乘对应分率即可得到乙的时间。
(2) 第二问是合作完工问题，工程问题通常将总工作量设为单位“1”，先求出甲、乙的工作效率（甲每天做$\frac{1}{20}$，乙每天做$\frac{1}{30}$）。甲先做5天，后续合作$x$天，因此甲总共工作$(5+x)$天，乙工作$x$天，根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”列一元一次方程求解即可。
(3) 第三问结合费用列方程，设甲施工$y$天，先根据工作量关系求出乙的施工时间表达式：总工作量减去甲完成的工作量，再除以乙的工作效率就是乙的施工时间。再根据“甲的总施工费+乙的总施工费=70000元”的等量关系列方程，求解得到甲的施工天数后，再代入计算乙的施工天数。
【解析】
(1) 乙单独完成的时间是甲的$1+\frac{1}{2}$，甲单独完成需要20天，因此：
$20×(1+\frac{1}{2})=30$（天）
(2) 设还需要$x$天才能完成。
把总工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙的工作效率为$\frac{1}{30}$。甲一共工作$(5+x)$天，乙工作$x$天，可列方程：
$\frac{5+x}{20}+\frac{x}{30}=1$
去分母得：$3(5+x)+2x=60$
展开整理得：$5x=45$
解得：$x=9$
(3) 设甲工程队需要施工$y$天。
甲完成的工作量为$\frac{y}{20}$，剩余工作量为$1-\frac{y}{20}$，则乙的施工时间为：
$\frac{1-\frac{y}{20}}{\frac{1}{30}}=30-\frac{3}{2}y$（天）
根据总费用70000元全部用完，列方程：
$4000y+2000(30-\frac{3}{2}y)=70000$
化简整理得：$1000y=10000$
解得：$y=10$
则乙的施工时间为$30-\frac{3}{2}×10=15$（天）
【答案】
(1) 乙工程队单独完成这项工程需要30天；
(2) 还需要9天才能完成；
(3) 甲工程队需要施工10天，乙工程队需要施工15天。
【知识点】
工程问题，一元一次方程的应用，分数运算
【点评】
本题是工程类的典型常考题，将分数计算、工程公式和一元一次方程的应用结合起来考察，解题的核心是把总工作量看作单位“1”，熟练运用“工作量=工作效率×工作时间”的关系找准等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7
这是一道工程类应用题，分三小问逐步求解：
(1) 第一问求乙单独完成的时间，已知乙的时间比甲多$\frac{1}{2}$，把甲单独完成的时间看作单位“1”，乙对应的分率是$1+\frac{1}{2}$，用甲的时间乘对应分率即可得到乙的时间。
(2) 第二问是合作完工问题，工程问题通常将总工作量设为单位“1”，先求出甲、乙的工作效率（甲每天做$\frac{1}{20}$，乙每天做$\frac{1}{30}$）。甲先做5天，后续合作$x$天，因此甲总共工作$(5+x)$天，乙工作$x$天，根据“甲的总工作量+乙的总工作量=总工作量1”列一元一次方程求解即可。
(3) 第三问结合费用列方程，设甲施工$y$天，先根据工作量关系求出乙的施工时间表达式：总工作量减去甲完成的工作量，再除以乙的工作效率就是乙的施工时间。再根据“甲的总施工费+乙的总施工费=70000元”的等量关系列方程，求解得到甲的施工天数后，再代入计算乙的施工天数。
【解析】
(1) 乙单独完成的时间是甲的$1+\frac{1}{2}$，甲单独完成需要20天，因此：
$20×(1+\frac{1}{2})=30$（天）
(2) 设还需要$x$天才能完成。
把总工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{20}$，乙的工作效率为$\frac{1}{30}$。甲一共工作$(5+x)$天，乙工作$x$天，可列方程：
$\frac{5+x}{20}+\frac{x}{30}=1$
去分母得：$3(5+x)+2x=60$
展开整理得：$5x=45$
解得：$x=9$
(3) 设甲工程队需要施工$y$天。
甲完成的工作量为$\frac{y}{20}$，剩余工作量为$1-\frac{y}{20}$，则乙的施工时间为：
$\frac{1-\frac{y}{20}}{\frac{1}{30}}=30-\frac{3}{2}y$（天）
根据总费用70000元全部用完，列方程：
$4000y+2000(30-\frac{3}{2}y)=70000$
化简整理得：$1000y=10000$
解得：$y=10$
则乙的施工时间为$30-\frac{3}{2}×10=15$（天）
【答案】
(1) 乙工程队单独完成这项工程需要30天；
(2) 还需要9天才能完成；
(3) 甲工程队需要施工10天，乙工程队需要施工15天。
【知识点】
工程问题，一元一次方程的应用，分数运算
【点评】
本题是工程类的典型常考题，将分数计算、工程公式和一元一次方程的应用结合起来考察，解题的核心是把总工作量看作单位“1”，熟练运用“工作量=工作效率×工作时间”的关系找准等量关系列方程求解。
【难度系数】
0.7