例1 外卖小哥小张某天骑电动车送外卖,往东行驶的路程记作正数,往西行驶的路程记作负数.全天行程的记录如下(单位:km):3,−2.8,−1.3,1.5,2.7,−3,4.5,−2.7,−3.5,4.
(1)当小张将最后一份外卖送到目的地时,距出发地点的距离为多少千米?
(2)若小张的电动车充满电能行驶30 km,在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下,他能否完成上面的行程?请说明理由.
解析 (1)将题目中的数据相加,看最后的结果,即可判断距出发地点的距离;
(2)取题目中数据的绝对值,将它们相加,即可判断能否完成上面的行程.
答案 (1)$3+(-2.8)+(-1.3)+1.5+2.7+(-3)+4.5+(-2.7)+(-3.5)+4=2.4$(km).
故当小张将最后一份外卖送到目的地时,距出发地点的距离为2.4千米.
(2)$3+2.8+1.3+1.5+2.7+3+4.5+2.7+3.5+4=29$(km),
$29\ \mathrm{km}＜30\ \mathrm{km}$.
故在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下,他能完成上面的行程.
点拨 本题考查了正数和负数的定义及相关运算,解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.
(1)当小张将最后一份外卖送到目的地时,距出发地点的距离为多少千米?
(2)若小张的电动车充满电能行驶30 km,在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下,他能否完成上面的行程?请说明理由.
解析 (1)将题目中的数据相加,看最后的结果,即可判断距出发地点的距离;
(2)取题目中数据的绝对值,将它们相加,即可判断能否完成上面的行程.
答案 (1)$3+(-2.8)+(-1.3)+1.5+2.7+(-3)+4.5+(-2.7)+(-3.5)+4=2.4$(km).
故当小张将最后一份外卖送到目的地时,距出发地点的距离为2.4千米.
(2)$3+2.8+1.3+1.5+2.7+3+4.5+2.7+3.5+4=29$(km),
$29\ \mathrm{km}＜30\ \mathrm{km}$.
故在该电动车一开始充满电而途中不充电的情况下,他能完成上面的行程.
点拨 本题考查了正数和负数的定义及相关运算,解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法.
答案：解：
(1) 计算所有行程记录的和：
$\begin{aligned}&3+(-2.8)+(-1.3)+1.5+2.7+(-3)+4.5+(-2.7)+(-3.5)+4\\=&2.4(\mathrm{km})\end{aligned}$
答：当小张将最后一份外卖送到目的地时，距出发地点的距离为2.4千米。
(2) 计算各行程数据的绝对值之和，得到总行驶路程：
$\begin{aligned}&|3|+|-2.8|+|-1.3|+|1.5|+|2.7|+|-3|+|4.5|+|-2.7|+|-3.5|+|4|\\=&3+2.8+1.3+1.5+2.7+3+4.5+2.7+3.5+4\\=&29(\mathrm{km})\end{aligned}$
因为$29\ \mathrm{km}＜30\ \mathrm{km}$，所以他能完成上面的行程。
答：他能完成上面的行程，理由是全程总行驶路程为29km，小于电动车充满电可行驶的30km。
(1) 计算所有行程记录的和：
$\begin{aligned}&3+(-2.8)+(-1.3)+1.5+2.7+(-3)+4.5+(-2.7)+(-3.5)+4\\=&2.4(\mathrm{km})\end{aligned}$
答：当小张将最后一份外卖送到目的地时，距出发地点的距离为2.4千米。
(2) 计算各行程数据的绝对值之和，得到总行驶路程：
$\begin{aligned}&|3|+|-2.8|+|-1.3|+|1.5|+|2.7|+|-3|+|4.5|+|-2.7|+|-3.5|+|4|\\=&3+2.8+1.3+1.5+2.7+3+4.5+2.7+3.5+4\\=&29(\mathrm{km})\end{aligned}$
因为$29\ \mathrm{km}＜30\ \mathrm{km}$，所以他能完成上面的行程。
答：他能完成上面的行程，理由是全程总行驶路程为29km，小于电动车充满电可行驶的30km。
解析：
【分析】
(1) 题目中正数表示往东行驶路程，负数表示往西行驶路程，要计算最后距出发点的距离，只需将所有行程记录的带符号数相加，所得结果的绝对值就是距出发点的距离，结果的正负表示在出发点的东侧或西侧。
(2) 要判断电动车能否完成行程，需要先计算总行驶路程，总路程与行驶方向无关，因此要取所有行程记录的绝对值求和，再将总路程和电动车满电可行驶的30km比较，若总路程≤30km即可完成行程，反之不能。
【解析】
(1) 计算所有行程记录的代数和：
$\begin{aligned}&3+(-2.8)+(-1.3)+1.5+2.7+(-3)+4.5+(-2.7)+(-3.5)+4\\=&3-2.8-1.3+1.5+2.7-3+4.5-2.7-3.5+4\\=&2.4(\mathrm{km})\end{aligned}$
(2) 计算所有行程记录的绝对值之和得到总行驶路程：
$\begin{aligned}&|3|+|-2.8|+|-1.3|+|1.5|+|2.7|+|-3|+|4.5|+|-2.7|+|-3.5|+|4|\\=&3+2.8+1.3+1.5+2.7+3+4.5+2.7+3.5+4\\=&29(\mathrm{km})\end{aligned}$
因为$29\ \mathrm{km}＜30\ \mathrm{km}$，所以途中不充电也能完成行程。
【答案】
(1) 距出发地点的距离为2.4千米；
(2) 能完成上面的行程，全程总行驶路程为29km，小于电动车充满电可行驶的30km。
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查正负数的应用，解题的核心是区分“相对出发点的距离”和“总行驶路程”的计算逻辑，分别对应带符号求和、绝对值求和两类运算，理解题意即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 题目中正数表示往东行驶路程，负数表示往西行驶路程，要计算最后距出发点的距离，只需将所有行程记录的带符号数相加，所得结果的绝对值就是距出发点的距离，结果的正负表示在出发点的东侧或西侧。
(2) 要判断电动车能否完成行程，需要先计算总行驶路程，总路程与行驶方向无关，因此要取所有行程记录的绝对值求和，再将总路程和电动车满电可行驶的30km比较，若总路程≤30km即可完成行程，反之不能。
【解析】
(1) 计算所有行程记录的代数和：
$\begin{aligned}&3+(-2.8)+(-1.3)+1.5+2.7+(-3)+4.5+(-2.7)+(-3.5)+4\\=&3-2.8-1.3+1.5+2.7-3+4.5-2.7-3.5+4\\=&2.4(\mathrm{km})\end{aligned}$
(2) 计算所有行程记录的绝对值之和得到总行驶路程：
$\begin{aligned}&|3|+|-2.8|+|-1.3|+|1.5|+|2.7|+|-3|+|4.5|+|-2.7|+|-3.5|+|4|\\=&3+2.8+1.3+1.5+2.7+3+4.5+2.7+3.5+4\\=&29(\mathrm{km})\end{aligned}$
因为$29\ \mathrm{km}＜30\ \mathrm{km}$，所以途中不充电也能完成行程。
【答案】
(1) 距出发地点的距离为2.4千米；
(2) 能完成上面的行程，全程总行驶路程为29km，小于电动车充满电可行驶的30km。
【知识点】
正负数的意义，有理数加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查正负数的应用，解题的核心是区分“相对出发点的距离”和“总行驶路程”的计算逻辑，分别对应带符号求和、绝对值求和两类运算，理解题意即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
1. (2026·镇江京口区期中)出租车司机夏师傅某日上午从M地出发,在南北方向的公路上行驶营运,如表是每次行驶的里程(单位:千米)(规定向南走为正,向北走为负;×表示空载,○表示载有乘客,且乘客都不相同):
(1)夏师傅走完第5次里程后,他在M地的什么方向?离M地有多少千米?
(2)已知出租车每千米耗油约0.1升,夏师傅开始营运前油箱里有10升油,若少于5升,则需要加油,请通过计算说明夏师傅这天上午中途是否可以不加油.
(3)已知载客时3千米以内收费10元,超过3千米后每千米收费2.4元,问:夏师傅这天上午走完5次里程后的营业额为多少元?
(1)夏师傅走完第5次里程后,他在M地的什么方向?离M地有多少千米?
(2)已知出租车每千米耗油约0.1升,夏师傅开始营运前油箱里有10升油,若少于5升,则需要加油,请通过计算说明夏师傅这天上午中途是否可以不加油.
(3)已知载客时3千米以内收费10元,超过3千米后每千米收费2.4元,问:夏师傅这天上午走完5次里程后的营业额为多少元?
答案：(1)因为$-2+(-17)+22+(-8)+3=-2$,
所以夏师傅走完第5次里程后,他在M地的北面,离M地有2千米.
(2)不可以,理由如下:
行驶的总路程为$|-2|+|-17|+|+22|+|-8|+|+3|=52$(千米),
耗油量为$0.1×52=5.2$(升).
因为$10-5.2=4.8＜5$,
所以需要加油.
(3)第2次收费:$10+(17-3)×2.4=43.6$(元),
第3次收费:$10+(22-3)×2.4=55.6$(元),
第5次收费:10元,
共收入$43.6+55.6+10=109.2$(元),
所以夏师傅这天上午走完5次里程后的营业额为109.2元.
所以夏师傅走完第5次里程后,他在M地的北面,离M地有2千米.
(2)不可以,理由如下:
行驶的总路程为$|-2|+|-17|+|+22|+|-8|+|+3|=52$(千米),
耗油量为$0.1×52=5.2$(升).
因为$10-5.2=4.8＜5$,
所以需要加油.
(3)第2次收费:$10+(17-3)×2.4=43.6$(元),
第3次收费:$10+(22-3)×2.4=55.6$(元),
第5次收费:10元,
共收入$43.6+55.6+10=109.2$(元),
所以夏师傅这天上午走完5次里程后的营业额为109.2元.
解析：
【分析】
(1) 要判断夏师傅走完5次里程后的位置，只需将5次里程数相加，结果的正负对应方向（规定向南为正，负则代表向北），结果的绝对值就是离M地的距离。
(2) 判断是否需要加油，首先要计算总行驶路程，总路程是每次里程的绝对值之和，再结合单位耗油量算出总耗油量，用初始油量减去总耗油量得到剩余油量，将剩余油量和5升比较，小于5升就需要加油。
(3) 计算营业额首先筛选出载客的行程（载客栏为○的次数），再按照分段计费规则：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.4元，分别计算每次载客的收费，相加后得到总营业额。
【解析】
(1) 计算5次里程的和：
$-2 + (-17) + 22 + (-8) + 3 = -2$
结果为负，说明夏师傅在M地的北面，离M地的距离为$|-2|=2$千米。
(2) 先计算总行驶路程：
$|-2| + |-17| + |+22| + |-8| + |+3| = 2+17+22+8+3=52$（千米）
总耗油量：$0.1×52=5.2$（升）
剩余油量：$10-5.2=4.8$（升）
因为$4.8＜5$，所以中途需要加油，不可以不加油。
(3) 载客行程为第2、3、5次，分别计算收费：
第2次里程17千米，收费：$10+(17-3)×2.4=10+33.6=43.6$（元）
第3次里程22千米，收费：$10+(22-3)×2.4=10+45.6=55.6$（元）
第5次里程3千米，收费10元。
总营业额：$43.6+55.6+10=109.2$（元）
【答案】
(1) 在M地的北面，离M地2千米；
(2) 不可以不加油，中途需要加油；
(3) 营业额为109.2元。
【知识点】
正负数的实际应用，绝对值的性质，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活实际场景考察有理数相关知识的应用，解题时要注意区分位移与总路程的差异，计算营业额时要注意筛选有效信息，空载行程不计入收费，同时要准确掌握分段计费的计算规则。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断夏师傅走完5次里程后的位置，只需将5次里程数相加，结果的正负对应方向（规定向南为正，负则代表向北），结果的绝对值就是离M地的距离。
(2) 判断是否需要加油，首先要计算总行驶路程，总路程是每次里程的绝对值之和，再结合单位耗油量算出总耗油量，用初始油量减去总耗油量得到剩余油量，将剩余油量和5升比较，小于5升就需要加油。
(3) 计算营业额首先筛选出载客的行程（载客栏为○的次数），再按照分段计费规则：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.4元，分别计算每次载客的收费，相加后得到总营业额。
【解析】
(1) 计算5次里程的和：
$-2 + (-17) + 22 + (-8) + 3 = -2$
结果为负，说明夏师傅在M地的北面，离M地的距离为$|-2|=2$千米。
(2) 先计算总行驶路程：
$|-2| + |-17| + |+22| + |-8| + |+3| = 2+17+22+8+3=52$（千米）
总耗油量：$0.1×52=5.2$（升）
剩余油量：$10-5.2=4.8$（升）
因为$4.8＜5$，所以中途需要加油，不可以不加油。
(3) 载客行程为第2、3、5次，分别计算收费：
第2次里程17千米，收费：$10+(17-3)×2.4=10+33.6=43.6$（元）
第3次里程22千米，收费：$10+(22-3)×2.4=10+45.6=55.6$（元）
第5次里程3千米，收费10元。
总营业额：$43.6+55.6+10=109.2$（元）
【答案】
(1) 在M地的北面，离M地2千米；
(2) 不可以不加油，中途需要加油；
(3) 营业额为109.2元。
【知识点】
正负数的实际应用，绝对值的性质，有理数混合运算
【点评】
本题结合生活实际场景考察有理数相关知识的应用，解题时要注意区分位移与总路程的差异，计算营业额时要注意筛选有效信息，空载行程不计入收费，同时要准确掌握分段计费的计算规则。
【难度系数】
0.7
例2 中国古代在确定宫、商、角、徵、羽五声音阶的时候，最初用三分损益计算，从最初的一个音三分损一而得到第二个音，由第二个音三分益一得到第三个音，…，如此计算，便可得到宫、商、角、徵、羽五声音阶。例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为81，那么能发出第二个基准音的乐器的长度为$81×(1-\dfrac{1}{3})=54$，能发出第三个基准音的乐器的长度为$54×(1+\dfrac{1}{3})=72$，也就是依次先减少三分之一，后增加三分之一。假设能发出第一个基准音的乐器的长度为$a$，若能发出第四个基准音的乐器的长度是32，则$a$的值是。
解析 依题意，有$32÷(1-\dfrac{1}{3})÷(1+\dfrac{1}{3})÷(1-\dfrac{1}{3})=54$。故$a$的值是54。
答案 54
解析 依题意，有$32÷(1-\dfrac{1}{3})÷(1+\dfrac{1}{3})÷(1-\dfrac{1}{3})=54$。故$a$的值是54。
答案 54
答案：解：
根据三分损益的计算规则：
第二个基准音的乐器长度为 $a×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}a$，
第三个基准音的乐器长度为 $\dfrac{2}{3}a×(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{8}{9}a$，
第四个基准音的乐器长度为 $\dfrac{8}{9}a×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{16}{27}a$。
由第四个基准音的乐器长度为32，可得：
$\dfrac{16}{27}a=32$
$a=32÷\dfrac{16}{27}=54$
故$a$的值是$\boldsymbol{54}$。
根据三分损益的计算规则：
第二个基准音的乐器长度为 $a×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}a$，
第三个基准音的乐器长度为 $\dfrac{2}{3}a×(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{8}{9}a$，
第四个基准音的乐器长度为 $\dfrac{8}{9}a×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{16}{27}a$。
由第四个基准音的乐器长度为32，可得：
$\dfrac{16}{27}a=32$
$a=32÷\dfrac{16}{27}=54$
故$a$的值是$\boldsymbol{54}$。
解析：
【分析】
首先明确“三分损益”的变化规则：交替按“减少三分之一（即乘$\frac{2}{3}$）、增加三分之一（即乘$\frac{4}{3}$）”的规律计算后续音阶对应的乐器长度。我们可以顺着推导第四个基准音长度和初始长度$a$的数量关系，结合第四个音长度为32的条件建立方程求解；也可以从第四个音倒推，依次除以对应的变化系数得到$a$，顺着推导更易理解，只需依次写出第二、三、四个音的长度表达式，再列方程计算即可。
【解析】
根据三分损益的计算规则：
第二个基准音的乐器长度为 $a×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}a$，
第三个基准音的乐器长度为 $\dfrac{2}{3}a×(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{8}{9}a$，
第四个基准音的乐器长度为 $\dfrac{8}{9}a×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{16}{27}a$。
已知第四个基准音的乐器长度为32，可得方程：
$\dfrac{16}{27}a=32$
解得 $a=32÷\dfrac{16}{27}=32×\dfrac{27}{16}=54$
【答案】
54
【知识点】
有理数乘除运算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合中国古代五声音阶的计算背景考查数学知识的实际应用，解题核心是准确理解“三分损益”的变化规则，理清每一步长度的变化倍数，避免混淆损益的先后顺序。
【难度系数】
0.7
首先明确“三分损益”的变化规则：交替按“减少三分之一（即乘$\frac{2}{3}$）、增加三分之一（即乘$\frac{4}{3}$）”的规律计算后续音阶对应的乐器长度。我们可以顺着推导第四个基准音长度和初始长度$a$的数量关系，结合第四个音长度为32的条件建立方程求解；也可以从第四个音倒推，依次除以对应的变化系数得到$a$，顺着推导更易理解，只需依次写出第二、三、四个音的长度表达式，再列方程计算即可。
【解析】
根据三分损益的计算规则：
第二个基准音的乐器长度为 $a×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}a$，
第三个基准音的乐器长度为 $\dfrac{2}{3}a×(1+\dfrac{1}{3})=\dfrac{8}{9}a$，
第四个基准音的乐器长度为 $\dfrac{8}{9}a×(1-\dfrac{1}{3})=\dfrac{16}{27}a$。
已知第四个基准音的乐器长度为32，可得方程：
$\dfrac{16}{27}a=32$
解得 $a=32÷\dfrac{16}{27}=32×\dfrac{27}{16}=54$
【答案】
54
【知识点】
有理数乘除运算、一元一次方程应用
【点评】
本题结合中国古代五声音阶的计算背景考查数学知识的实际应用，解题核心是准确理解“三分损益”的变化规则，理清每一步长度的变化倍数，避免混淆损益的先后顺序。
【难度系数】
0.7