2.（2025·苏州模拟）[学科融合]如图(1)，有一种反光板，由两面镜子AB，BC组成，入射光线DE经过镜子AB，BC反射后形成反射光线FG.在光线反射时，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$.
[问题初探](1)如图(1)，当两面镜子AB，BC的夹角$∠ ABC=90°$时，试说明$DE// FG$.
[深入探究](2)如图(2)，当两面镜子AB，BC的夹角$∠ ABC=70°$且$0°＜∠ 1＜90°$时，光线DE在两面镜子之间经过两次反射后，以光线FG射出，FG与DE相交于H(点H不经过点E)，请直接写出光线DE与镜面AB的夹角$∠ 1$的取值范围.
(3)如图(2)，在(2)的情况下，入射光线DE与反射光线FG的夹角$∠ EHF$的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由.
[问题初探](1)如图(1)，当两面镜子AB，BC的夹角$∠ ABC=90°$时，试说明$DE// FG$.
[深入探究](2)如图(2)，当两面镜子AB，BC的夹角$∠ ABC=70°$且$0°＜∠ 1＜90°$时，光线DE在两面镜子之间经过两次反射后，以光线FG射出，FG与DE相交于H(点H不经过点E)，请直接写出光线DE与镜面AB的夹角$∠ 1$的取值范围.
(3)如图(2)，在(2)的情况下，入射光线DE与反射光线FG的夹角$∠ EHF$的度数是否改变？如果不变，请求出这个角度；如果改变，请说明理由.
答案：(1)因为$∠ABC=90°$,所以$∠2+∠3=180°-∠ABC=90°$,所以$∠1+∠4=90°$,
所以$∠DEF+∠EFG=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=180°$,所以$DE//FG$.
(2)因为$∠ABC=70°$,
所以$∠2+∠3=180°-∠ABC=110°$.
因为$∠1=∠2,∠3=∠4$,所以$∠1+∠3=110°$,
$∠FED=180°-2∠1$,
$∠EFG=180°-2∠3$.
因为光线能在两面镜子之间经过两次反射，
所以$\frac{1}{2}∠FED＞0°$且$\frac{1}{2}∠EFG＞0°$. 即$90°-∠1＞0°$,所以$∠1＜90°$;$90°-∠3＞0°$.
把$∠3=110°-∠1$代入,得$90°-(110°-∠1)＞0°$,所以$∠1-20°＞0°$,
所以$∠1＞20°$,所以$20°＜∠1＜90°$.
(3)由条件可知,$∠2+∠3=180°-∠ABC=110°$.
因为$∠1=∠2,∠3=∠4$,所以$∠1+∠4=110°$,
$∠EHF+∠B=∠1+∠4=110°$,
所以$∠EHF=110°-70°=40°$,
所以$∠EHF$的度数是固定的,为$40°$.
所以$∠DEF+∠EFG=180°-∠1-∠2+180°-∠3-∠4=180°$,所以$DE//FG$.
(2)因为$∠ABC=70°$,
所以$∠2+∠3=180°-∠ABC=110°$.
因为$∠1=∠2,∠3=∠4$,所以$∠1+∠3=110°$,
$∠FED=180°-2∠1$,
$∠EFG=180°-2∠3$.
因为光线能在两面镜子之间经过两次反射，
所以$\frac{1}{2}∠FED＞0°$且$\frac{1}{2}∠EFG＞0°$. 即$90°-∠1＞0°$,所以$∠1＜90°$;$90°-∠3＞0°$.
把$∠3=110°-∠1$代入,得$90°-(110°-∠1)＞0°$,所以$∠1-20°＞0°$,
所以$∠1＞20°$,所以$20°＜∠1＜90°$.
(3)由条件可知,$∠2+∠3=180°-∠ABC=110°$.
因为$∠1=∠2,∠3=∠4$,所以$∠1+∠4=110°$,
$∠EHF+∠B=∠1+∠4=110°$,
所以$∠EHF=110°-70°=40°$,
所以$∠EHF$的度数是固定的,为$40°$.
解析：
【分析】
(1) 要证明$DE// FG$，根据平行线判定定理，只需证明两条直线的一组同旁内角互补即可。已知反射时$∠1=∠2$、$∠3=∠4$，结合$∠ ABC=90°$，先利用三角形内角和求出$∠2+∠3$的度数，进而得到$∠1+∠4$的度数，再计算$∠ DEF+∠ EFG$的和，判断是否为$180°$即可。
(2) 要确定$∠1$的取值范围，需保证两次反射都能正常发生，即两次反射的入射角都为锐角，对应$2∠1＜180°$、$2∠3＜180°$。先由$∠ ABC=70°$求出$∠2+∠3$的度数，结合反射的等角关系把$∠3$用$∠1$表示后代入不等式，即可求出$∠1$的范围。
(3) 要判断$∠ EHF$的度数是否变化，只需把$∠ EHF$用已知的$∠ ABC$表示，看结果是否为定值。利用角的等量代换和三角形内角和性质，结合反射的等角关系推导即可。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ ABC=90°$，在$△ BEF$中，$∠2+∠3+∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠2+∠3=180°-90°=90°$，
又$\because$反射时$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，
$\therefore ∠1+∠4=∠2+∠3=90°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ EFG=(180°-∠1-∠2)+(180°-∠3-∠4)=360°-2(∠2+∠3)=360°-180°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$DE// FG$。
(2) 解：$\because ∠ ABC=70°$，在$△ BEF$中，$∠2+∠3+∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠2+∠3=180°-70°=110°$，
$\because ∠1=∠2$，$∠3=∠4$，$\therefore ∠1+∠3=110°$，即$∠3=110°-∠1$，
光线能完成两次反射，需满足入射角为锐角，即$2∠1＜180°$，$2∠3＜180°$，
$\therefore ∠1＜90°$，$∠3＜90°$，
把$∠3=110°-∠1$代入$∠3＜90°$，得$110°-∠1＜90°$，解得$∠1＞20°$，
结合已知$0°＜∠1＜90°$，综上可得$20°＜∠1＜90°$。
(3) 解：$∠ EHF$的度数不变，求解如下：
由$∠ ABC=70°$，得$∠2+∠3=180°-70°=110°$，
$\because ∠1=∠2$，$∠3=∠4$，$\therefore ∠1+∠4=∠2+∠3=110°$，
在$△ HEF$中，$∠ EHF+∠ HEF+∠ HFE=180°$，
其中$∠ HEF=180°-2∠1$，$∠ HFE=180°-2∠4$，代入得：
$∠ EHF + (180°-2∠1) + (180°-2∠4) = 180°$，
整理得$∠ EHF = 2(∠1+∠4) - 180° = 2×110° - 180°=40°$，
故$∠ EHF$的度数固定为$40°$，不发生改变。
【答案】
(1) $DE// FG$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{20° ＜ ∠ 1 ＜ 90°}$；
(3) $∠ EHF$的度数不变，为$\boldsymbol{40°}$。
【知识点】
平行线的判定；三角形内角和；角度计算
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合物理光的反射规律，考查了平行线的判定、角度推导计算的相关知识，需要学生梳理清楚角之间的等量关系，逻辑清晰地完成推导，注重对知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.6
(1) 要证明$DE// FG$，根据平行线判定定理，只需证明两条直线的一组同旁内角互补即可。已知反射时$∠1=∠2$、$∠3=∠4$，结合$∠ ABC=90°$，先利用三角形内角和求出$∠2+∠3$的度数，进而得到$∠1+∠4$的度数，再计算$∠ DEF+∠ EFG$的和，判断是否为$180°$即可。
(2) 要确定$∠1$的取值范围，需保证两次反射都能正常发生，即两次反射的入射角都为锐角，对应$2∠1＜180°$、$2∠3＜180°$。先由$∠ ABC=70°$求出$∠2+∠3$的度数，结合反射的等角关系把$∠3$用$∠1$表示后代入不等式，即可求出$∠1$的范围。
(3) 要判断$∠ EHF$的度数是否变化，只需把$∠ EHF$用已知的$∠ ABC$表示，看结果是否为定值。利用角的等量代换和三角形内角和性质，结合反射的等角关系推导即可。
【解析】
(1) 证明：$\because ∠ ABC=90°$，在$△ BEF$中，$∠2+∠3+∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠2+∠3=180°-90°=90°$，
又$\because$反射时$∠1=∠2$，$∠3=∠4$，
$\therefore ∠1+∠4=∠2+∠3=90°$，
$\therefore ∠ DEF+∠ EFG=(180°-∠1-∠2)+(180°-∠3-∠4)=360°-2(∠2+∠3)=360°-180°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$DE// FG$。
(2) 解：$\because ∠ ABC=70°$，在$△ BEF$中，$∠2+∠3+∠ ABC=180°$，
$\therefore ∠2+∠3=180°-70°=110°$，
$\because ∠1=∠2$，$∠3=∠4$，$\therefore ∠1+∠3=110°$，即$∠3=110°-∠1$，
光线能完成两次反射，需满足入射角为锐角，即$2∠1＜180°$，$2∠3＜180°$，
$\therefore ∠1＜90°$，$∠3＜90°$，
把$∠3=110°-∠1$代入$∠3＜90°$，得$110°-∠1＜90°$，解得$∠1＞20°$，
结合已知$0°＜∠1＜90°$，综上可得$20°＜∠1＜90°$。
(3) 解：$∠ EHF$的度数不变，求解如下：
由$∠ ABC=70°$，得$∠2+∠3=180°-70°=110°$，
$\because ∠1=∠2$，$∠3=∠4$，$\therefore ∠1+∠4=∠2+∠3=110°$，
在$△ HEF$中，$∠ EHF+∠ HEF+∠ HFE=180°$，
其中$∠ HEF=180°-2∠1$，$∠ HFE=180°-2∠4$，代入得：
$∠ EHF + (180°-2∠1) + (180°-2∠4) = 180°$，
整理得$∠ EHF = 2(∠1+∠4) - 180° = 2×110° - 180°=40°$，
故$∠ EHF$的度数固定为$40°$，不发生改变。
【答案】
(1) $DE// FG$，证明见解析；
(2) $\boldsymbol{20° ＜ ∠ 1 ＜ 90°}$；
(3) $∠ EHF$的度数不变，为$\boldsymbol{40°}$。
【知识点】
平行线的判定；三角形内角和；角度计算
【点评】
本题是跨学科融合题型，结合物理光的反射规律，考查了平行线的判定、角度推导计算的相关知识，需要学生梳理清楚角之间的等量关系，逻辑清晰地完成推导，注重对知识综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.6