9.(2025·景德镇期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=5\ \mathrm{cm}$,$BC=10\ \mathrm{cm}$,一直线$l$经过点$C$,动点$M$从点$A$出发沿$A\rightarrow C\rightarrow B$路径向终点$B$运动,动点$N$从点$B$出发沿$B\rightarrow C\rightarrow A$路径向终点$A$运动,点$M$,$N$分别以$1\ \mathrm{cm/s}$和$4\ \mathrm{cm/s}$的速度同时开始运动,两点都要到相应的终点时才能停止运动,在某时刻,分别过点$M$,$N$作$ME⊥ l$于点$E$,$NF⊥ l$于点$F$,那么点$M$运动
$\frac{5}{3}$或10
秒时,$△ MEC≌△ CFN$.答案：9. $\frac{5}{3}$或10
10.(2025·碑林区期末)如图,AD,BC相交于点O,AB=CD,AM⊥BC于点M,DN//AM,与BC交于点N,BN=CM.求证:∠B=∠C.
答案：10. 证明:$\because AM⊥ BC,DN// AM,$
$\therefore ∠ AMB=∠ DNC=90°.$
$\because BN=CM,\therefore BN+MN=CM+MN,\therefore BM=CN.$
在$\mathrm{Rt}△ ABM$和$\mathrm{Rt}△ DCN$中,$\begin{cases} AB=DC, \\ BM=CN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ DCN(\mathrm{HL}),\therefore ∠ B=∠ C.$
$\therefore ∠ AMB=∠ DNC=90°.$
$\because BN=CM,\therefore BN+MN=CM+MN,\therefore BM=CN.$
在$\mathrm{Rt}△ ABM$和$\mathrm{Rt}△ DCN$中,$\begin{cases} AB=DC, \\ BM=CN, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABM≌\mathrm{Rt}△ DCN(\mathrm{HL}),\therefore ∠ B=∠ C.$
11.如图，AB=AC，DE=DF，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F。
求证:(1)AE=AF；
(2)DB=DC。
求证:(1)AE=AF；
(2)DB=DC。
答案：
11. 证明:(1)如答图,连接AD.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ DEA=∠ DEB=∠ DFC=∠ DFA=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中,
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}),\therefore AE=AF.$
(2)$\because AB=AC,AE=AF,\therefore BE=CF.$
在$△ BDE$和$△ CDF$中,
$\begin{cases} DE=DF, \\ ∠ DEB=∠ DFC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore DB=DC.$
11. 证明:(1)如答图,连接AD.
$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ DEA=∠ DEB=∠ DFC=∠ DFA=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$和$\mathrm{Rt}△ ADF$中,
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}),\therefore AE=AF.$
(2)$\because AB=AC,AE=AF,\therefore BE=CF.$
在$△ BDE$和$△ CDF$中,
$\begin{cases} DE=DF, \\ ∠ DEB=∠ DFC, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore △ BDE≌△ CDF(\mathrm{SAS}),$
$\therefore DB=DC.$
12. 如图，$DE\bot AB$于点$E$，$DF\bot AC$于点$F$，$BD=CD$，$BE=CF$。
(1) 求证：$△ ADE≌△ ADF$；
(2) 已知$AC=18$，$AB=12$，求$BE$的长。
(1) 求证：$△ ADE≌△ ADF$；
(2) 已知$AC=18$，$AB=12$，求$BE$的长。
答案：12. (1)证明:$\because DE⊥ AB,DF⊥ AC,$
$\therefore ∠ E=∠ DFC=∠ DFA=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ EBD$与$\mathrm{Rt}△ FCD$中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EBD≌\mathrm{Rt}△ FCD(\mathrm{HL}),\therefore DE=DF.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ ADF$中,
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}).$
(2)解:$\because \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF,\therefore AE=AF,$
$\therefore AF=AB+BE=12+BE.$
$\because AC=AF+FC,\therefore AC=AB+BE+FC,$
$\therefore 18=12+BE+CF.$
$\because BE=CF,\therefore 18=12+2BE,\therefore BE=3.$
$\therefore ∠ E=∠ DFC=∠ DFA=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ EBD$与$\mathrm{Rt}△ FCD$中,
$\begin{cases} BD=CD, \\ BE=CF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ EBD≌\mathrm{Rt}△ FCD(\mathrm{HL}),\therefore DE=DF.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ ADF$中,
$\begin{cases} AD=AD, \\ DE=DF, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF(\mathrm{HL}).$
(2)解:$\because \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ADF,\therefore AE=AF,$
$\therefore AF=AB+BE=12+BE.$
$\because AC=AF+FC,\therefore AC=AB+BE+FC,$
$\therefore 18=12+BE+CF.$
$\because BE=CF,\therefore 18=12+2BE,\therefore BE=3.$
13.(1)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°.点D在△ABC外,连接AD,作DE⊥AB于点E,延长DE交BC于点F,AD=AB,AE=AC,连接AF.求证:DF=BC+CF;
(2)如图②,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论.
(2)如图②,AB=AD,AC=AE,∠ACB=∠AED=90°,延长BC交DE于点F,写出DF,BC,CF之间的数量关系,并证明你的结论.
答案：
13. (1)证明:$\because DE⊥ AB,∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ AED=∠ AEF=∠ ACB=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ACF$与$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$\begin{cases} AF=AF, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACF≌\mathrm{Rt}△ AEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\begin{cases} AD=AB, \\ AE=AC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL}),\therefore DE=BC.$
$\because DF=DE+EF,\therefore DF=BC+CF.$
(2)解:$BC=CF+DF$.证明如下:
如答图,连接AF.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL}),\therefore BC=DE.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACF=90°=∠ AED.$
在$\mathrm{Rt}△ ACF$与$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$\begin{cases} AF=AF, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACF≌△ AEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$
$\because DE=EF+DF,\therefore BC=CF+DF.$
13. (1)证明:$\because DE⊥ AB,∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ AED=∠ AEF=∠ ACB=90°.$
在$\mathrm{Rt}△ ACF$与$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$\begin{cases} AF=AF, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACF≌\mathrm{Rt}△ AEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$与$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$\begin{cases} AD=AB, \\ AE=AC, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ADE≌\mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL}),\therefore DE=BC.$
$\because DF=DE+EF,\therefore DF=BC+CF.$
(2)解:$BC=CF+DF$.证明如下:
如答图,连接AF.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$与$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$\begin{cases} AB=AD, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ABC≌\mathrm{Rt}△ ADE(\mathrm{HL}),\therefore BC=DE.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ACF=90°=∠ AED.$
在$\mathrm{Rt}△ ACF$与$\mathrm{Rt}△ AEF$中,$\begin{cases} AF=AF, \\ AC=AE, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACF≌△ AEF(\mathrm{HL}),\therefore CF=EF.$
$\because DE=EF+DF,\therefore BC=CF+DF.$