4.【阅读理解】
(1)如图①,在△ABC中,若AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.可以用如下方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.在△ABE中,利用三角形的三边关系可得AD的取值范围是
【问题解决】
(2)如图②,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:BE+CF＞EF.
(1)如图①,在△ABC中,若AB=9,AC=5,求BC边上的中线AD的取值范围.可以用如下方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.在△ABE中,利用三角形的三边关系可得AD的取值范围是
2＜AD＜7
;【问题解决】
(2)如图②,在△ABC中,D是BC边的中点,DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.求证:BE+CF＞EF.
答案：
4.(1)2＜AD＜7
(2)证明:如答图,延长FD至点N,使DN=DF,连接BN,EN.
∵D是BC的中点,
∴CD=BD.
在△FDC和△NDB中,
$\begin{cases}FD=ND,\\∠FDC=∠NDB,\\CD=BD,\end{cases}$
∴△FDC≌△NDB(SAS),
∴FC=BN.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠EDN=90°.
在△EDF和△EDN中,
$\begin{cases}DF=DN,\\∠EDF=∠EDN,\\ED=ED,\end{cases}$
∴△EDF≌△EDN(SAS),
∴EF=EN.
在△EBN中,BE+BN＞EN,
∴BE+CF＞EF.
第4题答图
4.(1)2＜AD＜7
(2)证明:如答图,延长FD至点N,使DN=DF,连接BN,EN.
∵D是BC的中点,
∴CD=BD.
在△FDC和△NDB中,
$\begin{cases}FD=ND,\\∠FDC=∠NDB,\\CD=BD,\end{cases}$
∴△FDC≌△NDB(SAS),
∴FC=BN.
∵DE⊥DF,
∴∠EDF=∠EDN=90°.
在△EDF和△EDN中,
$\begin{cases}DF=DN,\\∠EDF=∠EDN,\\ED=ED,\end{cases}$
∴△EDF≌△EDN(SAS),
∴EF=EN.
在△EBN中,BE+BN＞EN,
∴BE+CF＞EF.
第4题答图5.如图，AB⊥AC，AB=AC，D是AB上一点，CE⊥CD，CE=CD，连接BE交AC于点F，求证：F是BE的中点。
答案：
5. 证明:如答图,过点E作EH⊥AC于点H,
∴∠EHC=∠EHF=90°.
∵AB⊥AC,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°.
∵CE⊥CD,
∴∠ECH+∠ACD=90°,
∴∠ECH=∠CDA.
在△HEC和△ACD中,
$\begin{cases}∠EHC=∠CAD=90°,\\∠ECH=∠CDA,\\CE=DC,\end{cases}$
∴△HEC≌△ACD(AAS),
∴EH=AC.
∵AB=AC,
∴EH=AB.
在△ABF和△HEF中,
$\begin{cases}∠BAF=∠EHF=90°,\\∠AFB=∠HFE,\\BA=EH,\end{cases}$
∴△ABF≌△HEF(AAS),
∴EF=BF,
∴F是BE的中点.
第5题答图
5. 证明:如答图,过点E作EH⊥AC于点H,
∴∠EHC=∠EHF=90°.
∵AB⊥AC,
∴∠DAC=90°,
∴∠ADC+∠ACD=90°.
∵CE⊥CD,
∴∠ECH+∠ACD=90°,
∴∠ECH=∠CDA.
在△HEC和△ACD中,
$\begin{cases}∠EHC=∠CAD=90°,\\∠ECH=∠CDA,\\CE=DC,\end{cases}$
∴△HEC≌△ACD(AAS),
∴EH=AC.
∵AB=AC,
∴EH=AB.
在△ABF和△HEF中,
$\begin{cases}∠BAF=∠EHF=90°,\\∠AFB=∠HFE,\\BA=EH,\end{cases}$
∴△ABF≌△HEF(AAS),
∴EF=BF,
∴F是BE的中点.
第5题答图6.如图，A,B,C三点共线，D,C,E三点共线，$∠ A=∠ DBC$，$EF⊥ AC$于点F，$AE=BD$.
求证:(1)C是DE的中点；
(2)$AB=2CF$.
求证:(1)C是DE的中点；
(2)$AB=2CF$.
答案：
6. 证明:(1)过点D作DH⊥AC,交AC的延长线于点H,如答图,
∴∠DHC=90°.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°.
在△AEF和△BDH中,
$\begin{cases}∠AFE=∠BHD=90°,\\∠A=∠DBH,\\AE=BD,\end{cases}$
∴△AEF≌△BDH(AAS),
∴EF=DH.
在△EFC和△DHC中,
$\begin{cases}∠FCE=∠HCD,\\∠EFC=∠DHC=90°,\\EF=DH,\end{cases}$
∴△EFC≌△DHC(AAS),
∴CE=CD,
∴C是DE的中点.
第6题答图
(2)由(1)得,△AEF≌△BDH,△EFC≌△DHC,
∴AF=BH,CF=CH,
∴AB+BF=BF+FH,FH=2FC,
∴AB=FH=2CF.
6. 证明:(1)过点D作DH⊥AC,交AC的延长线于点H,如答图,
∴∠DHC=90°.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°.
在△AEF和△BDH中,
$\begin{cases}∠AFE=∠BHD=90°,\\∠A=∠DBH,\\AE=BD,\end{cases}$
∴△AEF≌△BDH(AAS),
∴EF=DH.
在△EFC和△DHC中,
$\begin{cases}∠FCE=∠HCD,\\∠EFC=∠DHC=90°,\\EF=DH,\end{cases}$
∴△EFC≌△DHC(AAS),
∴CE=CD,
∴C是DE的中点.
第6题答图(2)由(1)得,△AEF≌△BDH,△EFC≌△DHC,
∴AF=BH,CF=CH,
∴AB+BF=BF+FH,FH=2FC,
∴AB=FH=2CF.