1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，$AC=3$，则$AB$的长为 （
A.1.5
B.3
C.6
D.9
C
）A.1.5
B.3
C.6
D.9
答案：1.C
2.(2025·新泰期末)如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$于点$D$,$∠ A=30°$,则$BD$与$AD$的关系是（
A.$BD=\dfrac{1}{2}AD$
B.$BD=\dfrac{1}{3}AD$
C.$BD=\dfrac{1}{4}AD$
D.$BD=\dfrac{1}{5}AD$
B
）A.$BD=\dfrac{1}{2}AD$
B.$BD=\dfrac{1}{3}AD$
C.$BD=\dfrac{1}{4}AD$
D.$BD=\dfrac{1}{5}AD$
答案：2.B
3.如图，在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC＜AC$.点$D,E$分别在边$AB,BC$上，连接$DE$，将$△ BDE$沿$DE$折叠，点$B$的对应点为$B'$.若点$B'$刚好落在边$AC$上，$∠ CB'E=30°$，$CE=3$，则$BC$的长为________.
答案：3.9
4.如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°,∠ A=30°$,边$AB$的垂直平分线$DE$交$AC$于点$D$,交$AB$于点$E$.若$CD=10\ \mathrm{cm}$,则$AD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案：4.20
5.(2025·章丘区期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P是BC上一点,且∠BAP=90°.
(1)求证:PA=PC;
(2)若CP=10,求BP的长.
(1)求证:PA=PC;
(2)若CP=10,求BP的长.
答案：5.(1)证明:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°−120°)=30°.
∵∠BAP=90°,
∴∠PAC=∠BAC−∠BAP=120°−90°=30°,
∴∠PAC=∠C=30°,
∴PA=PC.
(2)解:由(1)可知 PA=CP=10.
在Rt△APB中,∠BAP=90°,∠B=30°,
∴BP=2AP=20.
∴∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠BAC)=$\frac{1}{2}$×(180°−120°)=30°.
∵∠BAP=90°,
∴∠PAC=∠BAC−∠BAP=120°−90°=30°,
∴∠PAC=∠C=30°,
∴PA=PC.
(2)解:由(1)可知 PA=CP=10.
在Rt△APB中,∠BAP=90°,∠B=30°,
∴BP=2AP=20.
6.(2024·威海期末)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,AB=3,BC=6,点E在BA的延长线上,点D在BC边上,且ED=EC.若AE=5,则BD的长等于 (
A.3
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
C
)A.3
B.$\frac{3}{2}$
C.2
D.$\frac{5}{2}$
答案：6.C
7.(2025·邯郸期末)如图,在等边△ABC中,D为AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作FE⊥BC于点E,若AF=3,则线段BE的长为
$\frac{15}{2}$
.答案：7.$\frac{15}{2}$