2. 阅读教材第23页综合与实践，解答下列问题：
任务一：认识三角形的重心
如图①，在△ABC中，BD，CE是中线，交于点G.
(1)根据数学中对三角形重心的定义，说明点G是△ABC的重心.
(2)△ABC的中线AF也过点G，通过测量写出AG与GF的数量关系.
任务二：确定组合薄板的重心
如图②，薄木板由边长为4 cm的正方形ABCE和底为4 cm，高为3 cm的等腰△CDE组成.尝试确定该薄木板的重心位置.
任务一：认识三角形的重心
如图①，在△ABC中，BD，CE是中线，交于点G.
(1)根据数学中对三角形重心的定义，说明点G是△ABC的重心.
(2)△ABC的中线AF也过点G，通过测量写出AG与GF的数量关系.
任务二：确定组合薄板的重心
如图②，薄木板由边长为4 cm的正方形ABCE和底为4 cm，高为3 cm的等腰△CDE组成.尝试确定该薄木板的重心位置.
答案：
解:任务一
(1)三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. BD,CE是$△ ABC$的中线,它们交于点 G,则连接第三条中线时,也过点 G,因此点 G 是$△ ABC$的重心.
(2)$AG=2GF$.
任务二
如答图. 步骤:①分割图形:将组合图形分为正方形ABCE 和等腰三角形 CDE.
②找各部分的重心:
正方形的重心:对角线的交点 $O_1$,即正方形的中心.
等腰三角形的重心:三条中线的交点 $O_2$,过顶点 D 作底边 CE 的中线,重心在中线上,且距底边$\frac{1}{3}$高的位置.
③确定组合重心:
建立平面直角坐标系,以 C 为原点,CE 为 x 轴,CB 为 y轴. 正方形的重心 $O_1$ 的坐标为$(2,2)$,等腰三角形的重心$O_2$ 的坐标为$(2,1)$,三角形的高为 3 cm,重心距底边1 cm.
由于正方形和三角形的面积分别为 $16\ \mathrm{cm}^2$ 和 $6\ \mathrm{cm}^2$,设组合图形重心的坐标为$(x,y)$,根据“面积加权法”:
$x=\frac{16×2+6×2}{16+6}=2$,$y=\frac{16×2+6×1}{16+6}=\frac{36}{22}=\frac{19}{11}$,
因此,组合图形的重心坐标为$(2,\frac{19}{11})$.
解:任务一
(1)三角形三条中线的交点叫作三角形的重心. BD,CE是$△ ABC$的中线,它们交于点 G,则连接第三条中线时,也过点 G,因此点 G 是$△ ABC$的重心.
(2)$AG=2GF$.
任务二
如答图. 步骤:①分割图形:将组合图形分为正方形ABCE 和等腰三角形 CDE.
②找各部分的重心:
正方形的重心:对角线的交点 $O_1$,即正方形的中心.
等腰三角形的重心:三条中线的交点 $O_2$,过顶点 D 作底边 CE 的中线,重心在中线上,且距底边$\frac{1}{3}$高的位置.
③确定组合重心:
建立平面直角坐标系,以 C 为原点,CE 为 x 轴,CB 为 y轴. 正方形的重心 $O_1$ 的坐标为$(2,2)$,等腰三角形的重心$O_2$ 的坐标为$(2,1)$,三角形的高为 3 cm,重心距底边1 cm.
由于正方形和三角形的面积分别为 $16\ \mathrm{cm}^2$ 和 $6\ \mathrm{cm}^2$,设组合图形重心的坐标为$(x,y)$,根据“面积加权法”:
$x=\frac{16×2+6×2}{16+6}=2$,$y=\frac{16×2+6×1}{16+6}=\frac{36}{22}=\frac{19}{11}$,
因此,组合图形的重心坐标为$(2,\frac{19}{11})$.