例2 如图，在$∠ AOB=140°$的内部存在$∠ COD=60°$，OE平分$∠ COD$，OF平分$∠ AOB$。
(1)当$∠ COD$在$∠ AOB$的内部，OE与OF不重合时。
①如图(1)，若$∠ AOC=30°$，求$∠ EOF$的度数；
②如图(2)，若$40°＜∠ AOC＜70°$，画出图形并探究$∠ EOF$与$∠ AOC-∠ BOD$的数量关系。
(2)若$∠ COD$旋转到$∠ AOB$的外部，OM平分$∠ AOC$，ON平分$∠ BOD$，则$∠ MON$的度数为。
解析 (1)①②根据角平分线的定义和角的和差关系即可得到结论；
(2)根据角平分线的定义得到$∠ MOC,∠ BON$，最后根据角的和与差即可得结论。
答案 (1)①因为OE平分$∠ COD$，
所以$∠ COE=\frac{1}{2}∠ COD=\frac{1}{2}×60°=30°$。
因为OF平分$∠ AOB$，
所以$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}×140°=70°$。
所以$∠ EOF=∠ AOF-∠ COE-∠ AOC$
$=70°-30°-30°=10°$。
②补全图形如图(1)。
$∠ EOF$与$∠ AOC-∠ BOD$的数量关系是$∠ EOF=\frac{∠ AOC-∠ BOD}{2}$。理由如下：
由题意，易得$∠ AOC=∠ FOA-∠ FOC=∠ FOA-(∠ EOC-∠ EOF)$。
因为OE平分$∠ COD$，OF平分$∠ AOB$，
所以$∠ AOF=∠ FOB,∠ COE=∠ EOD$。
所以$∠ EOF=∠ FOB-∠ DOE-∠ BOD$，
$∠ AOC=∠ FOA-∠ EOC+∠ EOF$。
所以$∠ EOF=∠ AOC+∠ EOC-∠ FOA$。
所以$2∠ EOF=∠ AOC-∠ BOD$。
所以$∠ EOF=\frac{∠ AOC-∠ BOD}{2}$。


(2)$100°$或$80°$ 提示：如图(2)，OM平分$∠ AOC,ON$平分$∠ BOD$，
所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOC$，
$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COD+\frac{1}{2}∠ BOC$。
所以$∠ MON=∠ COM+∠ CON$
$=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOC+∠ BON-∠ BOC$
$=\frac{1}{2}∠ AOB+\frac{1}{2}∠ BOC+\frac{1}{2}∠ COD+\frac{1}{2}∠ BOC-∠ BOC$
$=\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$。
因为$∠ AOB=140°,∠ COD=60°$，
所以$∠ MON=\frac{1}{2}×(140°+60°)=100°$。
如图(3)，OM平分$∠ AOC,ON$平分$∠ BOD$，

所以$∠ MOC=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(360°-∠ AOB-∠ BOC)=180°-\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ BOC$，$∠ BON=\frac{1}{2}∠ BOD=\frac{1}{2}∠ COD+\frac{1}{2}∠ BOC$，
所以$∠ MON=∠ COM+∠ CON$
$=180°-\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ BOC+∠ BOC-∠ BON$
$=180°-\frac{1}{2}∠ AOB-\frac{1}{2}∠ BOC+∠ BOC-\frac{1}{2}∠ COD-\frac{1}{2}∠ BOC=180°-\frac{1}{2}(∠ AOB+∠ COD)$。
因为$∠ AOB=140°,∠ COD=60°$，
所以$∠ MON=180°-100°=80°$。
综上所述，$∠ MON$的度数为$100°$或$80°$。
点拨 本题考查了角平分线的定义、角的计算，正确识别图形是解题的关键。