8.如图，∠AOB=15°，P是OA上一点，点P与点P'关于OB对称，作P'M⊥OA于点M，OP=4，则MP'的长为
2
。答案：8.2
9. 如图，在$△ ABC$中，$AB=12\ \mathrm{cm}$，$AC=10\ \mathrm{cm}$，$∠ A=60°$，点$P$从点$B$出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$A$运动，同时点$Q$从点$A$出发以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为$t\ \mathrm{s}$，当$△ APQ$为直角三角形时，求$t$的值。
答案：9.解:由题意知 BP=2t cm,AQ=t cm,
∵AB=12 cm,
∴AP=AB−BP=(12−2t)cm.
∵△APQ为直角三角形,∠A=60°,
∴当∠AQP=90°时,∠APQ=30°,
∴AQ=$\frac{1}{2}$AP,
∴t=$\frac{1}{2}$(12−2t),解得 t=3.
当∠APQ=90°时,∠AQP=30°,
∴$\frac{1}{2}$AQ=AP,
∴$\frac{1}{2}$t=12−2t,解得 t=4.8.
综上,当t的值为3或4.8时,△APQ为直角三角形.
∵AB=12 cm,
∴AP=AB−BP=(12−2t)cm.
∵△APQ为直角三角形,∠A=60°,
∴当∠AQP=90°时,∠APQ=30°,
∴AQ=$\frac{1}{2}$AP,
∴t=$\frac{1}{2}$(12−2t),解得 t=3.
当∠APQ=90°时,∠AQP=30°,
∴$\frac{1}{2}$AQ=AP,
∴$\frac{1}{2}$t=12−2t,解得 t=4.8.
综上,当t的值为3或4.8时,△APQ为直角三角形.
10.如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD，BE相交于点P.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BPD的度数；
(3)若BQ⊥AD于点Q，PQ=6，PE=2，求AD的长.
(1)求证：△ABE≌△CAD；
(2)求∠BPD的度数；
(3)若BQ⊥AD于点Q，PQ=6，PE=2，求AD的长.
答案：10.(1)证明:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAE=∠C, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAD(SAS).
(2)解:
∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP,
即∠BPD=∠BAC=60°.
(3)解:
∵BQ⊥AD,
∴∠BQP=90°,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ=12,
∴BE=BP+PE=12+2=14.
∵△ABE≌△CAD,
∴AD=BE=14.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.
在△ABE和△CAD中,$\begin{cases} AB=CA, \\ ∠BAE=∠C, \\ AE=CD, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAD(SAS).
(2)解:
∵△ABE≌△CAD,
∴∠ABE=∠CAD,
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP,
即∠BPD=∠BAC=60°.
(3)解:
∵BQ⊥AD,
∴∠BQP=90°,
∴∠PBQ=30°,
∴BP=2PQ=12,
∴BE=BP+PE=12+2=14.
∵△ABE≌△CAD,
∴AD=BE=14.
11.已知$△ ABC$为等边三角形，AD为$△ ABC$的角平分线，动点E在直线AD上（不与点A重合），连接BE.以BE为一边在BE的下方作等边三角形BEF，连接CF.
(1)如图①，若点E在线段AD上，且$DE=BD$，则$∠ CBF$的度数是
(2)如图②，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE，CF交于点M.
①求$∠ AMC$的度数；
②若$△ ABC$的边长为8，P，Q为直线CF上的两个动点，且$PQ=10$，连接BP，BQ.$△ BPQ$的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
(1)如图①，若点E在线段AD上，且$DE=BD$，则$∠ CBF$的度数是
$15°$
.(2)如图②，若点E在AD的反向延长线上，且直线AE，CF交于点M.
①求$∠ AMC$的度数；
②若$△ ABC$的边长为8，P，Q为直线CF上的两个动点，且$PQ=10$，连接BP，BQ.$△ BPQ$的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.
答案：11.(1)$15°$
(2)解:①
∵△ABC,△BEF都是等边三角形,
∴∠ABC=∠EBF=60°,BA=BC,BE=BF,
∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠BAE=∠BCF.
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BCF=150°,
∴∠DCM=180°−150°=30°.
∵∠CDM=90°,
∴∠AMC=90°−30°=60°.
②△BPQ的面积是定值,定值为20.
过点B作BH⊥CM于点H,如答图.
在Rt△CBH中,CB=8,∠BCH=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴△BPQ的面积为$\frac{1}{2}PQ·BH=\frac{1}{2}×10×4=20$.
[第11题答图]
(2)解:①
∵△ABC,△BEF都是等边三角形,
∴∠ABC=∠EBF=60°,BA=BC,BE=BF,
∴∠ABE=∠CBF,
∴△ABE≌△CBF(SAS),
∴∠BAE=∠BCF.
∵∠BAC=60°,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°,
∴∠BAE=∠BCF=150°,
∴∠DCM=180°−150°=30°.
∵∠CDM=90°,
∴∠AMC=90°−30°=60°.
②△BPQ的面积是定值,定值为20.
过点B作BH⊥CM于点H,如答图.
在Rt△CBH中,CB=8,∠BCH=30°,
∴BH=$\frac{1}{2}$BC=4,
∴△BPQ的面积为$\frac{1}{2}PQ·BH=\frac{1}{2}×10×4=20$.
[第11题答图]