2. 从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学.为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1,2,3,…;为了表示“没有”引入了数0.古希腊著名数学家毕达哥拉斯相信“哪里有数，哪里就有美”.数仅仅因为它的寓意，就可以给人以丰富的美感.正是由于这种美感，才使人们在各种场合有选择性地使用数.一个数字既表示万物之始，又表示一个整体，则这个数字是(
A.10
B.100
C.1
D.0
C
).A.10
B.100
C.1
D.0
答案：C
解析：
【分析】
解题时先明确题干的两个核心要求：数字需同时满足“表示万物之始”和“表示一个整体”。我们可以逐个分析选项中数字的含义，结合所学的数的基本概念和常识，排除不符合要求的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 10是由10个1组成的数，既不是计数的起始，也不代表单个整体，不符合要求，排除；
B. 100是由100个1组成的数，不符合题干描述的两个特征，排除；
C. 1是人们计数时的起始数，对应“万物之始”的描述，同时1也可以表示一个完整的单位（即单位“1”，代表一个整体），符合题意；
D. 0的含义是表示“没有”，不符合题干要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
数的意义，数学常识
【点评】
本题结合数的起源与寓意考查对基础数字含义的理解，属于常识类基础题，结合数的基本概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时先明确题干的两个核心要求：数字需同时满足“表示万物之始”和“表示一个整体”。我们可以逐个分析选项中数字的含义，结合所学的数的基本概念和常识，排除不符合要求的选项，最终锁定正确答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 10是由10个1组成的数，既不是计数的起始，也不代表单个整体，不符合要求，排除；
B. 100是由100个1组成的数，不符合题干描述的两个特征，排除；
C. 1是人们计数时的起始数，对应“万物之始”的描述，同时1也可以表示一个完整的单位（即单位“1”，代表一个整体），符合题意；
D. 0的含义是表示“没有”，不符合题干要求，排除。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
数的意义，数学常识
【点评】
本题结合数的起源与寓意考查对基础数字含义的理解，属于常识类基础题，结合数的基本概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
3.（2026·无锡新城中学月考）《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十…”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米…”.问题：有3斗的粟（1斗=10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得的粝米为（
A.6升
B.8升
C.16升
D.18升
D
）.A.6升
B.8升
C.16升
D.18升
答案：D
[解析]根据题意,得 3×10÷(50÷30)
=30÷5/3=30×3/5=18(升).
故可以换得的粝米为 18 升. 故选 D.
[解析]根据题意,得 3×10÷(50÷30)
=30÷5/3=30×3/5=18(升).
故可以换得的粝米为 18 升. 故选 D.
解析：
【分析】
解题时首先要统一单位，先将斗换算为升，再根据题目给出的粟和粝米的兑换比例，计算出每单位粟可以兑换的粝米量，最后用粟的总升数乘每单位粟可兑换的粝米量即可得到结果；也可以通过列比例式的方式，利用兑换比例不变求解未知数。
【解析】
首先进行单位换算：已知1斗=10升，因此3斗的粟换算为升是$3×10=30$升。
根据题意，50单位的粟可兑换30单位的粝米，因此每单位粟可兑换的粝米量为$\frac{30}{50}$。
则30升粟可以换得的粝米总量为：
$30×\frac{30}{50}=30×\frac{3}{5}=18$（升）
故选D。
【答案】
D
【知识点】
单位换算、比例应用、有理数乘除运算
【点评】
本题以中国古代数学典籍《九章算术》的记载为背景，既考查基础运算能力，也融合了传统数学文化知识，解题的核心是理清两种粮食的兑换关系，注意统一单位即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先要统一单位，先将斗换算为升，再根据题目给出的粟和粝米的兑换比例，计算出每单位粟可以兑换的粝米量，最后用粟的总升数乘每单位粟可兑换的粝米量即可得到结果；也可以通过列比例式的方式，利用兑换比例不变求解未知数。
【解析】
首先进行单位换算：已知1斗=10升，因此3斗的粟换算为升是$3×10=30$升。
根据题意，50单位的粟可兑换30单位的粝米，因此每单位粟可兑换的粝米量为$\frac{30}{50}$。
则30升粟可以换得的粝米总量为：
$30×\frac{30}{50}=30×\frac{3}{5}=18$（升）
故选D。
【答案】
D
【知识点】
单位换算、比例应用、有理数乘除运算
【点评】
本题以中国古代数学典籍《九章算术》的记载为背景，既考查基础运算能力，也融合了传统数学文化知识，解题的核心是理清两种粮食的兑换关系，注意统一单位即可正确求解。
【难度系数】
0.8
4. 幻方,相传最早见于我国的“洛书”,如图(1),洛书中3行,3列以及2条对角线上的点数之和都等于15,是一种“3阶幻方”(如图(2)).我国南宋数学家杨辉是对幻方从数学角度进行系统研究的第一人,他在《续古摘奇算法》一书中给出从3阶到10阶的幻方,并对一些低阶幻方介绍了构造方法,其中运用了对称思想.例如,用1,2,3,…,16构造4阶幻方的方法是先将1,2,3,…,16依次排成图(3),然后以外四角对换,即1与16对换,4与13对换,再以内四角对换…请你在图(4)中填写用这种“对换”方法得出的4阶幻方.
(1)
(2)
4
9
2
3
5
7
8
1
6
(3)
13
9
5
1
14
10
6
2
15
11
7
3
16
12
8
4
(4)
(1)
(2)
4
9
2
3
5
7
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1
6
(3)
13
9
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14
10
6
2
15
11
7
3
16
12
8
4
(4)
答案：
得出的4阶幻方如图所示：
本题考查“3阶幻方”“4阶幻方”等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
得出的4阶幻方如图所示：
本题考查“3阶幻方”“4阶幻方”等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
解析：
【分析】
解题时先明确题目给出的4阶幻方构造规则，按步骤操作即可：①先确定1~16排成的初始4×4方格中各数的位置；②先进行外四角对换：将方格四个角的1与16互换，4与13互换；③再进行内四角对换：将方格中间2×2区域的四个数按对角互换的规则对换；其余位置的数保持不变，最终即可得到符合要求的4阶幻方。
【解析】
我们按照题目给出的构造方法逐步操作：
1. 首先得到1~16依次排列的4×4初始方格；
2. 外四角对换：找到位于方格四个角的数1、4、13、16，把1和16互换位置，4和13互换位置；
3. 内四角对换：找到方格中间2×2区域的四个数，将其对角互换；
4. 其余位置的数保持原有位置不变，最终得到的4阶幻方每行、每列、两条对角线上的数之和均为34，符合幻方要求。
【答案】
得出的4阶幻方如图所示：
【知识点】
幻方的构造，对称变换，规律探究
【点评】
本题结合我国古代幻方的数学文化，考查对新规则的理解与应用能力，解题的核心是准确读懂题目给出的对换规则，按步骤操作即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
解题时先明确题目给出的4阶幻方构造规则，按步骤操作即可：①先确定1~16排成的初始4×4方格中各数的位置；②先进行外四角对换：将方格四个角的1与16互换，4与13互换；③再进行内四角对换：将方格中间2×2区域的四个数按对角互换的规则对换；其余位置的数保持不变，最终即可得到符合要求的4阶幻方。
【解析】
我们按照题目给出的构造方法逐步操作：
1. 首先得到1~16依次排列的4×4初始方格；
2. 外四角对换：找到位于方格四个角的数1、4、13、16，把1和16互换位置，4和13互换位置；
3. 内四角对换：找到方格中间2×2区域的四个数，将其对角互换；
4. 其余位置的数保持原有位置不变，最终得到的4阶幻方每行、每列、两条对角线上的数之和均为34，符合幻方要求。
【答案】
得出的4阶幻方如图所示：
【知识点】
幻方的构造，对称变换，规律探究
【点评】
本题结合我国古代幻方的数学文化，考查对新规则的理解与应用能力，解题的核心是准确读懂题目给出的对换规则，按步骤操作即可得到正确结果。
【难度系数】
0.7
5. 我国始源有历法大约在四千多年以前.根据甲骨文中的一页甲骨历,证明殷代的历法已具有相当的水平,这一页甲骨历是全人类最古老的历书实物,这页甲骨历也就叫月历.但真正的月历产生,大约在一千一百多年前的唐顺宗永贞元年,皇宫中就已经使用皇历.小光一边吃零食一边看风景月历,这时妈妈凑了过来,说:"小光,我们一起来研究月历好吗?月历中可是充满了奥秘呀!"小光一听要探索奥秘,立刻来了精神,因为小光最喜欢探究问题了,可是从哪儿入手研究呢?
小光任意翻开了一张月历,如表所示.经过一番观察,小光发现:月历中每一横行相邻的数字都相差1,而每一竖列相邻的数字都相差7.这时爸爸想考考小光:"在任意月份的月历中用田字格任意圈4个数,和有可能是112吗?"请你跟小光一起解决一下这个问题吧.
小光任意翻开了一张月历,如表所示.经过一番观察,小光发现:月历中每一横行相邻的数字都相差1,而每一竖列相邻的数字都相差7.这时爸爸想考考小光:"在任意月份的月历中用田字格任意圈4个数,和有可能是112吗?"请你跟小光一起解决一下这个问题吧.
答案：设田字格圈住的4个数分别为x,x+1,x-7,x-6,则x+x+1+x-7+x-6=112,
解得x=31,
则其他3个数为32,24,25,不存在日期32.
故和不可能是112.
解得x=31,
则其他3个数为32,24,25,不存在日期32.
故和不可能是112.
解析：
【分析】
要解决这个问题，首先利用月历已知的数字规律：横行相邻数相差1，竖列相邻数相差7。我们可以设田字格中的一个数为未知数，用含未知数的式子表示出其余3个数，再根据4个数的和为112列一元一次方程求解，最后结合日期的实际范围（1~31）检验解是否符合实际，就能判断和能否为112。
【解析】
设田字格圈住的4个数分别为$ x $，$ x+1 $，$ x-7 $，$ x-6 $。
根据4个数的和为112，列方程：
$ x + (x+1) + (x-7) + (x-6) = 112 $
合并同类项得：$ 4x -12 = 112 $
移项计算得：$ 4x = 124 $
解得：$ x = 31 $
则其余3个数分别为：$ x+1=32 $，$ x-7=24 $，$ x-6=25 $。
由于月历中最大日期为31，不存在日期32，不符合实际情况。
【答案】
和不可能是112。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 月历数字规律
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查规律探究与方程应用，解题的关键是找准数字间的数量关系列方程，同时需要注意求出方程的解后，要结合实际情况验证解的合理性，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先利用月历已知的数字规律：横行相邻数相差1，竖列相邻数相差7。我们可以设田字格中的一个数为未知数，用含未知数的式子表示出其余3个数，再根据4个数的和为112列一元一次方程求解，最后结合日期的实际范围（1~31）检验解是否符合实际，就能判断和能否为112。
【解析】
设田字格圈住的4个数分别为$ x $，$ x+1 $，$ x-7 $，$ x-6 $。
根据4个数的和为112，列方程：
$ x + (x+1) + (x-7) + (x-6) = 112 $
合并同类项得：$ 4x -12 = 112 $
移项计算得：$ 4x = 124 $
解得：$ x = 31 $
则其余3个数分别为：$ x+1=32 $，$ x-7=24 $，$ x-6=25 $。
由于月历中最大日期为31，不存在日期32，不符合实际情况。
【答案】
和不可能是112。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 月历数字规律
【点评】
本题结合生活中的月历场景考查规律探究与方程应用，解题的关键是找准数字间的数量关系列方程，同时需要注意求出方程的解后，要结合实际情况验证解的合理性，这是本题的易错点。
【难度系数】
0.7