1.(1)如图①，O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC与∠AOB的平分线，若∠MON=40°，求∠AOC与∠AOB的度数；
(2)如图②，∠AOB：∠BOC=3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE=12°，求∠DOE的度数。
(2)如图②，∠AOB：∠BOC=3：2，OD是∠BOC的平分线，OE是∠AOC的平分线，且∠BOE=12°，求∠DOE的度数。
答案：1.解:(1)设∠AOB=x.
因为∠AOC与∠AOB互补，
所以∠AOC=180°-x.
由题意,得∠AOM-∠AON=∠MON，
即$\frac{1}{2}(180°-x)-\frac{1}{2}x=40°$,解得$x=50°$,
所以∠AOB=50°,∠AOC=130°.
(2)设∠AOB=3y,∠BOC=2y,
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5y.
因为OE是∠AOC的平分线，
所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{5}{2}y$,
所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=$3y-\frac{5}{2}y=\frac{1}{2}y$.
因为∠BOE=12°,所以$\frac{1}{2}y=12°$,解得$y=24°$.
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=$y=24°$,
所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=24°+12°=36°.
因为∠AOC与∠AOB互补，
所以∠AOC=180°-x.
由题意,得∠AOM-∠AON=∠MON，
即$\frac{1}{2}(180°-x)-\frac{1}{2}x=40°$,解得$x=50°$,
所以∠AOB=50°,∠AOC=130°.
(2)设∠AOB=3y,∠BOC=2y,
则∠AOC=∠AOB+∠BOC=5y.
因为OE是∠AOC的平分线，
所以∠AOE=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{5}{2}y$,
所以∠BOE=∠AOB-∠AOE=$3y-\frac{5}{2}y=\frac{1}{2}y$.
因为∠BOE=12°,所以$\frac{1}{2}y=12°$,解得$y=24°$.
因为OD是∠BOC的平分线，
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOC=$y=24°$,
所以∠DOE=∠BOD+∠BOE=24°+12°=36°.
解析：
【分析】
(1) 首先根据补角的定义可知∠AOC与∠AOB的和为180°，OM、ON分别是两个角的平分线，因此∠AOM是∠AOC的一半，∠AON是∠AOB的一半，且∠MON=∠AOM-∠AON=40°。我们可以通过设未知数列方程的方法求解：设∠AOB为x，用含x的式子表示∠AOC，再根据角度差的等量关系列方程即可算出两个角的度数。
(2) 题目给出了∠AOB和∠BOC的比例关系，我们可以设比例系数为y，用含y的式子分别表示这两个角。结合OE是∠AOC的平分线，可表示出∠AOE，进而得到∠BOE的表达式，结合已知∠BOE=12°求出y的值。再根据OD是∠BOC的平分线求出∠BOD，最后由∠DOE=∠BOD+∠BOE计算得到最终结果。
【解析】
(1) 设$∠ AOB=x$，
因为$∠ AOC$与$∠ AOB$互补，所以$∠ AOC=180° - x$，
因为OM是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(180° - x)$，
因为ON是$∠ AOB$的平分线，所以$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}x$，
由题意得$∠ AOM - ∠ AON = ∠ MON=40°$，
代入得：$\frac{1}{2}(180° - x) - \frac{1}{2}x = 40°$，
解得$x=50°$，
所以$∠ AOB=50°$，$∠ AOC=180° - 50°=130°$。
(2) 设$∠ AOB=3y$，$∠ BOC=2y$，
则$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=3y+2y=5y$，
因为OE是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{5}{2}y$，
所以$∠ BOE=∠ AOB - ∠ AOE=3y - \frac{5}{2}y=\frac{1}{2}y$，
已知$∠ BOE=12°$，所以$\frac{1}{2}y=12°$，解得$y=24°$，
因为OD是$∠ BOC$的平分线，所以$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=y=24°$，
所以$∠ DOE=∠ BOD + ∠ BOE=24° + 12°=36°$。
【答案】
(1)$∠ AOB=50°$，$∠ AOC=130°$；(2)$∠ DOE=36°$
【知识点】
补角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心考查方程思想在几何计算中的应用，解题关键是结合已知的角度关系、比例关系设未知数，再结合角平分线、补角的性质建立方程求解，熟练掌握此类设元方法可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据补角的定义可知∠AOC与∠AOB的和为180°，OM、ON分别是两个角的平分线，因此∠AOM是∠AOC的一半，∠AON是∠AOB的一半，且∠MON=∠AOM-∠AON=40°。我们可以通过设未知数列方程的方法求解：设∠AOB为x，用含x的式子表示∠AOC，再根据角度差的等量关系列方程即可算出两个角的度数。
(2) 题目给出了∠AOB和∠BOC的比例关系，我们可以设比例系数为y，用含y的式子分别表示这两个角。结合OE是∠AOC的平分线，可表示出∠AOE，进而得到∠BOE的表达式，结合已知∠BOE=12°求出y的值。再根据OD是∠BOC的平分线求出∠BOD，最后由∠DOE=∠BOD+∠BOE计算得到最终结果。
【解析】
(1) 设$∠ AOB=x$，
因为$∠ AOC$与$∠ AOB$互补，所以$∠ AOC=180° - x$，
因为OM是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ AOM=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{1}{2}(180° - x)$，
因为ON是$∠ AOB$的平分线，所以$∠ AON=\frac{1}{2}∠ AOB=\frac{1}{2}x$，
由题意得$∠ AOM - ∠ AON = ∠ MON=40°$，
代入得：$\frac{1}{2}(180° - x) - \frac{1}{2}x = 40°$，
解得$x=50°$，
所以$∠ AOB=50°$，$∠ AOC=180° - 50°=130°$。
(2) 设$∠ AOB=3y$，$∠ BOC=2y$，
则$∠ AOC=∠ AOB+∠ BOC=3y+2y=5y$，
因为OE是$∠ AOC$的平分线，所以$∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOC=\frac{5}{2}y$，
所以$∠ BOE=∠ AOB - ∠ AOE=3y - \frac{5}{2}y=\frac{1}{2}y$，
已知$∠ BOE=12°$，所以$\frac{1}{2}y=12°$，解得$y=24°$，
因为OD是$∠ BOC$的平分线，所以$∠ BOD=\frac{1}{2}∠ BOC=y=24°$，
所以$∠ DOE=∠ BOD + ∠ BOE=24° + 12°=36°$。
【答案】
(1)$∠ AOB=50°$，$∠ AOC=130°$；(2)$∠ DOE=36°$
【知识点】
补角的定义，角平分线的定义，角度和差计算
【点评】
本题是角度计算的典型题型，核心考查方程思想在几何计算中的应用，解题关键是结合已知的角度关系、比例关系设未知数，再结合角平分线、补角的性质建立方程求解，熟练掌握此类设元方法可有效简化计算过程。
【难度系数】
0.7
2.已知O为直线AB上一点，在直线AB同侧任作射线OC，OD，使得∠COD=90°.
(1)如图①，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的平分线，当∠COE=25°时，求∠BOD的度数；
(2)如图②，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF=10°时，求∠BOD的度数.
(1)如图①，过点O作射线OE，使OE为∠AOD的平分线，当∠COE=25°时，求∠BOD的度数；
(2)如图②，过点O作射线OE，当OE恰好为∠AOC的平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠BOD，求∠EOF的度数；
(3)过点O作射线OE，当OC恰好为∠AOE的平分线时，另作射线OF，使得OF平分∠COD，当∠EOF=10°时，求∠BOD的度数.
答案：
2.解:(1)因为∠COD=90°,∠COE=25°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-25°=65°.
因为OE为∠AOD的平分线，
所以∠AOD=2∠DOE=130°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=50°.
(2)因为∠COD=90°，
所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°.
因为OE为∠AOC的平分线,OF平分∠BOD，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD,
所以∠EOF=∠COD+∠EOC+∠DOF
$=90°+\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)$
$=90°+\frac{1}{2}×90°$
$=135°$.
(3)分两种情况：
当OF在∠EOD的内部时,如答图①.
第2题答图①
因为∠COD=90°,OF平分∠COD，
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°,
所以∠COE=∠COF-∠EOF=45°-10°=35°.
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=35°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-35°-90°=55°.
当OF在∠EOD的外部时,如答图②.
第2题答图②
因为∠COD=90°,OF平分∠COD，
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°,
所以∠COE=∠COF+∠EOF=45°+10°=55°.
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=55°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-55°-90°=35°.
综上所述,∠BOD的度数为55°或35°.
2.解:(1)因为∠COD=90°,∠COE=25°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-25°=65°.
因为OE为∠AOD的平分线，
所以∠AOD=2∠DOE=130°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=50°.
(2)因为∠COD=90°，
所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°.
因为OE为∠AOC的平分线,OF平分∠BOD，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD,
所以∠EOF=∠COD+∠EOC+∠DOF
$=90°+\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)$
$=90°+\frac{1}{2}×90°$
$=135°$.
(3)分两种情况：
当OF在∠EOD的内部时,如答图①.
第2题答图①
因为∠COD=90°,OF平分∠COD，
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°,
所以∠COE=∠COF-∠EOF=45°-10°=35°.
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=35°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-35°-90°=55°.
当OF在∠EOD的外部时,如答图②.
第2题答图②
因为∠COD=90°,OF平分∠COD，
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°,
所以∠COE=∠COF+∠EOF=45°+10°=55°.
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=55°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-55°-90°=35°.
综上所述,∠BOD的度数为55°或35°.
解析：
【分析】
(1) 先利用∠COD和∠COE的度数差求出∠DOE，再结合OE是∠AOD的平分线得到∠AOD的度数，最后根据平角为180°，用180°减去∠AOD即可得到∠BOD的度数。
(2) 首先根据平角定义和∠COD=90°，推出∠AOC与∠BOD的和为90°；再利用角平分线的性质得到∠EOC、∠DOF分别为∠AOC、∠BOD的一半，将∠EOF拆分为∠COD、∠EOC、∠DOF三部分的和，代入数值计算即可。
(3) 本题需分类讨论OF的位置：①OF在∠EOD内部；②OF在∠EOD外部。两种情况均先根据角平分线求出∠COF=45°，再结合∠EOF=10°求出∠COE的度数，之后由OC是∠AOE的平分线得到∠AOC的度数，最后用平角180°减去∠AOC和∠COD的度数，即可得到对应情况下∠BOD的度数，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 因为∠COD=90°,∠COE=25°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-25°=65°.
因为OE为∠AOD的平分线，
所以∠AOD=2∠DOE=130°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=50°.
(2) 因为∠COD=90°，
所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°.
因为OE为∠AOC的平分线,OF平分∠BOD，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD,
所以∠EOF=∠COD+∠EOC+∠DOF
$=90°+\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)$
$=90°+\frac{1}{2}×90°$
$=135°$.
(3) 分两种情况：
当OF在∠EOD的内部时,如答图①.
第2题答图①
因为∠COD=90°,OF平分∠COD，
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°,
所以∠COE=∠COF-∠EOF=45°-10°=35°.
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=35°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-35°-90°=55°.
当OF在∠EOD的外部时,如答图②.
第2题答图②
因为∠COD=90°,OF平分∠COD，
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°,
所以∠COE=∠COF+∠EOF=45°+10°=55°.
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=55°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-55°-90°=35°.
综上所述,∠BOD的度数为55°或35°.
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$
(2) $\boldsymbol{135°}$
(3) $\boldsymbol{55°}$或$\boldsymbol{35°}$，对应答图：
第2题答图①
第2题答图②
【知识点】
角平分线的定义、平角的性质、角度和差计算
【点评】
本题围绕角平分线与平角的性质考查角度计算，前两问解题思路较为直接，第三问需要结合射线OF的位置进行分类讨论，解题时需注意不要漏解，能够有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6
(1) 先利用∠COD和∠COE的度数差求出∠DOE，再结合OE是∠AOD的平分线得到∠AOD的度数，最后根据平角为180°，用180°减去∠AOD即可得到∠BOD的度数。
(2) 首先根据平角定义和∠COD=90°，推出∠AOC与∠BOD的和为90°；再利用角平分线的性质得到∠EOC、∠DOF分别为∠AOC、∠BOD的一半，将∠EOF拆分为∠COD、∠EOC、∠DOF三部分的和，代入数值计算即可。
(3) 本题需分类讨论OF的位置：①OF在∠EOD内部；②OF在∠EOD外部。两种情况均先根据角平分线求出∠COF=45°，再结合∠EOF=10°求出∠COE的度数，之后由OC是∠AOE的平分线得到∠AOC的度数，最后用平角180°减去∠AOC和∠COD的度数，即可得到对应情况下∠BOD的度数，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
(1) 因为∠COD=90°,∠COE=25°,
所以∠DOE=∠COD-∠COE=90°-25°=65°.
因为OE为∠AOD的平分线，
所以∠AOD=2∠DOE=130°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=50°.
(2) 因为∠COD=90°，
所以∠AOC+∠BOD=180°-∠COD=90°.
因为OE为∠AOC的平分线,OF平分∠BOD，
所以∠EOC=$\frac{1}{2}$∠AOC,∠DOF=$\frac{1}{2}$∠BOD,
所以∠EOF=∠COD+∠EOC+∠DOF
$=90°+\frac{1}{2}(∠AOC+∠BOD)$
$=90°+\frac{1}{2}×90°$
$=135°$.
(3) 分两种情况：
当OF在∠EOD的内部时,如答图①.
第2题答图①
因为∠COD=90°,OF平分∠COD，
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°,
所以∠COE=∠COF-∠EOF=45°-10°=35°.
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=35°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-35°-90°=55°.
当OF在∠EOD的外部时,如答图②.
第2题答图②
因为∠COD=90°,OF平分∠COD，
所以∠COF=$\frac{1}{2}$∠COD=45°,
所以∠COE=∠COF+∠EOF=45°+10°=55°.
因为OC平分∠AOE,所以∠AOC=∠COE=55°,
所以∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-55°-90°=35°.
综上所述,∠BOD的度数为55°或35°.
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$
(2) $\boldsymbol{135°}$
(3) $\boldsymbol{55°}$或$\boldsymbol{35°}$，对应答图：
第2题答图①
第2题答图②
【知识点】
角平分线的定义、平角的性质、角度和差计算
【点评】
本题围绕角平分线与平角的性质考查角度计算，前两问解题思路较为直接，第三问需要结合射线OF的位置进行分类讨论，解题时需注意不要漏解，能够有效锻炼分类讨论的数学思维。
【难度系数】
0.6