8.(2025·徐汇区月考)如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE，BD分别与CD，CE交于点M，N，已知点A，C，B在同一条直线上，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④∠DAE＝∠DBC.其中正确的有
①②④
.(填序号)答案：8.①②④
9.如图,在锐角三角形$ABC$中,$∠ A=30°$,$BC=3$,$S_{△ ABC}=8$,$P$是边$BC$上的一动点,点$P$关于直线$AB$,$AC$的对称点分别是$M$,$N$,连接$MN$,则$MN$的最小值为________.
答案：9.$\frac{16}{3}$
三、解答题(共50分)
10.(15分)(2025·烟台期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$CD// AB$,$DE⊥ AC$,垂足为E,且$AB=CE$,连接AD.求证:$△ ACD$为等腰三角形.
10.(15分)(2025·烟台期末)如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ B=90°$,$CD// AB$,$DE⊥ AC$,垂足为E,且$AB=CE$,连接AD.求证:$△ ACD$为等腰三角形.
答案：10.证明:$\because CD// AB,\therefore ∠ BAC=∠ DCE.$
$\because DE⊥ AC,\therefore ∠ DEC=90°=∠ B.$
$\because AB=CE,\therefore △ ABC≌△ CED(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AC=CD,\therefore △ ACD$是等腰三角形.
$\because DE⊥ AC,\therefore ∠ DEC=90°=∠ B.$
$\because AB=CE,\therefore △ ABC≌△ CED(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AC=CD,\therefore △ ACD$是等腰三角形.
11.(15分)如图,在△ABC中,∠A=45°,点D在AB边上,BC=CD,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)求证:△DCE≌△CBF;
(2)若AB=AC,求证$:DE=\frac{1}{2}DB.$
(1)求证:△DCE≌△CBF;
(2)若AB=AC,求证$:DE=\frac{1}{2}DB.$
答案：11.证明:(1)$\because DE⊥ AC,BF⊥ AC,$
$\therefore ∠ DEC=∠ CFB=90°,∠ BFA=90°.$
$\because ∠ A=45°,\therefore ∠ ABF=45°.$
$\because BC=CD,\therefore ∠ DBC=∠ BDC.$
$\because ∠ DBC=∠ ABF+∠ FBC,∠ BDC=∠ A+∠ DCE,$
$\therefore ∠ FBC=∠ DCE.$
在$△ DCE$和$△ CBF$中,$\begin{cases}∠ DEC=∠ CFB,\\∠ ECD=∠ FBC,\\CD=BC,\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ CBF(\mathrm{AAS}).$
(2)过点$C$作$CH⊥ BD$于点$H$,如答图.
$\because BC=CD,\therefore ∠ BCH=∠ DCH,BH=DH.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB.$
$\because ∠ FBC=∠ DCE,\therefore ∠ BCD=∠ ABF=45°,$
$\therefore ∠ DCH=22.5°,∠ BDC=(180°-45°)÷2=67.5°,$
$\therefore ∠ ACD=∠ BDC-∠ A=67.5°-45°=22.5°,$
$\therefore ∠ ACD=∠ DCH.$
$\because DE⊥ AC,CH⊥ BD,\therefore DE=DH,\therefore DE=\frac{1}{2}DB.$
[第11题答图]
$\therefore ∠ DEC=∠ CFB=90°,∠ BFA=90°.$
$\because ∠ A=45°,\therefore ∠ ABF=45°.$
$\because BC=CD,\therefore ∠ DBC=∠ BDC.$
$\because ∠ DBC=∠ ABF+∠ FBC,∠ BDC=∠ A+∠ DCE,$
$\therefore ∠ FBC=∠ DCE.$
在$△ DCE$和$△ CBF$中,$\begin{cases}∠ DEC=∠ CFB,\\∠ ECD=∠ FBC,\\CD=BC,\end{cases}$
$\therefore △ DCE≌△ CBF(\mathrm{AAS}).$
(2)过点$C$作$CH⊥ BD$于点$H$,如答图.
$\because BC=CD,\therefore ∠ BCH=∠ DCH,BH=DH.$
$\because AB=AC,\therefore ∠ ABC=∠ ACB.$
$\because ∠ FBC=∠ DCE,\therefore ∠ BCD=∠ ABF=45°,$
$\therefore ∠ DCH=22.5°,∠ BDC=(180°-45°)÷2=67.5°,$
$\therefore ∠ ACD=∠ BDC-∠ A=67.5°-45°=22.5°,$
$\therefore ∠ ACD=∠ DCH.$
$\because DE⊥ AC,CH⊥ BD,\therefore DE=DH,\therefore DE=\frac{1}{2}DB.$
[第11题答图]
12.(20分)如图①,在等边△ABC中,P,Q分别是边AB,BC上的动点(端点除外),点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且运动速度相同,连接AQ,CP交于点M.
(1)求证:△ABQ≌△CAP.
(2)当点P运动到什么位置时,△BPQ是等边三角形?说明理由.
(3)当点P,Q分别在AB,BC边上运动时,∠QMC的大小变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(4)如图②,若点P,Q在运动到终点后继续在射线AB,BC上运动,直线AQ,CP交于点M,则∠QMC的大小变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(1)求证:△ABQ≌△CAP.
(2)当点P运动到什么位置时,△BPQ是等边三角形?说明理由.
(3)当点P,Q分别在AB,BC边上运动时,∠QMC的大小变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
(4)如图②,若点P,Q在运动到终点后继续在射线AB,BC上运动,直线AQ,CP交于点M,则∠QMC的大小变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
答案：12.(1)证明:$\because$点$P$从顶点$A$,点$Q$从顶点$B$同时出发,且运动速度相同,$\therefore AP=BQ.$
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ ABQ=∠ CAP=60°,AB=CA.$
在$△ ABQ$与$△ CAP$中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠ ABQ=∠ CAP,\\BQ=AP,\end{cases}$
$\therefore △ ABQ≌△ CAP(\mathrm{SAS}).$
(2)解:当$P$为$AB$的中点时,$△ BPQ$是等边三角形.理由如下:
$\because P$为$AB$的中点,点$P$从顶点$A$,点$Q$从顶点$B$同时出发,且运动速度相同,
$\therefore AP=BP=BQ.$
又$\because ∠ B=60°,\therefore △ BPQ$是等边三角形.
(3)解:$∠ QMC$的大小不变.
$\because △ ABQ≌△ CAP,\therefore ∠ BAQ=∠ ACP.$
$\because ∠ QMC$是$△ ACM$的外角,
$\therefore ∠ QMC=∠ ACP+∠ MAC=∠ BAQ+∠ MAC=∠ BAC.$
$\because ∠ BAC=60°,\therefore ∠ QMC=60°.$
(4)解:$∠ QMC$的大小不变.
同理可得$△ ABQ≌△ CAP,\therefore ∠ BAQ=∠ ACP.$
$\because ∠ QMC$是$△ APM$的外角,
$\therefore ∠ QMC=∠ BAQ+∠ APM,$
$\therefore ∠ QMC=∠ ACP+∠ APM=180°-∠ PAC=180°-60°=120°.$
即若点$P$,$Q$在运动到终点后,继续在射线$AB$,$BC$上运动,$∠ QMC$的度数不变,为$120°.$
$\because △ ABC$是等边三角形,
$\therefore ∠ ABQ=∠ CAP=60°,AB=CA.$
在$△ ABQ$与$△ CAP$中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠ ABQ=∠ CAP,\\BQ=AP,\end{cases}$
$\therefore △ ABQ≌△ CAP(\mathrm{SAS}).$
(2)解:当$P$为$AB$的中点时,$△ BPQ$是等边三角形.理由如下:
$\because P$为$AB$的中点,点$P$从顶点$A$,点$Q$从顶点$B$同时出发,且运动速度相同,
$\therefore AP=BP=BQ.$
又$\because ∠ B=60°,\therefore △ BPQ$是等边三角形.
(3)解:$∠ QMC$的大小不变.
$\because △ ABQ≌△ CAP,\therefore ∠ BAQ=∠ ACP.$
$\because ∠ QMC$是$△ ACM$的外角,
$\therefore ∠ QMC=∠ ACP+∠ MAC=∠ BAQ+∠ MAC=∠ BAC.$
$\because ∠ BAC=60°,\therefore ∠ QMC=60°.$
(4)解:$∠ QMC$的大小不变.
同理可得$△ ABQ≌△ CAP,\therefore ∠ BAQ=∠ ACP.$
$\because ∠ QMC$是$△ APM$的外角,
$\therefore ∠ QMC=∠ BAQ+∠ APM,$
$\therefore ∠ QMC=∠ ACP+∠ APM=180°-∠ PAC=180°-60°=120°.$
即若点$P$,$Q$在运动到终点后,继续在射线$AB$,$BC$上运动,$∠ QMC$的度数不变,为$120°.$