7. 如图，$△ ABC$的内角$∠ A＝α$，分别作内角$∠ ABC$与外角$∠ ACD$的平分线，两条平分线交于点$A_1$，得$∠ A_1$；$∠ A_1BC$和$∠ A_1CD$的平分线交于点$A_2$，得$∠ A_2$；……以此类推得到$∠ A_{2026}$，则$∠ A_{2026}$的度数是 （
A.$\frac{α}{2}$
B.$\frac{α}{2^{2025}}$
C.$\frac{α}{2^{2026}}$
D.$90°+\frac{α}{2}$
C
）A.$\frac{α}{2}$
B.$\frac{α}{2^{2025}}$
C.$\frac{α}{2^{2026}}$
D.$90°+\frac{α}{2}$
答案：7.C
8.如图,在$△ ABC$中,在$AB$上存在一点$D$,使得$∠ ACD=∠ B$,$△ ABC$的角平分线$AE$交$CD$于点$F$.$△ ABC$的外角$∠ BAG$的平分线所在的直线$MN$与$BC$的延长线交于点$M$,若$∠ M=35°$,则$∠ CFE=\_\_\_\_\_\_°$.
答案：8.55
9.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=50°$,点$D,E$分别在边$BC,AB$上,$DE// AC$,$∠ EDC$的平分线与$∠ BAC$的平分线交于点$F$,则$∠ AFD=$
155
$°$.答案：9.155
10.如图，AD是△ABC的角平分线，∠ACB＞∠B，P为线段AD上一点，PE⊥AD交BC的延长线于点E.
(1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数；
(2)试猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并证明你的结论.
(1)若∠B=30°，∠ACB=80°，求∠E的度数；
(2)试猜想∠E与∠B，∠ACB之间的数量关系，并证明你的结论.
答案：10.解:(1)$\because ∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠B=30°,$
$∠ACB=80°,∴∠BAC=180°-30°-80°=70°.$
$\because AD$平分$∠BAC,∴∠1=∠2=35°,$
$\therefore ∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°.$
$\because PE⊥AD,∴∠3+∠E=90°,$
$\therefore ∠E=90°-65°=25°.$
(2)$∠ACB-∠B=2∠E.$
证明:$\because ∠B+∠ACB+∠BAC=180°,$
$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠ACB.$
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180°-∠B-∠ACB),$
$\therefore ∠3=∠1+∠B=\frac{1}{2}(180°-∠B-∠ACB)+∠B=90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠ACB.$
$\because PE⊥AD,∴∠3+∠E=90°,∴90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠ACB+∠E=90°,即∠ACB-∠B=2∠E.$
$∠ACB=80°,∴∠BAC=180°-30°-80°=70°.$
$\because AD$平分$∠BAC,∴∠1=∠2=35°,$
$\therefore ∠3=∠1+∠B=35°+30°=65°.$
$\because PE⊥AD,∴∠3+∠E=90°,$
$\therefore ∠E=90°-65°=25°.$
(2)$∠ACB-∠B=2∠E.$
证明:$\because ∠B+∠ACB+∠BAC=180°,$
$\therefore ∠BAC=180°-∠B-∠ACB.$
$\because AD$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠1=∠2=\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{2}(180°-∠B-∠ACB),$
$\therefore ∠3=∠1+∠B=\frac{1}{2}(180°-∠B-∠ACB)+∠B=90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠ACB.$
$\because PE⊥AD,∴∠3+∠E=90°,∴90°+\frac{1}{2}∠B-\frac{1}{2}∠ACB+∠E=90°,即∠ACB-∠B=2∠E.$
11.某工厂要制作符合条件的模板，如图，要求$∠ A=105°,∠ B=18°,∠ C=30°$.为了提高工作效率，检验人员利用测量$∠ BDC$的度数的方法筛选出不合格的产品.若测得$∠ BDC$的度数为$150°$,则这种模板是否合格？请说明理由.
答案：
11.解:不合格.理由如下:
如答图,连接AD并延长,
由三角形的外角性质,得$∠3=∠1+∠B,∠4=∠2+∠C,$
$\because ∠BAC=105°,∠B=18°,∠C=30°,$
$\therefore ∠BDC=∠3+∠4=∠BAC+∠B+∠C=105°+18°+30°=153°.$
$\because 150°≠153°,∴这种模板不合格.$
11.解:不合格.理由如下:
如答图,连接AD并延长,
由三角形的外角性质,得$∠3=∠1+∠B,∠4=∠2+∠C,$
$\because ∠BAC=105°,∠B=18°,∠C=30°,$
$\therefore ∠BDC=∠3+∠4=∠BAC+∠B+∠C=105°+18°+30°=153°.$
$\because 150°≠153°,∴这种模板不合格.$