例3（2025·驻马店正阳三模）如图，某校综合实践活动小组在校园附近开发A，B两块菜地，一块菜地A在学校(点O)的北偏东40°方向，另一块菜地B在学校的南偏东30°方向，则∠AOB的度数为（
A.110°
B.115°
C.120°
D.125°
名师启发 一块菜地A在学校(点O)的北偏东40°方向，另一块菜地B在学校的南偏东30°方向，由题意知，∠AOB＝180°－40°－30°。
关键提醒
本题主要考查了方位角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数。
A
）。A.110°
B.115°
C.120°
D.125°
名师启发 一块菜地A在学校(点O)的北偏东40°方向，另一块菜地B在学校的南偏东30°方向，由题意知，∠AOB＝180°－40°－30°。
关键提醒
本题主要考查了方位角，解题的关键是根据题意找出图中角的度数。
答案：A
解析：
【分析】
首先明确方位角的定义：“北偏东40°”是从正北方向向东旋转40°得到的方向，“南偏东30°”是从正南方向向东旋转30°得到的方向。观察图形可知正北和正南方向共线，构成180°的平角，要求∠AOB的度数，只需用平角的总度数减去OA与正北的夹角、OB与正南的夹角即可。
【解析】
解：根据方位角的含义：
1. 正北方向与正南方向在同一直线上，二者形成的平角为180°；
2. 点A在O北偏东40°，即正北方向与OA的夹角为40°；
3. 点B在O南偏东30°，即正南方向与OB的夹角为30°；
因此$∠ AOB = 180° - 40° - 30° = 110°$。
【答案】
A
【知识点】
方位角的认识，角的和差计算，平角的定义
【点评】
本题是基础题，解题核心是正确理解方位角的表示意义，结合平角的度数特征进行简单的角的和差运算即可求解。
【难度系数】
0.85
首先明确方位角的定义：“北偏东40°”是从正北方向向东旋转40°得到的方向，“南偏东30°”是从正南方向向东旋转30°得到的方向。观察图形可知正北和正南方向共线，构成180°的平角，要求∠AOB的度数，只需用平角的总度数减去OA与正北的夹角、OB与正南的夹角即可。
【解析】
解：根据方位角的含义：
1. 正北方向与正南方向在同一直线上，二者形成的平角为180°；
2. 点A在O北偏东40°，即正北方向与OA的夹角为40°；
3. 点B在O南偏东30°，即正南方向与OB的夹角为30°；
因此$∠ AOB = 180° - 40° - 30° = 110°$。
【答案】
A
【知识点】
方位角的认识，角的和差计算，平角的定义
【点评】
本题是基础题，解题核心是正确理解方位角的表示意义，结合平角的度数特征进行简单的角的和差运算即可求解。
【难度系数】
0.85
例4 若$∠α＝37°16'$，则$∠α$的补角度数为
名师启发 相加等于$180°$的两角互为补角，也称作两角互补，即一个角是另一个角的补角.因而求这个角的补角，就可以用$180°$减去这个角的度数.
关键提醒 本题考查了补角的定义，互补反映了两个角之间的数量关系，即和是$180°$.
142°44′
.名师启发 相加等于$180°$的两角互为补角，也称作两角互补，即一个角是另一个角的补角.因而求这个角的补角，就可以用$180°$减去这个角的度数.
关键提醒 本题考查了补角的定义，互补反映了两个角之间的数量关系，即和是$180°$.
答案：142°44′
解析：
【分析】解题时首先回忆补角的定义：互为补角的两个角的和为180°，因此求∠α的补角，只需用180°减去∠α的度数即可。其次要注意度、分的换算为60进制，即1°=60′，做减法时如果被减数的分位不够减，需要从度位借1°转化为60′后再进行计算。
【解析】根据补角的定义，互为补角的两角之和为180°，因此∠α的补角度数为180°减去∠α的度数。
已知∠α＝37°16'，代入计算：
将180°转化为179°60'（满足1°=60'的换算规则，方便分位相减），
则180° - 37°16' = 179°60' - 37°16' = (179°-37°)+(60'-16') = 142°44'。
【答案】
142°44′
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念应用类题目，核心是掌握补角的数量关系，计算时注意度分秒的60进制借位规则，就能避免出错。
【难度系数】
0.85
【解析】根据补角的定义，互为补角的两角之和为180°，因此∠α的补角度数为180°减去∠α的度数。
已知∠α＝37°16'，代入计算：
将180°转化为179°60'（满足1°=60'的换算规则，方便分位相减），
则180° - 37°16' = 179°60' - 37°16' = (179°-37°)+(60'-16') = 142°44'。
【答案】
142°44′
【知识点】
补角的定义；度分秒的运算
【点评】
本题是基础概念应用类题目，核心是掌握补角的数量关系，计算时注意度分秒的60进制借位规则，就能避免出错。
【难度系数】
0.85
例5 (2025·苏州模拟)已知:如图,直线AB,CD相交于点O,OA平分∠EOC,若∠EOC : ∠EOD=2:3,则∠BOD的度数为
名师启发 先设∠EOC=2x,∠EOD=3x,根据平角的定义得$2x+3x=180°$,解出∠EOC的度数,再根据角平分线的定义得到∠AOC的度数,然后根据对顶角相等得到∠BOD的度数.
36°
.名师启发 先设∠EOC=2x,∠EOD=3x,根据平角的定义得$2x+3x=180°$,解出∠EOC的度数,再根据角平分线的定义得到∠AOC的度数,然后根据对顶角相等得到∠BOD的度数.
答案：36°
设$∠EOC=2x,∠EOD=3x$。
因为$∠EOC+∠EOD=180°$,
所以$2x+3x=180°$,解得$x=36°$,
所以$∠EOC=2x=72°$.
因为OA平分$∠EOC$,
所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠EOC=\frac{1}{2}×72°=36°$,
所以$∠BOD=∠AOC=36°$.
→对顶角相等
设$∠EOC=2x,∠EOD=3x$。
因为$∠EOC+∠EOD=180°$,
所以$2x+3x=180°$,解得$x=36°$,
所以$∠EOC=2x=72°$.
因为OA平分$∠EOC$,
所以$∠AOC=\frac{1}{2}∠EOC=\frac{1}{2}×72°=36°$,
所以$∠BOD=∠AOC=36°$.
→对顶角相等
解析：
【分析】
解题时首先观察到∠EOC与∠EOD互为邻补角，二者之和为平角180°，结合已知的角度比2:3，可通过设参数的方法列方程求出∠EOC的度数；再根据OA平分∠EOC，利用角平分线的定义求出∠AOC的度数；最后根据对顶角相等的性质，∠BOD与∠AOC是对顶角，即可得到∠BOD的度数。
【解析】
设$∠ EOC=2x$，$∠ EOD=3x$。
因为$∠ EOC$和$∠ EOD$互为邻补角，所以$∠ EOC+∠ EOD=180°$，
即$2x+3x=180°$，解得$x=36°$，
所以$∠ EOC=2x=72°$。
因为OA平分$∠ EOC$，所以$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×72°=36°$，
又因为$∠ BOD$和$∠ AOC$是对顶角，根据对顶角相等可得$∠ BOD=∠ AOC=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
邻补角的性质；角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，综合考查了平面图形初步中常见的角的性质，解题核心是利用比例设元结合平角定义求出相关角的度数，再通过角的等量关系转换得到结果，熟练掌握基础角的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察到∠EOC与∠EOD互为邻补角，二者之和为平角180°，结合已知的角度比2:3，可通过设参数的方法列方程求出∠EOC的度数；再根据OA平分∠EOC，利用角平分线的定义求出∠AOC的度数；最后根据对顶角相等的性质，∠BOD与∠AOC是对顶角，即可得到∠BOD的度数。
【解析】
设$∠ EOC=2x$，$∠ EOD=3x$。
因为$∠ EOC$和$∠ EOD$互为邻补角，所以$∠ EOC+∠ EOD=180°$，
即$2x+3x=180°$，解得$x=36°$，
所以$∠ EOC=2x=72°$。
因为OA平分$∠ EOC$，所以$∠ AOC=\frac{1}{2}∠ EOC=\frac{1}{2}×72°=36°$，
又因为$∠ BOD$和$∠ AOC$是对顶角，根据对顶角相等可得$∠ BOD=∠ AOC=36°$。
【答案】
$36°$
【知识点】
邻补角的性质；角平分线的定义；对顶角的性质
【点评】
本题属于角度计算的基础题，综合考查了平面图形初步中常见的角的性质，解题核心是利用比例设元结合平角定义求出相关角的度数，再通过角的等量关系转换得到结果，熟练掌握基础角的性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
例6 已知∠A的两边与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A=
名师启发 因为两个角的两边分别垂直，所以这两个角相等或互补.又∠A比∠B的3倍少40°，可设∠B是x°，列方程即可解决问题.
20°或125°
.名师启发 因为两个角的两边分别垂直，所以这两个角相等或互补.又∠A比∠B的3倍少40°，可设∠B是x°，列方程即可解决问题.
答案：
20°或125°
设$∠B$是$x°$.
①当两个角相等时，如图(1)所示，$∠B=∠A=x°$，
$x=3x-40$,解得$x=20$,故$∠A=20°$；
②当两个角互补时，如图(2)所示，
$x+3x-40=180$,解得$x=55$,
故$∠A=3×55°-40°=125°$.
综上所述，$∠A$的度数为$20°$或$125°$.
20°或125°
设$∠B$是$x°$.
①当两个角相等时，如图(1)所示，$∠B=∠A=x°$，
$x=3x-40$,解得$x=20$,故$∠A=20°$；
②当两个角互补时，如图(2)所示，
$x+3x-40=180$,解得$x=55$,
故$∠A=3×55°-40°=125°$.
综上所述，$∠A$的度数为$20°$或$125°$.
解析：
【分析】
首先回忆角的相关性质：若两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，所以本题需分两种情况讨论。题目给出∠A比∠B的3倍少40°，我们可以设∠B为x°，将∠A用含x的式子表示，再分别根据两角相等、两角互补的数量关系列一元一次方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
设∠B的度数为$x°$，则∠A的度数为$(3x-40)°$，分两种情况讨论：
① 当两个角相等时，如图(1)所示：
此时$∠ A = ∠ B$，列方程得：
$x = 3x - 40$
解得$x=20$，故$∠ A=20°$；
② 当两个角互补时，如图(2)所示：
此时$∠ A + ∠ B = 180°$，列方程得：
$x + 3x - 40 = 180$
解得$x=55$，故$∠ A=3×55° - 40°=125°$。
综上所述，$∠ A$的度数为$20°$或$125°$。
【答案】
$20°$或$125°$
【知识点】
两边垂直的两角关系，一元一次方程的应用，互补角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时容易遗漏两角互补的情况，需牢记若两个角的两边分别垂直，则两角相等或互补，结合方程思想即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
首先回忆角的相关性质：若两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，所以本题需分两种情况讨论。题目给出∠A比∠B的3倍少40°，我们可以设∠B为x°，将∠A用含x的式子表示，再分别根据两角相等、两角互补的数量关系列一元一次方程求解，即可得到∠A的度数。
【解析】
设∠B的度数为$x°$，则∠A的度数为$(3x-40)°$，分两种情况讨论：
① 当两个角相等时，如图(1)所示：
此时$∠ A = ∠ B$，列方程得：
$x = 3x - 40$
解得$x=20$，故$∠ A=20°$；
② 当两个角互补时，如图(2)所示：
此时$∠ A + ∠ B = 180°$，列方程得：
$x + 3x - 40 = 180$
解得$x=55$，故$∠ A=3×55° - 40°=125°$。
综上所述，$∠ A$的度数为$20°$或$125°$。
【答案】
$20°$或$125°$
【知识点】
两边垂直的两角关系，一元一次方程的应用，互补角的性质
【点评】
本题重点考查分类讨论思想的应用，解题时容易遗漏两角互补的情况，需牢记若两个角的两边分别垂直，则两角相等或互补，结合方程思想即可顺利求解。
【难度系数】
0.6
例7（2025·西宁一模）如图，下列条件中：①$∠ BAD + ∠ ABC = 180°$；②$∠ 1 = ∠ 2$；③$∠ 3 = ∠ 4$；④$∠ BAD = ∠ BCD$. 能判定$AD // BC$的是
名师启发 根据平行线的几个判定方法判断即可.
①②③
.名师启发 根据平行线的几个判定方法判断即可.
答案：①②③
①由$∠BAD+∠ABC=180°$,得$AD//BC$,故本选项符合题意;②由$∠1=∠2$,得$AD//BC$,故本选项符合题意;③由$∠3=∠4$,得$AD//BC$,故本选项符合题意;④由$∠BAD=∠BCD$,不能判定$AD//BC$,故本选项不合题意. 故能判定$AD//BC$的是①②③.
①由$∠BAD+∠ABC=180°$,得$AD//BC$,故本选项符合题意;②由$∠1=∠2$,得$AD//BC$,故本选项符合题意;③由$∠3=∠4$,得$AD//BC$,故本选项符合题意;④由$∠BAD=∠BCD$,不能判定$AD//BC$,故本选项不合题意. 故能判定$AD//BC$的是①②③.
解析：
【分析】
要判定AD//BC，需结合平行线的判定定理，逐个分析给出的4个条件：首先明确每个条件中的角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再判断角的关系是否符合AD、BC平行的判定要求。①∠BAD和∠ABC是AD、BC被AB所截的同旁内角，若互补可判定平行；②∠1和∠2是AD、BC被AC所截的内错角，若相等可判定平行；③∠3和∠4是AD、BC被BD所截的内错角，若相等可判定平行；④∠BAD和∠BCD是四边形的一组对角，相等无法推出AD、BC平行。
【解析】
逐个判断每个条件：
①因为∠BAD + ∠ABC = 180°，这两个角是直线AD、BC被直线AB所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定AD//BC，符合题意；
②因为∠1 = ∠2，这两个角是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定AD//BC，符合题意；
③因为∠3 = ∠4，这两个角是直线AD、BC被直线BD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定AD//BC，符合题意；
④∠BAD = ∠BCD是四边形的一组对角相等，没有对应的平行线判定依据，无法判定AD//BC，不符合题意。
综上，能判定AD//BC的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
平行线的判定；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
【点评】
本题是基础的平行线判定类题目，解题核心是准确区分每个角对应的截线和被截直线，避免混淆角关联的直线，再结合平行线判定定理逐一判断即可。
【难度系数】
0.8
要判定AD//BC，需结合平行线的判定定理，逐个分析给出的4个条件：首先明确每个条件中的角是哪两条直线被哪条截线所截形成的角，再判断角的关系是否符合AD、BC平行的判定要求。①∠BAD和∠ABC是AD、BC被AB所截的同旁内角，若互补可判定平行；②∠1和∠2是AD、BC被AC所截的内错角，若相等可判定平行；③∠3和∠4是AD、BC被BD所截的内错角，若相等可判定平行；④∠BAD和∠BCD是四边形的一组对角，相等无法推出AD、BC平行。
【解析】
逐个判断每个条件：
①因为∠BAD + ∠ABC = 180°，这两个角是直线AD、BC被直线AB所截形成的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可判定AD//BC，符合题意；
②因为∠1 = ∠2，这两个角是直线AD、BC被直线AC所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定AD//BC，符合题意；
③因为∠3 = ∠4，这两个角是直线AD、BC被直线BD所截形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可判定AD//BC，符合题意；
④∠BAD = ∠BCD是四边形的一组对角相等，没有对应的平行线判定依据，无法判定AD//BC，不符合题意。
综上，能判定AD//BC的是①②③。
【答案】
①②③
【知识点】
平行线的判定；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行
【点评】
本题是基础的平行线判定类题目，解题核心是准确区分每个角对应的截线和被截直线，避免混淆角关联的直线，再结合平行线判定定理逐一判断即可。
【难度系数】
0.8
例8 如图，已知$AB// CD$，$AD// BC$，$∠1=∠2$，求证：$∠3=∠4$。
名师启发 由平行线的性质可以得到$∠4=∠BAF=∠1+∠CAF$，$∠3=∠DAC=∠2+∠CAF$。又$∠1=∠2$，得到$∠BAF=∠DAC$，即可推出$∠3=∠4$。
名师启发 由平行线的性质可以得到$∠4=∠BAF=∠1+∠CAF$，$∠3=∠DAC=∠2+∠CAF$。又$∠1=∠2$，得到$∠BAF=∠DAC$，即可推出$∠3=∠4$。
答案：因为$AB//CD$,所以$∠4=∠BAF=∠1+∠CAF$.
→两直线平行,同位角相等
因为$AD//BC$,所以$∠3=∠DAC=∠2+∠CAF$.
因为$∠1=∠2$,所以$∠BAF=∠DAC$,所以$∠3=∠4$.
→两直线平行,同位角相等
因为$AD//BC$,所以$∠3=∠DAC=∠2+∠CAF$.
因为$∠1=∠2$,所以$∠BAF=∠DAC$,所以$∠3=∠4$.
解析：
【分析】
要证明∠3=∠4，可利用平行线的性质将两个待证角转化为含已知∠1、∠2的表达式：首先由AB//CD可推出∠4等于∠BAF，而∠BAF是∠1与公共角∠CAF的和；再由AD//BC可推出∠3等于∠DAC，而∠DAC是∠2与公共角∠CAF的和；结合已知∠1=∠2，通过等量代换即可证明∠3=∠4。
【解析】
证明：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠4=∠BAF=∠1+∠CAF（两直线平行，同位角相等）
∵ AD//BC（已知）
∴ ∠3=∠DAC=∠2+∠CAF（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质），即∠BAF=∠DAC
∴ ∠3=∠4（等量代换）
【答案】
因为$AB//CD$,所以$∠4=∠BAF=∠1+∠CAF$（两直线平行，同位角相等）
因为$AD//BC$,所以$∠3=∠DAC=∠2+∠CAF$
因为$∠1=∠2$,所以$∠BAF=∠DAC$,所以$∠3=∠4$
【知识点】
平行线的性质；角的和差；等量代换
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是灵活运用平行线的性质找到角的等量关系，通过公共角搭建已知角和待证角的联系，是平行线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8
要证明∠3=∠4，可利用平行线的性质将两个待证角转化为含已知∠1、∠2的表达式：首先由AB//CD可推出∠4等于∠BAF，而∠BAF是∠1与公共角∠CAF的和；再由AD//BC可推出∠3等于∠DAC，而∠DAC是∠2与公共角∠CAF的和；结合已知∠1=∠2，通过等量代换即可证明∠3=∠4。
【解析】
证明：
∵ AB//CD（已知）
∴ ∠4=∠BAF=∠1+∠CAF（两直线平行，同位角相等）
∵ AD//BC（已知）
∴ ∠3=∠DAC=∠2+∠CAF（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质），即∠BAF=∠DAC
∴ ∠3=∠4（等量代换）
【答案】
因为$AB//CD$,所以$∠4=∠BAF=∠1+∠CAF$（两直线平行，同位角相等）
因为$AD//BC$,所以$∠3=∠DAC=∠2+∠CAF$
因为$∠1=∠2$,所以$∠BAF=∠DAC$,所以$∠3=∠4$
【知识点】
平行线的性质；角的和差；等量代换
【点评】
本题是几何基础证明题，核心是灵活运用平行线的性质找到角的等量关系，通过公共角搭建已知角和待证角的联系，是平行线性质应用的典型题型。
【难度系数】
0.8