4.如图，$AP// BC$，$∠ PAB$的平分线与$∠ CBA$的平分线相交于点$E$，连接$CE$并延长，交$AP$于点$D$.求证：$AD+BC=AB$.
答案：
如答图,在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,
$\begin{cases}AD=AF,\\∠DAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,
$\begin{cases}∠EFB=∠C,\\∠EBF=∠EBC,\\BE=BE,\end{cases}$
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BF=BC,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
如答图,在AB上截取AF=AD,连接EF.
∵AE平分∠PAB,
∴∠DAE=∠FAE.
在△DAE和△FAE中,
$\begin{cases}AD=AF,\\∠DAE=∠FAE,\\AE=AE,\end{cases}$
∴△DAE≌△FAE(SAS),
∴∠AFE=∠ADE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
∵∠AFE+∠EFB=180°,
∴∠EFB=∠C.
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=∠EBC.
在△BEF和△BEC中,
$\begin{cases}∠EFB=∠C,\\∠EBF=∠EBC,\\BE=BE,\end{cases}$
∴△BEF≌△BEC(AAS),
∴BF=BC,
∴AD+BC=AF+BF=AB.
5.如图,在四边形ABDC中,AC=AB,DC=DB,∠BAC=60°,∠CDB=120°,E是AC上一点,F是AB的延长线上一点,且CE=BF,连接AD,DF,DE.
(1)求证:①DE=DF;②∠ADB=60°.
(2)若点G在AB上,且∠EDG=60°,连接EG,猜想CE,EG,BG之间的数量关系,并说明理由.
(1)求证:①DE=DF;②∠ADB=60°.
(2)若点G在AB上,且∠EDG=60°,连接EG,猜想CE,EG,BG之间的数量关系,并说明理由.
答案：(1)①在四边形ABDC中,∠BAC=60°,∠CDB=120°.
∵∠BAC+∠ABD+∠CDB+∠C=360°,
∴∠ABD+∠C=180°.
又
∵∠ABD+∠DBF=180°,
∴∠C=∠DBF.
在△CDE和△BDF中,
$\begin{cases}CE=BF,\\∠C=∠DBF,\\DC=DB,\end{cases}$
∴△CDE≌△BDF(SAS),
∴DE=DF.
②在△ACD和△ABD中,
$\begin{cases}AC=AB,\\DC=DB,\\AD=AD,\end{cases}$
∴△ACD≌△ABD(SSS),
∴∠ADC=∠ADB.
又
∵∠CDB=120°,
∴∠ADB=60°.
(2)EG=BG+CE.理由如下:
∵∠CDB=120°,∠EDG=60°,
∴∠CDE+∠BDG=60°.
由(1)知△CDE≌△BDF,
∴∠CDE=∠BDF,
∴∠GDF=∠BDG+∠BDF=∠BDG+∠CDE=60°.
又
∵∠EDG=60°,
∴∠EDG=∠GDF.
在△EDG和△FDG中,
$\begin{cases}DE=DF,\\∠EDG=∠FDG,\\DG=DG,\end{cases}$
∴△EDG≌△FDG(SAS),
∴EG=GF=BG+BF=BG+CE.
∵∠BAC+∠ABD+∠CDB+∠C=360°,
∴∠ABD+∠C=180°.
又
∵∠ABD+∠DBF=180°,
∴∠C=∠DBF.
在△CDE和△BDF中,
$\begin{cases}CE=BF,\\∠C=∠DBF,\\DC=DB,\end{cases}$
∴△CDE≌△BDF(SAS),
∴DE=DF.
②在△ACD和△ABD中,
$\begin{cases}AC=AB,\\DC=DB,\\AD=AD,\end{cases}$
∴△ACD≌△ABD(SSS),
∴∠ADC=∠ADB.
又
∵∠CDB=120°,
∴∠ADB=60°.
(2)EG=BG+CE.理由如下:
∵∠CDB=120°,∠EDG=60°,
∴∠CDE+∠BDG=60°.
由(1)知△CDE≌△BDF,
∴∠CDE=∠BDF,
∴∠GDF=∠BDG+∠BDF=∠BDG+∠CDE=60°.
又
∵∠EDG=60°,
∴∠EDG=∠GDF.
在△EDG和△FDG中,
$\begin{cases}DE=DF,\\∠EDG=∠FDG,\\DG=DG,\end{cases}$
∴△EDG≌△FDG(SAS),
∴EG=GF=BG+BF=BG+CE.
6.已知线段AB与点C，AC=AD，BC=BE，点D，E在直线AB的同侧，F为DE的中点，连接AF，BF.
(1)如图①，若点C在线段AB上，∠CAD=∠CBE=90°，求∠AFB的度数；
(2)如图②，若点C在AB下方，∠CAD=α(90°＜α＜180°).写出一个∠CBE的度数(用含α的式子表示)，使得对于任意的点C，总有∠FAB+∠FBA=90°，并证明.
(1)如图①，若点C在线段AB上，∠CAD=∠CBE=90°，求∠AFB的度数；
(2)如图②，若点C在AB下方，∠CAD=α(90°＜α＜180°).写出一个∠CBE的度数(用含α的式子表示)，使得对于任意的点C，总有∠FAB+∠FBA=90°，并证明.
答案：
(1)延长AF,BE交于点H,如答图①所示.
∵∠CAD=∠CBE=90°,
∴∠CAD+∠CBE=180°,
∴AD//BE,
∴∠D=∠1,∠2=∠H.
∵F为DE的中点,
∴DF=EF.
在△ADF和△HEF中,
$\begin{cases}∠D=∠1,\\∠2=∠H,\\DF=EF,\end{cases}$
∴△ADF≌△HEF(AAS),
∴AD=EH,AF=HF.
∵AC=AD,
∴AC=EH.
∵BC=BE,
∴AB=AC+BC=EH+BE=BH.
∵AF=HF,BF=BF,
∴△ABF≌△HBF(SSS),
∴∠AFB=∠HFB.
∵∠AFB+∠HFB=180°,
∴∠AFB=90°.
(2)当∠CBE=180°−α时,对于任意的点C,总有∠FAB+∠FBA=90°.证明如下:
延长AF到点G,使FG=FA,连接GE,GB,如答图②所示.
∵F为DE的中点,
∴EF=DF.
在△GEF和△ADF中,
$\begin{cases}EF=DF,\\∠GFE=∠AFD,\\FG=FA,\end{cases}$
∴△GEF≌△ADF(SAS),
∴∠1=∠D,GE=AD.
∵AC=AD,
∴AC=GE.
∵∠CAD=α,∠CBE=180°−α,
∴∠CAD+∠CBE=180°.
在五边形ADEBC中,∠D+∠CAD+∠C+∠CBE+∠2=(5−2)×180°=540°,
∴∠1+∠C+∠2=360°.
又
∵∠1+∠2+∠GEB=360°,
∴∠C=∠GEB.
在△ACB和△GEB中,
$\begin{cases}AC=GE,\\∠C=∠GEB,\\BC=BE,\end{cases}$
∴△ACB≌△GEB(SAS),
∴AB=GB.
又
∵FG=FA,BF=BF,
∴△ABF≌△GBF(SSS),
∴∠AFB=∠GFB.
∵∠AFB+∠GFB=180°,
∴∠AFB=90°,
∴∠FAB+∠FBA=90°.
(1)延长AF,BE交于点H,如答图①所示.
∵∠CAD=∠CBE=90°,
∴∠CAD+∠CBE=180°,
∴AD//BE,
∴∠D=∠1,∠2=∠H.
∵F为DE的中点,
∴DF=EF.
在△ADF和△HEF中,
$\begin{cases}∠D=∠1,\\∠2=∠H,\\DF=EF,\end{cases}$
∴△ADF≌△HEF(AAS),
∴AD=EH,AF=HF.
∵AC=AD,
∴AC=EH.
∵BC=BE,
∴AB=AC+BC=EH+BE=BH.
∵AF=HF,BF=BF,
∴△ABF≌△HBF(SSS),
∴∠AFB=∠HFB.
∵∠AFB+∠HFB=180°,
∴∠AFB=90°.
(2)当∠CBE=180°−α时,对于任意的点C,总有∠FAB+∠FBA=90°.证明如下:
延长AF到点G,使FG=FA,连接GE,GB,如答图②所示.
∵F为DE的中点,
∴EF=DF.
在△GEF和△ADF中,
$\begin{cases}EF=DF,\\∠GFE=∠AFD,\\FG=FA,\end{cases}$
∴△GEF≌△ADF(SAS),
∴∠1=∠D,GE=AD.
∵AC=AD,
∴AC=GE.
∵∠CAD=α,∠CBE=180°−α,
∴∠CAD+∠CBE=180°.
在五边形ADEBC中,∠D+∠CAD+∠C+∠CBE+∠2=(5−2)×180°=540°,
∴∠1+∠C+∠2=360°.
又
∵∠1+∠2+∠GEB=360°,
∴∠C=∠GEB.
在△ACB和△GEB中,
$\begin{cases}AC=GE,\\∠C=∠GEB,\\BC=BE,\end{cases}$
∴△ACB≌△GEB(SAS),
∴AB=GB.
又
∵FG=FA,BF=BF,
∴△ABF≌△GBF(SSS),
∴∠AFB=∠GFB.
∵∠AFB+∠GFB=180°,
∴∠AFB=90°,
∴∠FAB+∠FBA=90°.