1.从2开始，连续的偶数相加，它们和的情况如下表：
(1)若$n=8$，则$S$的值为
(2)根据表中的规律猜想：用含$n$的式子表示$S$的公式为$S=2+4+6+8+\dots+2n=$
(3)根据上面的规律计算$102+104+106+108+\dots+200$的值.(要求写出过程)
(1)若$n=8$，则$S$的值为
72
；(2)根据表中的规律猜想：用含$n$的式子表示$S$的公式为$S=2+4+6+8+\dots+2n=$
$n(n+1)$
；(3)根据上面的规律计算$102+104+106+108+\dots+200$的值.(要求写出过程)
答案：1.(1)72
(2)$n(n+1)$
(3)解:$102+104+106+108+\dots+200$
$=(2+4+6+\dots+102+\dots+200)-(2+4+6+\dots+100)$
$=100×101-50×51=10100-2550=7550$。
(2)$n(n+1)$
(3)解:$102+104+106+108+\dots+200$
$=(2+4+6+\dots+102+\dots+200)-(2+4+6+\dots+100)$
$=100×101-50×51=10100-2550=7550$。
解析：
【分析】
首先观察表格给出的式子，寻找加数个数n与和S的关系：n=1时S=1×2，n=2时S=2×3，n=3时S=3×4，可总结出n个从2开始的连续偶数相加，和等于n与n+1的乘积。
(1) 要求n=8时的S，直接代入总结的规律计算即可；
(2) 根据前面的例子直接归纳出S关于n的表达式；
(3) 计算102到200的连续偶数和，无法直接用公式，可将其转化为“从2到200的连续偶数和”减去“从2到100的连续偶数和”，再分别代入公式计算差值即可。
【解析】
(1) 观察规律可知，n个连续偶数相加的和为n(n+1)，当n=8时，$S=8×(8+1)=8×9=72$；
(2) 根据表中规律，$2+4+6+\dots+2n$是n个连续偶数相加，因此$S=n(n+1)$；
(3) 计算$102+104+\dots+200$时，可拆分为两部分的差：
$\begin{split}原式&=(2+4+6+\dots+200) - (2+4+6+\dots+100)\\&=100×101 - 50×51\\&=10100 - 2550\\&=7550\end{split}$
【答案】
(1)72；(2)$n(n+1)$；(3)7550
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，代数式求值
【点评】
本题重点考查观察归纳数字规律的能力，解题关键是先总结出从2开始的连续偶数和的通用公式，再通过拆分法将不能直接用公式的算式转化为符合公式的形式求解，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
首先观察表格给出的式子，寻找加数个数n与和S的关系：n=1时S=1×2，n=2时S=2×3，n=3时S=3×4，可总结出n个从2开始的连续偶数相加，和等于n与n+1的乘积。
(1) 要求n=8时的S，直接代入总结的规律计算即可；
(2) 根据前面的例子直接归纳出S关于n的表达式；
(3) 计算102到200的连续偶数和，无法直接用公式，可将其转化为“从2到200的连续偶数和”减去“从2到100的连续偶数和”，再分别代入公式计算差值即可。
【解析】
(1) 观察规律可知，n个连续偶数相加的和为n(n+1)，当n=8时，$S=8×(8+1)=8×9=72$；
(2) 根据表中规律，$2+4+6+\dots+2n$是n个连续偶数相加，因此$S=n(n+1)$；
(3) 计算$102+104+\dots+200$时，可拆分为两部分的差：
$\begin{split}原式&=(2+4+6+\dots+200) - (2+4+6+\dots+100)\\&=100×101 - 50×51\\&=10100 - 2550\\&=7550\end{split}$
【答案】
(1)72；(2)$n(n+1)$；(3)7550
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，代数式求值
【点评】
本题重点考查观察归纳数字规律的能力，解题关键是先总结出从2开始的连续偶数和的通用公式，再通过拆分法将不能直接用公式的算式转化为符合公式的形式求解，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
2. 观察下列等式：
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$； 第2个等式：$a_2=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$； 第4个等式：$a_4=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；…
解答下列问题：
(1)按以上规律写出第5个等式：$a_5=\frac{1}{5×6}=$
(2)求$a_1+a_2+…+a_{2025}$的值；
(3)求$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{98×100}$的值。
第1个等式：$a_1=\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$； 第2个等式：$a_2=\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$；
第3个等式：$a_3=\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$； 第4个等式：$a_4=\frac{1}{4×5}=\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$；…
解答下列问题：
(1)按以上规律写出第5个等式：$a_5=\frac{1}{5×6}=$
$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
；(2)求$a_1+a_2+…+a_{2025}$的值；
(3)求$\frac{1}{2×4}+\frac{1}{4×6}+\frac{1}{6×8}+…+\frac{1}{98×100}$的值。
答案：2.(1)$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$
(2)解:由(1)知，
第$n$个等式为$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$($n$为正整数)。
当$n=2025$时，
$a_{2025}=\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$，
所以$a_1+a_2+\dots+a_{2025}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$。
(3)解:原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{49}{100}$
$=\frac{49}{200}$。
(2)解:由(1)知，
第$n$个等式为$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$($n$为正整数)。
当$n=2025$时，
$a_{2025}=\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$，
所以$a_1+a_2+\dots+a_{2025}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$。
(3)解:原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{49}{100}$
$=\frac{49}{200}$。
解析：
【分析】
观察已知的前4个等式，可归纳出通用规律：第n个等式满足$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）。(1)直接将n=5代入通用规律即可得到结果；(2)求和时，把每个$a_i$按规律拆分，相邻的正负项会相互抵消，仅剩首项和末项，直接计算即可；(3)所求式子的每个分式分母是相差2的两个偶数乘积，拆分后需多乘$\frac{1}{2}$，先提取公因式$\frac{1}{2}$，再用裂项相消的方法计算即可。
【解析】
(1)根据规律，第5个等式为$a_5=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$。
(2)由规律可得第n个等式为$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）。
当n=2025时，$a_{2025}=\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$，
所以$a_1+a_2+\dots+a_{2025}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$。
(3)原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{49}{100}$
$=\frac{49}{200}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$；(2)$\frac{2025}{2026}$；(3)$\frac{49}{200}$
【知识点】
1. 数式规律探究 2. 裂项相消求和 3. 分数四则运算
【点评】
本题重点考查裂项相消法的实际应用，解题的关键是先通过已知等式总结出分式拆分的规律，求和时利用中间项抵消的特点大幅简化计算，第三问需注意分母两数的差不为1时，要先调整拆分的系数，避免漏乘系数导致计算错误。
【难度系数】
0.7
观察已知的前4个等式，可归纳出通用规律：第n个等式满足$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）。(1)直接将n=5代入通用规律即可得到结果；(2)求和时，把每个$a_i$按规律拆分，相邻的正负项会相互抵消，仅剩首项和末项，直接计算即可；(3)所求式子的每个分式分母是相差2的两个偶数乘积，拆分后需多乘$\frac{1}{2}$，先提取公因式$\frac{1}{2}$，再用裂项相消的方法计算即可。
【解析】
(1)根据规律，第5个等式为$a_5=\frac{1}{5×6}=\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$。
(2)由规律可得第n个等式为$a_n=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$（n为正整数）。
当n=2025时，$a_{2025}=\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$，
所以$a_1+a_2+\dots+a_{2025}$
$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}$
$=1-\frac{1}{2026}$
$=\frac{2025}{2026}$。
(3)原式$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{4}-\frac{1}{6})+\frac{1}{2}×(\frac{1}{6}-\frac{1}{8})+\dots+\frac{1}{2}×(\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\dots+\frac{1}{98}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-\frac{1}{100})$
$=\frac{1}{2}×\frac{49}{100}$
$=\frac{49}{200}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{5}-\frac{1}{6}$；(2)$\frac{2025}{2026}$；(3)$\frac{49}{200}$
【知识点】
1. 数式规律探究 2. 裂项相消求和 3. 分数四则运算
【点评】
本题重点考查裂项相消法的实际应用，解题的关键是先通过已知等式总结出分式拆分的规律，求和时利用中间项抵消的特点大幅简化计算，第三问需注意分母两数的差不为1时，要先调整拆分的系数，避免漏乘系数导致计算错误。
【难度系数】
0.7