三、解答题(共50分)
11.(12分)解下列方程:
(1)$8x - 4 = 6x - 8$;
(2)$\frac{x + 1}{2} - 2 = \frac{x - 3}{4}$.
11.(12分)解下列方程:
(1)$8x - 4 = 6x - 8$;
(2)$\frac{x + 1}{2} - 2 = \frac{x - 3}{4}$.
答案：(1)$x=-2$
(2)$x=3$
(2)$x=3$
12.(8分)先化简,再求值:$5(3x^2y - xy^2) - (xy^2 + 3x^2y)$,其中$x=1,y=-1.$
答案：解:原式=$15x^2y-5xy^2-xy^2-3x^2y=12x^2y-6xy^2$,
当$x=1,y=-1$时,
原式=$12×1^2×(-1)-6×1×(-1)^2=-18.$
当$x=1,y=-1$时,
原式=$12×1^2×(-1)-6×1×(-1)^2=-18.$
13.(8分)用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按如图的方式铺地面:
(1)观察图形,可知图③中黑色瓷砖的块数为
(2)依上推测,第n个图形中白色瓷砖的块数比黑色瓷砖的块数多几块?请说明理由.
(3)白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2025块吗?若能,求出是第几个图形;若不能,请说明理由.
(1)观察图形,可知图③中黑色瓷砖的块数为
10
,白色瓷砖的块数为11
.(2)依上推测,第n个图形中白色瓷砖的块数比黑色瓷砖的块数多几块?请说明理由.
(3)白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2025块吗?若能,求出是第几个图形;若不能,请说明理由.
答案：(1)10 11
(2)解:多1块,理由:第一个图形:黑色瓷砖的块数为4,白色瓷砖的块数为5;
第二个图形:黑色瓷砖的块数为7,白色瓷砖的块数为8;
第三个图形:黑色瓷砖的块数为10,白色瓷砖的块数为11;……,
第n个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1;白色瓷砖的块数为3n+2,
$3n+2-(3n+1)=3n+2-3n-1=1.$
(3)解:能,理由如下:
假设白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数是2025块,
则可得$3n+2+(3n+1)=2025$,
即$6n=2022$,
得$n=337$,是整数,所以假设成立,所以是第337个图形.
(2)解:多1块,理由:第一个图形:黑色瓷砖的块数为4,白色瓷砖的块数为5;
第二个图形:黑色瓷砖的块数为7,白色瓷砖的块数为8;
第三个图形:黑色瓷砖的块数为10,白色瓷砖的块数为11;……,
第n个图形中黑色瓷砖的块数为3n+1;白色瓷砖的块数为3n+2,
$3n+2-(3n+1)=3n+2-3n-1=1.$
(3)解:能,理由如下:
假设白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数是2025块,
则可得$3n+2+(3n+1)=2025$,
即$6n=2022$,
得$n=337$,是整数,所以假设成立,所以是第337个图形.
14.(10分)甲组有4名工人,他们12月份完成的总工作量比这个月人均额定工作量的3倍少1件.乙组有6名工人,他们12月份完成的总工作量比这个月人均额定工作量的5倍多7件.如果甲组工人这个月实际完成的人均工作量比乙组工人这个月实际完成的人均工作量少2件,那么这个月人均额定工作量是多少件?
答案：解:设这个月人均额定工作量是x件.
根据题意,得$(3x-1)÷4=(5x+7)÷6-2$,
解得$x=7.$
答:这个月人均额定工作量是7件.
根据题意,得$(3x-1)÷4=(5x+7)÷6-2$,
解得$x=7.$
答:这个月人均额定工作量是7件.
15.(12分)O为直线AD上一点,以O为顶点作∠COE=90°,射线OF平分∠AOE.
(1)如图①,∠AOC与∠DOE的数量关系为
(2)如图①,若∠AOC=60°,请求出∠COF的度数;
(3)若将图①中的∠COE绕点O旋转至图②的位置,OF依然平分∠AOE,若∠AOC=α,请求出∠COF的度数.
(1)如图①,∠AOC与∠DOE的数量关系为
$∠ AOC+∠ DOE=90°$
;(2)如图①,若∠AOC=60°,请求出∠COF的度数;
(3)若将图①中的∠COE绕点O旋转至图②的位置,OF依然平分∠AOE,若∠AOC=α,请求出∠COF的度数.
答案：(1)$∠ AOC+∠ DOE=90°$
(2)解:因为$∠ AOC=60°$,$∠ COE=90°$,
所以$∠ AOE=∠ AOC+∠ COE=150°.$
因为OF平分$∠ AOE$,所以$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=75°$,
所以$∠ COF=∠ AOF-∠ AOC=75°-60°=15°.$
(3)解:因为$∠ AOC=α$,$∠ COE=90°$,
所以$∠ AOE=∠ COE-∠ AOC=90°-α.$
因为OF平分$∠ AOE$,
所以$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=45°-\frac{1}{2}α$,
所以$∠ COF=∠ AOC+∠ AOF=α+45°-\frac{1}{2}α=45°+\frac{1}{2}α.$
(2)解:因为$∠ AOC=60°$,$∠ COE=90°$,
所以$∠ AOE=∠ AOC+∠ COE=150°.$
因为OF平分$∠ AOE$,所以$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=75°$,
所以$∠ COF=∠ AOF-∠ AOC=75°-60°=15°.$
(3)解:因为$∠ AOC=α$,$∠ COE=90°$,
所以$∠ AOE=∠ COE-∠ AOC=90°-α.$
因为OF平分$∠ AOE$,
所以$∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=45°-\frac{1}{2}α$,
所以$∠ COF=∠ AOC+∠ AOF=α+45°-\frac{1}{2}α=45°+\frac{1}{2}α.$