1. 如图,在$△ ABC$中,BD,CD分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,BG,CG分别平分$△ ABC$的两个外角$∠ EBC$,$∠ FCB$,则$∠ D$和$∠ G$的数量关系为 （
A.$∠ D=\frac{1}{2}∠ G$
B.$∠ D+∠ G=180°$
C.$∠ D+\frac{1}{2}∠ G=90°$
D.$∠ D=90°+\frac{1}{2}∠ G$
B
）A.$∠ D=\frac{1}{2}∠ G$
B.$∠ D+∠ G=180°$
C.$∠ D+\frac{1}{2}∠ G=90°$
D.$∠ D=90°+\frac{1}{2}∠ G$
答案：1.B
2. 如图,在$△ ABC$中,$BO$,$CO$分别平分$∠ ABC$,$∠ ACB$,交于点$O$,$CE$为外角$∠ ACD$的平分线,$BO$的延长线交$CE$于点$E$,记$∠ BAC=∠ 1$,$∠ BEC=∠ 2$,有下列结论:①$∠ 1=2∠ 2$;②$∠ BOC=3∠ 2$;③$∠ BOC=90°+∠ 1$;④$∠ BOC=90°+∠ 2$.其中正确的是（
A.①②③
B.①③④
C.①④
D.①②④
C
）A.①②③
B.①③④
C.①④
D.①②④
答案：2.C
3.(2025·崇明区期末)(1)如图①,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,如果∠A=70°,那么∠BPC=
(2)如图②,作△ABC的外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,则∠Q,∠A之间的数量关系为
(3)如图③,延长BP,QC交于点E,在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的4倍,求∠A的度数.
$125°$
;(2)如图②,作△ABC的外角∠MBC,∠NCB的平分线交于点Q,则∠Q,∠A之间的数量关系为
$∠ Q=90°-\frac{1}{2}∠ A$
;(3)如图③,延长BP,QC交于点E,在△BQE中,存在一个内角等于另一个内角的4倍,求∠A的度数.
答案：
3.(1)$125°$
(2)$∠ Q=90°-\frac{1}{2}∠ A$
(3)解:延长 BC 至点 F,如答图.
$\because CQ$ 为 $△ ABC$ 的外角 $∠ NCB$ 的平分线,
$\therefore CE$ 是 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACF$ 的平分线,
$\therefore ∠ ACF=2∠ ECF.$
$\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABC=2∠ EBC.$
$\because ∠ ECF=∠ EBC+∠ E,\therefore 2∠ ECF=2∠ EBC+2∠ E,$
即 $∠ ACF=∠ ABC+2∠ E,$
又 $\because ∠ ACF=∠ ABC+∠ A,\therefore ∠ A=2∠ E,$
即 $∠ E=\frac{1}{2}∠ A.$
$\because ∠ EBQ=∠ EBC+∠ CBQ=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ MBC=$
$\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ MBC)=\frac{1}{2}×180°=90°,$
如果在 $△ BQE$ 中,存在一个内角等于另一个内角的 4 倍,
那么分四种情况:
①$∠ EBQ=4∠ E=90°$,则$∠ E=22.5°$,
$\therefore ∠ A=2∠ E=45°.$
②$∠ EBQ=4∠ Q=90°$,则$∠ Q=22.5°,∠ E=67.5°$,
$\therefore ∠ A=2∠ E=135°.$
③$∠ Q=4∠ E$,则 $5∠ E=90°$,
$\therefore ∠ E=18°,\therefore ∠ A=2∠ E=36°.$
④$∠ E=4∠ Q$,则$∠ E=72°,\therefore ∠ A=2∠ E=144°.$
综上所述,$∠ A$ 的度数是 $45°$ 或 $135°$ 或 $36°$ 或 $144°$.
3.(1)$125°$
(2)$∠ Q=90°-\frac{1}{2}∠ A$
(3)解:延长 BC 至点 F,如答图.
$\because CQ$ 为 $△ ABC$ 的外角 $∠ NCB$ 的平分线,
$\therefore CE$ 是 $△ ABC$ 的外角 $∠ ACF$ 的平分线,
$\therefore ∠ ACF=2∠ ECF.$
$\because BE$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABC=2∠ EBC.$
$\because ∠ ECF=∠ EBC+∠ E,\therefore 2∠ ECF=2∠ EBC+2∠ E,$
即 $∠ ACF=∠ ABC+2∠ E,$
又 $\because ∠ ACF=∠ ABC+∠ A,\therefore ∠ A=2∠ E,$
即 $∠ E=\frac{1}{2}∠ A.$
$\because ∠ EBQ=∠ EBC+∠ CBQ=\frac{1}{2}∠ ABC+\frac{1}{2}∠ MBC=$
$\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ MBC)=\frac{1}{2}×180°=90°,$
如果在 $△ BQE$ 中,存在一个内角等于另一个内角的 4 倍,
那么分四种情况:
①$∠ EBQ=4∠ E=90°$,则$∠ E=22.5°$,
$\therefore ∠ A=2∠ E=45°.$
②$∠ EBQ=4∠ Q=90°$,则$∠ Q=22.5°,∠ E=67.5°$,
$\therefore ∠ A=2∠ E=135°.$
③$∠ Q=4∠ E$,则 $5∠ E=90°$,
$\therefore ∠ E=18°,\therefore ∠ A=2∠ E=36°.$
④$∠ E=4∠ Q$,则$∠ E=72°,\therefore ∠ A=2∠ E=144°.$
综上所述,$∠ A$ 的度数是 $45°$ 或 $135°$ 或 $36°$ 或 $144°$.