【分析】
本题考查最短路径问题的常用转化方法，解题时首先回忆课本中最短路径问题的两类典型题型及对应处理方法：将军饮马问题借助轴对称变换转化线段，造桥选址问题借助平移变换转化线段，由此即可确定空缺处应填的变换类型。
【解析】
在最短路径问题中，核心解题思路是将未知的路径长度问题转化为“两点之间线段最短”的可直接判断的问题。其中将军饮马类问题通过轴对称变换，将直线同侧的两个点转化为异侧，实现路径长度的等价转换；造桥选址类问题通过平移变换实现线段的等价转换，因此我们通常利用轴对称、平移等变换转化问题后求解最短路径。
【答案】
轴对称
【知识点】
最短路径问题；轴对称变换
【点评】
本题属于基础识记类习题，考查对最短路径问题常用转化方法的掌握，熟悉课本相关基础概念即可快速作答。
【难度系数】
0.9

【分析】
本题是典型的“将军饮马”最短路径问题，解题核心是结合轴对称性质和两点之间线段最短的原理推导作法：要使直线l上的点P满足PA+PB最小，可先作其中一个点关于直线l的对称点，将同侧两点的线段和转化为异侧两点的线段和，再根据两点之间线段最短，连接异侧两点，与直线l的交点即为所求P点，据此判断各选项的作法是否正确即可。
【解析】
解决该问题的标准作法如下：
1. 作点B关于直线l的对称点，由轴对称的性质可知，直线l上任意一点到B和到其对称点的距离相等，即$PB=PB'$，因此$PA+PB=PA+PB'$；
2. 根据“两点之间线段最短”，当A、P、$B'$三点共线时，$PA+PB'$的取值最小，即$PA+PB$最小，因此连接A与B的对称点，该线段与直线l的交点就是所求的点P。
逐一判断选项：
A选项未作点的对称变换，作法错误；
B选项仅过点A作直线l的垂线确定P，不符合最短路径作法，错误；
C选项作的是线段AB的垂直平分线，与本题所求最短路径无关，错误；
D选项的作法符合上述标准步骤，作法正确。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，尺规作图
【点评】
本题考查最短路径基础模型的应用，需要熟练掌握“将军饮马”问题的作图原理，理解通过轴对称进行线段等量转化的逻辑，是对基础作图能力的考查。
【难度系数】
0.8

【分析】
要让总造价最低，首先造桥成本远高于陆上公路，所以优先保证桥的长度最短：平行河岸之间垂线段最短，因此桥必须垂直于河岸，长度固定为河宽，可先排除桥不垂直的选项。接下来要让陆上公路的总长度最短，可通过平移法将折线路径转化为两点之间的线段：将点P沿垂直河岸方向平移一个河宽的距离，平移后连接对应点与Q，与河岸的交点就是桥的端点，此时陆上路径长度最短，对应找到符合要求的方案即可。
【解析】
1. 筛选桥梁的要求：平行河岸之间垂线段最短，且造桥成本更高，因此桥必须垂直于河岸，长度等于河宽。选项A中桥梁不垂直河岸，桥长更长、造价更高，首先排除A。
2. 优化陆上路径长度：将点P沿垂直于河岸的方向向下平移，平移距离等于河宽，得到点P'。根据平移的性质，P到桥上端点的距离等于P'到桥下端点的距离。要让陆上总路程（P到桥上端+桥下端到Q）最短，根据两点之间线段最短，只需连接P'Q，P'Q与下方河岸的交点即为桥的下端点，过该点作垂直河岸的桥梁，连接桥梁上端点与P，此时总造价最低，符合该做法的是选项C。
3. 排除剩余错误选项：B、D选项的陆上路径总长度明显长于C选项的陆上路径，不符合最短要求，排除B、D。
【答案】
C
【知识点】
1.垂线段最短
2.两点之间线段最短
3.平移的应用
【点评】
本题是最短路径问题在实际生活中的应用，解题核心是先明确桥梁需垂直河岸保证桥长最短，再通过平移转化路径，结合线段的性质得到最短陆上路径，考察了学生将数学知识应用于实际问题的能力。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题属于最短路径类问题，解题思路如下：①首先利用等腰三角形三线合一的性质，判断AD是BC的垂直平分线，可得点C关于AD的对称点是点B，因此可以将CF转化为BF，把求CF+EF的最小值转化为求BF+EF的最小值；②根据两点之间线段最短和垂线段最短的结论，可知当B、F、E三点共线，且BE垂直AC时，BF+EF的长度最小，此时最小值就是AC边上的高BE的长度；③最后利用三角形面积公式计算出这条高的长度即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点C关于AD的对称点为点B，
∴CF=BF，
∴CF+EF=BF+EF。
根据两点之间线段最短、垂线段最短的性质，当B、F、E三点共线，且BE⊥AC时，BF+EF取得最小值，最小值为AC边上的高BE的长度。
已知$S_{△ ABC}=12$，$AC=5$，由三角形面积公式：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC × BE$
代入数值可得：$12=\frac{1}{2}×5× BE$，
解得$BE=\frac{24}{5}$。
即CF+EF的最小值为$\frac{24}{5}$。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；最短路径问题；三角形面积计算
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是利用轴对称实现线段的等量转化，将两条线段和的最小值转化为点到直线的垂线段长度，再借助面积法求高，解题过程中要注意转化思想的应用。
【难度系数】
0.7

【分析】
本题属于最短路径问题，解题核心是利用对称将两条折线段的和转化为两点之间的线段，结合两点之间线段最短求解。首先根据等边三角形及全等三角形的性质，推导得出点C关于直线BC₁的对称点为A₁，进而将CD转化为A₁D，此时AD+CD的最小值就等于线段AA₁的长度，最后计算AA₁的长度即可得到答案。
【解析】
解：
∵△ABC是边长为5的等边三角形，且△ABC≌△A₁BC₁
∴△A₁BC₁也是边长为5的等边三角形
∴BC=BA₁=5，∠ABC=∠A₁BC₁=60°
∵A、B、A₁三点共线
∴∠CBC₁=180°-∠ABC-∠A₁BC₁=60°，即∠CBC₁=∠A₁BC₁
结合BC=BA₁，可知BC₁垂直平分线段CA₁，即点C与点A₁关于直线BC₁对称
∴对BC₁上任意点D，都有CD=A₁D
∴AD+CD=AD+A₁D
根据两点之间线段最短，AD+A₁D的最小值为线段AA₁的长度
∵AA₁=AB+BA₁=5+5=10
∴AD+CD的最小值为10
【答案】
10
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，全等三角形的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型应用，解题关键是结合几何图形的性质找到对应点的对称点，将折线段之和的最值转化为两点之间的线段长度求解，需要熟练掌握等边三角形、全等三角形的相关性质。
【难度系数】
0.7