例2 (2026·山东菏泽巨野期中)有理数$a,b$在数轴上的对应点的位置如图所示，则$a,b,-a,-b$的大小关系正确的是(
A.$-b＞a＞-a＞b$
B.$-b＞b＞a＞-a$
C.$a＞-b＞b＞-a$
D.$a＞-b＞-a＞b$
名师启发 根据有理数$a,b$在数轴上对应的点的位置可知$a,b$的符号(正、负数分别在原点的右边和左边),$a$与$-a$,$b$与$-b$是相反数,可以利用数轴的性质来比较大小.
方法技巧
比较有理数大小的常用方法有:
①数轴法:数轴上右边的数总比左边的大;
②法则比较法:根据有理数的符号和绝对值关系判断;③作差法:根据两数差值的符号判断大小.
A
).A.$-b＞a＞-a＞b$
B.$-b＞b＞a＞-a$
C.$a＞-b＞b＞-a$
D.$a＞-b＞-a＞b$
名师启发 根据有理数$a,b$在数轴上对应的点的位置可知$a,b$的符号(正、负数分别在原点的右边和左边),$a$与$-a$,$b$与$-b$是相反数,可以利用数轴的性质来比较大小.
方法技巧
比较有理数大小的常用方法有:
①数轴法:数轴上右边的数总比左边的大;
②法则比较法:根据有理数的符号和绝对值关系判断;③作差法:根据两数差值的符号判断大小.
答案：A
解析：
【分析】
解题思路如下：第一步先观察数轴，确定a、b的正负性和绝对值的大小关系：数轴上原点左侧的数是负数，右侧是正数，且离原点越远绝对值越大，因此可得b＜0＜1＜a，且|b|＞|a|。第二步根据相反数的性质，判断出-a、-b的正负性：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，因此-a为负数，-b为正数。第三步按照“正数大于负数，两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的数反而小”的规则，依次比较四个数的大小即可得出答案。也可以采用赋值法，给a、b赋符合条件的具体数值，直接计算出-a、-b后比较大小，更加直观。
【解析】
根据数轴可得：$b＜0＜1＜a$，且$|b|＞|a|$。
由相反数的性质可知：$-a＜0$，$-b＞0$。
①先比较两个正数$-b$和$a$：
因为$|-b|=|b|＞|a|$，正数的绝对值越大数值越大，所以$-b＞a$。
②再比较两个负数$-a$和$b$：
因为$|b|＞|-a|=|a|$，负数的绝对值越大数值越小，所以$b＜-a$。
③结合“所有正数都大于负数”，可得四个数的大小关系为：$-b＞a＞-a＞b$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；相反数的性质；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数大小比较的典型题型，解题核心是通过数轴判断出数的正负和绝对值大小，结合相反数的性质即可推导排序，使用赋值法代入具体数值计算能降低解题难度，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步先观察数轴，确定a、b的正负性和绝对值的大小关系：数轴上原点左侧的数是负数，右侧是正数，且离原点越远绝对值越大，因此可得b＜0＜1＜a，且|b|＞|a|。第二步根据相反数的性质，判断出-a、-b的正负性：正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，因此-a为负数，-b为正数。第三步按照“正数大于负数，两个正数绝对值大的数大，两个负数绝对值大的数反而小”的规则，依次比较四个数的大小即可得出答案。也可以采用赋值法，给a、b赋符合条件的具体数值，直接计算出-a、-b后比较大小，更加直观。
【解析】
根据数轴可得：$b＜0＜1＜a$，且$|b|＞|a|$。
由相反数的性质可知：$-a＜0$，$-b＞0$。
①先比较两个正数$-b$和$a$：
因为$|-b|=|b|＞|a|$，正数的绝对值越大数值越大，所以$-b＞a$。
②再比较两个负数$-a$和$b$：
因为$|b|＞|-a|=|a|$，负数的绝对值越大数值越小，所以$b＜-a$。
③结合“所有正数都大于负数”，可得四个数的大小关系为：$-b＞a＞-a＞b$。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
数轴的应用；相反数的性质；有理数大小比较
【点评】
本题是有理数大小比较的典型题型，解题核心是通过数轴判断出数的正负和绝对值大小，结合相反数的性质即可推导排序，使用赋值法代入具体数值计算能降低解题难度，减少出错概率。
【难度系数】
0.7
例3 (1)已知$|a+2|$和$|b-1|$互为相反数，则$a+b$的值是
(2)当$a=$
(3)当$x$为多少时，$5-|2x-3|$有最大值？
名师启发 利用相反数和绝对值的定义解决问题.
-1
.(2)当$a=$
1
时，$|1-a|+2$会有最小值，且最小值是2
.(3)当$x$为多少时，$5-|2x-3|$有最大值？
名师启发 利用相反数和绝对值的定义解决问题.
答案：(1)-1
[解析]因为$|a+2|$和$|b-1|$互为相反数,所以$|a+2|+|b-1|=0$.
又$|a+2|≥0,|b-1|≥0$,
所以$a+2=0,b-1=0$,
两个非负数的和为0时,这两个数都为0
所以$a=-2,b=1$,所以$a+b=-2+1=-1$.
(2)1 2 [解析]因为$|1-a|≥0$,
所以$|1-a|+2$的最小值为2.
所以当$1-a=0$,即$a=1$时,$|1-a|+2$取得最小值2.
(3)因为$|2x-3|≥0$,
要使$5-|2x-3|$有最大值,即$|2x-3|$要取最小值,
所以$|2x-3|=0$,即当$2x-3=0$,即$x=\frac{3}{2}$时,$5-|2x-3|$取得最大值5.
[解析]因为$|a+2|$和$|b-1|$互为相反数,所以$|a+2|+|b-1|=0$.
又$|a+2|≥0,|b-1|≥0$,
所以$a+2=0,b-1=0$,
两个非负数的和为0时,这两个数都为0
所以$a=-2,b=1$,所以$a+b=-2+1=-1$.
(2)1 2 [解析]因为$|1-a|≥0$,
所以$|1-a|+2$的最小值为2.
所以当$1-a=0$,即$a=1$时,$|1-a|+2$取得最小值2.
(3)因为$|2x-3|≥0$,
要使$5-|2x-3|$有最大值,即$|2x-3|$要取最小值,
所以$|2x-3|=0$,即当$2x-3=0$,即$x=\frac{3}{2}$时,$5-|2x-3|$取得最大值5.
解析：
【分析】
这三道题均围绕绝对值的非负性展开解题：
(1) 首先根据互为相反数的两数之和为0，得到两个绝对值的和为0，再结合绝对值≥0的性质，可知两个绝对值内的代数式均为0，即可求出a、b的值计算a+b；
(2) 绝对值的最小值为0，因此当|1-a|=0时，|1-a|+2取得最小值，据此求解a的值和最小值；
(3) 要使5减去一个数的结果最大，需要减去的数最小，结合|2x-3|的最小值为0，即可求出对应x的值。
【解析】
(1) 因为$|a+2|$和$|b-1|$互为相反数，所以$|a+2|+|b-1|=0$，
又因为$|a+2|≥0$，$|b-1|≥0$，两个非负数的和为0时，这两个数都为0，
所以$a+2=0$，$b-1=0$，解得$a=-2$，$b=1$，
则$a+b=-2+1=-1$。
(2) 因为$|1-a|≥0$，所以$|1-a|+2≥0+2=2$，
当$|1-a|=0$时，$|1-a|+2$取得最小值2，此时$1-a=0$，解得$a=1$。
(3) 因为$|2x-3|≥0$，要使$5-|2x-3|$有最大值，需让被减去的$|2x-3|$取最小值，
$|2x-3|$的最小值为0，此时$2x-3=0$，解得$x=\frac{3}{2}$，此时式子取得最大值5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$
(2) $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{2}$
(3) 当$\boldsymbol{x=\frac{3}{2}}$时，$5-|2x-3|$有最大值
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 相反数的性质
3. 代数式最值求解
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，核心解题关键是熟练掌握绝对值的非负性，结合相反数的性质、最值的逻辑即可快速求解，是绝对值模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
这三道题均围绕绝对值的非负性展开解题：
(1) 首先根据互为相反数的两数之和为0，得到两个绝对值的和为0，再结合绝对值≥0的性质，可知两个绝对值内的代数式均为0，即可求出a、b的值计算a+b；
(2) 绝对值的最小值为0，因此当|1-a|=0时，|1-a|+2取得最小值，据此求解a的值和最小值；
(3) 要使5减去一个数的结果最大，需要减去的数最小，结合|2x-3|的最小值为0，即可求出对应x的值。
【解析】
(1) 因为$|a+2|$和$|b-1|$互为相反数，所以$|a+2|+|b-1|=0$，
又因为$|a+2|≥0$，$|b-1|≥0$，两个非负数的和为0时，这两个数都为0，
所以$a+2=0$，$b-1=0$，解得$a=-2$，$b=1$，
则$a+b=-2+1=-1$。
(2) 因为$|1-a|≥0$，所以$|1-a|+2≥0+2=2$，
当$|1-a|=0$时，$|1-a|+2$取得最小值2，此时$1-a=0$，解得$a=1$。
(3) 因为$|2x-3|≥0$，要使$5-|2x-3|$有最大值，需让被减去的$|2x-3|$取最小值，
$|2x-3|$的最小值为0，此时$2x-3=0$，解得$x=\frac{3}{2}$，此时式子取得最大值5。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$
(2) $\boldsymbol{1}$；$\boldsymbol{2}$
(3) 当$\boldsymbol{x=\frac{3}{2}}$时，$5-|2x-3|$有最大值
【知识点】
1. 绝对值的非负性
2. 相反数的性质
3. 代数式最值求解
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用题型，核心解题关键是熟练掌握绝对值的非负性，结合相反数的性质、最值的逻辑即可快速求解，是绝对值模块的典型基础题。
【难度系数】
0.8
例4 (2025·常州中考)太阳的半径约为700 000千米,数据700 000用科学记数法表示为
名师启发 此题考查科学记数法的表示方法.科
学记数法表示为$a×10^n$的形式,其中$1≤|a|＜10$,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
归纳总结
科学记数法的表示形式为$a×10^n$,其中$1≤|a|＜10$,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.
$7×10^5$
.名师启发 此题考查科学记数法的表示方法.科
学记数法表示为$a×10^n$的形式,其中$1≤|a|＜10$,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
归纳总结
科学记数法的表示形式为$a×10^n$,其中$1≤|a|＜10$,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.
答案：$7×10^5$
解析：
【分析】
要解决本题，需按照科学记数法的表示规则分步思考：首先明确科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，n为整数。第一步先确定a的值：将原数700000的小数点向左移动，直到得到的数符合1≤a＜10的要求；第二步确定n的值：n的绝对值等于小数点移动的位数，原数为正整数，移动几位n就取几，最终组合a和n即可得到结果。
【解析】
解：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，n为整数。
1. 确定a的值：将700000的小数点向左移动5位，得到$a=7$，满足$1≤7＜10$的要求。
2. 确定n的值：小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，700000用科学记数法表示为$7×10^5$。
【答案】
$7×10^5$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题，考查科学记数法的基本表示方法，熟练掌握a的取值要求和n的确定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要解决本题，需按照科学记数法的表示规则分步思考：首先明确科学记数法的形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，n为整数。第一步先确定a的值：将原数700000的小数点向左移动，直到得到的数符合1≤a＜10的要求；第二步确定n的值：n的绝对值等于小数点移动的位数，原数为正整数，移动几位n就取几，最终组合a和n即可得到结果。
【解析】
解：科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|＜10$，n为整数。
1. 确定a的值：将700000的小数点向左移动5位，得到$a=7$，满足$1≤7＜10$的要求。
2. 确定n的值：小数点一共向左移动了5位，因此$n=5$。
综上，700000用科学记数法表示为$7×10^5$。
【答案】
$7×10^5$
【知识点】
科学记数法
【点评】
本题属于基础题，考查科学记数法的基本表示方法，熟练掌握a的取值要求和n的确定规则即可快速解答。
【难度系数】
0.9
例5 计算$\left| -\dfrac{1}{2} \right| -\dfrac{1}{2}$的结果是(
A.0
B.1
C.$-1$
D.$\dfrac{1}{4}$
名师启发 根据有理数的减法运算计算即可.
A
).A.0
B.1
C.$-1$
D.$\dfrac{1}{4}$
名师启发 根据有理数的减法运算计算即可.
答案：A
解析：
【分析】
解题时先观察算式的构成，算式包含绝对值运算和减法运算，按照运算优先级，首先需要计算绝对值部分：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可先求出$\left| -\dfrac{1}{2} \right|$的结果，再用这个结果减去$\dfrac{1}{2}$就能得到最终答案。
【解析】
解：首先计算绝对值：
∵ 负数的绝对值是它的相反数，
∴ $\left| -\dfrac{1}{2} \right| = \dfrac{1}{2}$，
代入原式计算得：
$\left| -\dfrac{1}{2} \right| -\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质，有理数的减法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考察绝对值的化简和有理数减法的计算，只要熟练掌握绝对值的性质，按照运算顺序计算即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时先观察算式的构成，算式包含绝对值运算和减法运算，按照运算优先级，首先需要计算绝对值部分：根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，可先求出$\left| -\dfrac{1}{2} \right|$的结果，再用这个结果减去$\dfrac{1}{2}$就能得到最终答案。
【解析】
解：首先计算绝对值：
∵ 负数的绝对值是它的相反数，
∴ $\left| -\dfrac{1}{2} \right| = \dfrac{1}{2}$，
代入原式计算得：
$\left| -\dfrac{1}{2} \right| -\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0$。
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
绝对值的性质，有理数的减法运算
【点评】
本题是基础运算类题目，重点考察绝对值的化简和有理数减法的计算，只要熟练掌握绝对值的性质，按照运算顺序计算即可得分。
【难度系数】
0.9
例6 将下列式子的计算结果从小到大排列，并用“＜”连接.
①$-3-\frac{1}{2}$；
②$-3+\frac{1}{2}$；
③$-3×(-\frac{1}{2})$；
④$-3÷(-\frac{1}{2})$.
名师启发 先根据有理数混合运算的法则分别计算出各数，再比较大小即可.
①$-3-\frac{1}{2}$；
②$-3+\frac{1}{2}$；
③$-3×(-\frac{1}{2})$；
④$-3÷(-\frac{1}{2})$.
名师启发 先根据有理数混合运算的法则分别计算出各数，再比较大小即可.
答案：因为$-3-\frac{1}{2}=-\frac{7}{2}$,$-3+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$,$-3×(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$,$-3÷(-\frac{1}{2})=6$.
所以$-\frac{7}{2}＜-\frac{5}{2}＜\frac{3}{2}＜6$,即$-3-\frac{1}{2}＜-3+\frac{1}{2}＜-3×(-\frac{1}{2})＜-3÷(-\frac{1}{2})$.
所以$-\frac{7}{2}＜-\frac{5}{2}＜\frac{3}{2}＜6$,即$-3-\frac{1}{2}＜-3+\frac{1}{2}＜-3×(-\frac{1}{2})＜-3÷(-\frac{1}{2})$.
解析：
【分析】
要解决本题，第一步需根据有理数加减乘除的运算法则，分别计算出四个式子的运算结果；第二步依据有理数大小比较的规则：负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，对算出的结果排序；最后按从小到大的顺序用“＜”连接对应的原式即可。
【解析】
首先分别计算四个式子的结果：
① 计算$-3-\frac{1}{2}$：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得$-3-\frac{1}{2}=-3+(-\frac{1}{2})=-\frac{7}{2}$；
② 计算$-3+\frac{1}{2}$：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，用较大的绝对值减较小的绝对值，可得$-3+\frac{1}{2}=-(3-\frac{1}{2})=-\frac{5}{2}$；
③ 计算$-3×(-\frac{1}{2})$：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，可得$-3×(-\frac{1}{2})=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
④ 计算$-3÷(-\frac{1}{2})$：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，除以一个数等于乘这个数的倒数，可得$-3÷(-\frac{1}{2})=-3×(-2)=6$。
再比较结果大小：负数小于正数，两个负数中$|-\frac{7}{2}|=\frac{7}{2}＞\vert-\frac{5}{2}\vert=\frac{5}{2}$，故$-\frac{7}{2}＜-\frac{5}{2}$；正数中$\frac{3}{2}＜6$，因此大小关系为$-\frac{7}{2}＜-\frac{5}{2}＜\frac{3}{2}＜6$。
【答案】
$-3-\frac{1}{2}＜-3+\frac{1}{2}＜-3×(-\frac{1}{2})＜-3÷(-\frac{1}{2})$
【知识点】
有理数四则运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是准确判断运算符号，熟练掌握有理数的运算法则和大小比较规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
要解决本题，第一步需根据有理数加减乘除的运算法则，分别计算出四个式子的运算结果；第二步依据有理数大小比较的规则：负数小于正数，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，对算出的结果排序；最后按从小到大的顺序用“＜”连接对应的原式即可。
【解析】
首先分别计算四个式子的结果：
① 计算$-3-\frac{1}{2}$：根据有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得$-3-\frac{1}{2}=-3+(-\frac{1}{2})=-\frac{7}{2}$；
② 计算$-3+\frac{1}{2}$：异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，用较大的绝对值减较小的绝对值，可得$-3+\frac{1}{2}=-(3-\frac{1}{2})=-\frac{5}{2}$；
③ 计算$-3×(-\frac{1}{2})$：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，可得$-3×(-\frac{1}{2})=3×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$；
④ 计算$-3÷(-\frac{1}{2})$：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，除以一个数等于乘这个数的倒数，可得$-3÷(-\frac{1}{2})=-3×(-2)=6$。
再比较结果大小：负数小于正数，两个负数中$|-\frac{7}{2}|=\frac{7}{2}＞\vert-\frac{5}{2}\vert=\frac{5}{2}$，故$-\frac{7}{2}＜-\frac{5}{2}$；正数中$\frac{3}{2}＜6$，因此大小关系为$-\frac{7}{2}＜-\frac{5}{2}＜\frac{3}{2}＜6$。
【答案】
$-3-\frac{1}{2}＜-3+\frac{1}{2}＜-3×(-\frac{1}{2})＜-3÷(-\frac{1}{2})$
【知识点】
有理数四则运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是准确判断运算符号，熟练掌握有理数的运算法则和大小比较规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8