【分析】
这是一道考查线段垂直平分线性质的基础概念题，解题核心是准确记忆教材中对应性质的标准表述，作答时要注意表述的完整性，不能遗漏“垂直平分线上的点”“与线段两个端点的距离相等”这类核心要素，避免因表述不规范失分。
【解析】
本题为概念识记类填空题，直接根据教材中线段垂直平分线性质的标准表述填写即可，该性质是几何问题中证明两条线段相等的常用重要依据。
【答案】
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【知识点】
线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，侧重考查对教材核心基础知识点的记忆掌握情况，是后续运用该性质解决几何计算、证明类问题的基础，熟练掌握该性质能为复杂几何题的解答提供便利。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题考查线段垂直平分线判定定理的识记，解题时只需回忆课本中关于线段垂直平分线判定的相关概念内容直接填写即可。我们可以结合线段垂直平分线的性质定理来对应记忆：性质定理是“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，判定定理是性质定理的逆定理，逻辑上是反过来的推导关系。
【解析】
线段垂直平分线的判定是性质定理的逆命题，经过严格证明可作为定理使用，该定理可以用来判断一个点是否在某条线段的垂直平分线上，也可用来证明垂直、平分等位置关系。
【答案】
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
【知识点】
线段垂直平分线的判定；定理与逆定理
【点评】
本题属于基础概念类考题，侧重考察对核心几何定理的记忆掌握，是后续运用垂直平分线相关知识解决几何证明、计算问题的基础，需牢固掌握。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先回忆线段垂直平分线的相关定理：①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；②判定定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。对应题目填空即可：性质部分已知直线l垂直平分AB，点P在l上，可直接推出P到A、B的距离相等；判定部分要推点P在AB的垂直平分线上，只需满足P到A、B的距离相等即可。
【解析】
1. 性质推导：
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
已知直线l垂直平分AB，点P在直线l上，因此点P到A、B两点的距离相等，即$PA=PB$。
2. 判定推导：
根据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
因此当$PA=PB$时，可推出点P在AB的垂直平分线上。
【答案】
$PA$；$PB$；$PA$；$PB$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；线段垂直平分线的判定
【点评】
本题是线段垂直平分线性质与判定的基础应用，需明确两个定理的逻辑关系：性质是由“垂直平分线”的条件得到“线段相等”的结论，判定是由“线段相等”的条件得到“点在垂直平分线上”的结论，注意不要混淆二者的条件和结论。
【难度系数】
0.9

【分析】
解题时先抓住题干核心条件：点P到△ABC三个顶点的距离相等，再结合所学的三角形各类特殊线段的性质推导：首先回忆线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，再逐一验证各选项对应的交点性质，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
逐一分析各选项对应的交点性质：
A. 三角形三条高的交点是垂心，没有到三个顶点距离相等的性质，不符合题意；
B. 三角形三条角平分线的交点是内心，性质是到三角形三边的距离相等，并非到三个顶点距离相等，不符合题意；
C. 根据线段垂直平分线的性质和判定：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，反过来，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。到A、B两点距离相等的点在AB边的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点在BC边的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点同时满足到A、B、C三个顶点距离相等，该点也在AC边的垂直平分线上，因此点P是三边垂直平分线的交点，符合题意；
D. 三角形三条中线的交点是重心，性质是重心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，不满足到三个顶点距离相等，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
1.C
【知识点】
线段垂直平分线的性质，三角形特殊线段交点性质
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查三角形不同特殊线段交点的性质区分，学习时要注意辨析“到三个顶点距离相等”和“到三边距离相等”对应的不同结论，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9

【分析】
要证明AB垂直平分CD，可依据线段垂直平分线的判定：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，只需证明点A、点B都到C、D两点的距离相等即可。题目给出了两个角平分线的条件，且AB是△BAD和△BAC的公共边，可先通过ASA证明两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=AC、BD=BC，进而推导出最终结论。
【解析】
证明：
∵BA平分∠CBD，
∴∠DBA=∠CBA，
∵AB平分∠CAD，
∴∠DAB=∠CAB，
在△BAD和△BAC中，
$\begin{cases}∠DBA=∠CBA, \\BA=BA, \\∠DAB=∠CAB,\end{cases}$
∴△BAD≌△BAC(ASA)，
∴DB=CB，AD=AC，
∴点B、A都在DC的垂直平分线上，
∵两点确定一条直线，
∴AB垂直平分CD。
【答案】
证明过程见解析，最终可证得AB垂直平分CD。
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是通过角平分线得到等角，借助全等三角形将角的等量关系转化为边的等量关系，再结合线段垂直平分线的判定完成推导，能够帮助学生巩固全等三角形和垂直平分线的相关核心知识。
【难度系数】
0.8

【分析】
要证明BE垂直平分CD，可依据线段垂直平分线的判定思路：若两个点都到某条线段两端的距离相等，则过这两个点的直线就是该线段的垂直平分线。首先由已知BD=BC，可得点B在CD的垂直平分线上；接下来只需证明点E到C、D的距离相等，即ED=EC即可。观察可得ED、EC分别属于Rt△BDE和Rt△BCE，两个三角形共斜边BE，且直角边BD=BC，可通过HL判定两三角形全等，从而得到ED=EC，说明点E也在CD的垂直平分线上，进而可证BE垂直平分CD。
【解析】
证明:
∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠ACB=∠BDE=90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中,
$\begin{cases}BE=BE,\\BD=BC,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE(HL),
∴ED=EC.
∵ED=EC,BD=BC,
∴点B、E均在CD的垂直平分线上，两点确定一条直线，故BE垂直平分CD。
【答案】
证明:
∵∠ACB=90°,DE⊥AB,
∴∠ACB=∠BDE=90°.
在Rt△BDE和Rt△BCE中,
$\begin{cases}BE=BE,\\BD=BC,\end{cases}$
∴Rt△BDE≌Rt△BCE,
∴ED=EC.
∵ED=EC,BD=BC,
∴BE垂直平分CD.
【知识点】
1. 直角三角形全等判定
2. 线段垂直平分线的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是先通过HL定理证明直角三角形全等得到对应边相等，再结合线段垂直平分线的判定定理完成推导，能够考查学生对基础几何定理的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8