1. 关于$x$的分式方程$\frac{x-3}{x-1}=\frac{m}{x-1}$无解，则$m$的值是 （
A.$-2$
B.$3$
C.$-3$
D.$2$
A
）A.$-2$
B.$3$
C.$-3$
D.$2$
答案：1.A
解析：
【分析】
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的核心原因：一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中分式方程的分母均为$x-1$，因此先确定增根为$x=1$，再通过去分母得到整式方程，将增根代入整式方程即可求出$m$的值。
【解析】
解：首先确定原分式方程的增根：
要使分式有意义，分母$x-1≠0$，即$x≠1$，因此若原方程无解，必然存在增根$x=1$。
给方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（$x≠1$），去分母得：
$x-3=m$
整理得整式方程的解为：$x=m+3$
因为原分式方程无解，所以$x=m+3$是增根，即$m+3=1$
解得：$m=1-3=-2$
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解的判定
【点评】
本题考查分式方程无解相关计算，解题关键是先确定原方程的增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解参数，整体逻辑清晰，是分式方程模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程无解求参数的问题，首先明确分式方程无解的核心原因：一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使原分式分母为0的未知数的值）。本题中分式方程的分母均为$x-1$，因此先确定增根为$x=1$，再通过去分母得到整式方程，将增根代入整式方程即可求出$m$的值。
【解析】
解：首先确定原分式方程的增根：
要使分式有意义，分母$x-1≠0$，即$x≠1$，因此若原方程无解，必然存在增根$x=1$。
给方程两边同时乘以最简公分母$x-1$（$x≠1$），去分母得：
$x-3=m$
整理得整式方程的解为：$x=m+3$
因为原分式方程无解，所以$x=m+3$是增根，即$m+3=1$
解得：$m=1-3=-2$
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程的增根
2. 分式方程无解的判定
【点评】
本题考查分式方程无解相关计算，解题关键是先确定原方程的增根，再将增根代入去分母后的整式方程求解参数，整体逻辑清晰，是分式方程模块的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
2.若关于$x$的方程$\frac{2x+a}{x+2}=-1$的解是负数，则$a$的取值范围是 （
A.$a＜-2$
B.$a＞-2$且$a≠4$
C.$a＞-2$且$a≠0$
D.$a≠0$
B
）A.$a＜-2$
B.$a＞-2$且$a≠4$
C.$a＞-2$且$a≠0$
D.$a≠0$
答案：2.B
解析：
【分析】
要解决这个问题，我们按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是负数”的条件列不等式，求出a的初步范围；第三步，注意分式方程分母不能为0，要排除使得分母为0的a的取值，最终得到完整的取值范围。
【解析】
解：对分式方程去分母，两边同时乘最简公分母$(x+2)$（此时要求$x≠-2$），得：
$2x + a = -(x + 2)$
展开移项合并同类项：
$2x + a = -x - 2$
$3x = -2 - a$
解得：$x = \frac{-a - 2}{3}$
∵ 方程的解是负数
∴ $\frac{-a - 2}{3} ＜ 0$
解不等式：
$-a - 2 ＜ 0$
$-a ＜ 2$
得 $a ＞ -2$
又
∵ 分式分母不为0，即$x + 2 ≠ 0$，也就是$x ≠ -2$
∴ $\frac{-a - 2}{3} ≠ -2$
两边同乘3得：$-a - 2 ≠ -6$
解得：$a ≠ 4$
综上，a的取值范围是$a ＞ -2$且$a ≠ 4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程求解，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程解的范围的常规题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的要求，漏掉$a≠4$的限制条件，解题时要结合解的限制和增根条件综合判断。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们按三步思考：第一步，先将分式方程去分母转化为整式方程，用含a的代数式表示出方程的解x；第二步，根据“解是负数”的条件列不等式，求出a的初步范围；第三步，注意分式方程分母不能为0，要排除使得分母为0的a的取值，最终得到完整的取值范围。
【解析】
解：对分式方程去分母，两边同时乘最简公分母$(x+2)$（此时要求$x≠-2$），得：
$2x + a = -(x + 2)$
展开移项合并同类项：
$2x + a = -x - 2$
$3x = -2 - a$
解得：$x = \frac{-a - 2}{3}$
∵ 方程的解是负数
∴ $\frac{-a - 2}{3} ＜ 0$
解不等式：
$-a - 2 ＜ 0$
$-a ＜ 2$
得 $a ＞ -2$
又
∵ 分式分母不为0，即$x + 2 ≠ 0$，也就是$x ≠ -2$
∴ $\frac{-a - 2}{3} ≠ -2$
两边同乘3得：$-a - 2 ≠ -6$
解得：$a ≠ 4$
综上，a的取值范围是$a ＞ -2$且$a ≠ 4$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程求解，分式有意义的条件，一元一次不等式求解
【点评】
本题是分式方程解的范围的常规题型，易错点是容易忽略分式分母不为0的要求，漏掉$a≠4$的限制条件，解题时要结合解的限制和增根条件综合判断。
【难度系数】
0.7
3. 用换元法解方程$\frac{x^2 +1}{4x} + \frac{4x}{x^2 +1}=2$时，如果设$\frac{x^2 +1}{4x}=y$，那么原方程可化为关于y的整式方程是
y²-2y+1=0
。答案：3. $y^2 - 2y + 1 = 0$
解析：
【分析】
本题采用换元法简化分式方程，解题思路如下：第一步先观察原方程中两个分式的关系，可发现$\frac{4x}{x^2 +1}$是$\frac{x^2 +1}{4x}$的倒数；第二步将题目所设的$y=\frac{x^2 +1}{4x}$代入原方程，把原方程转化为仅含$y$的分式方程；第三步对新的分式方程去分母，即可得到关于$y$的整式方程。
【解析】
设$\frac{x^2 +1}{4x}=y$，根据倒数的性质可得$\frac{4x}{x^2 +1}=\frac{1}{y}$，将两个式子代入原方程得：
$y + \frac{1}{y} = 2$
由于$y$是分式$\frac{x^2 +1}{4x}$的值，故$y≠0$，方程两边同时乘以$y$去分母得：
$y^2 + 1 = 2y$
移项整理得：
$y^2 - 2y + 1 = 0$
【答案】
$y^2 - 2y + 1 = 0$
【知识点】
换元法解分式方程；去分母；倒数的性质
【点评】
本题是换元法应用的基础题型，核心是识别出方程中互为倒数的重复结构，通过换元简化方程，再按分式方程化整式方程的常规步骤求解即可，掌握换元法能有效降低复杂分式方程的求解难度。
【难度系数】
0.8
本题采用换元法简化分式方程，解题思路如下：第一步先观察原方程中两个分式的关系，可发现$\frac{4x}{x^2 +1}$是$\frac{x^2 +1}{4x}$的倒数；第二步将题目所设的$y=\frac{x^2 +1}{4x}$代入原方程，把原方程转化为仅含$y$的分式方程；第三步对新的分式方程去分母，即可得到关于$y$的整式方程。
【解析】
设$\frac{x^2 +1}{4x}=y$，根据倒数的性质可得$\frac{4x}{x^2 +1}=\frac{1}{y}$，将两个式子代入原方程得：
$y + \frac{1}{y} = 2$
由于$y$是分式$\frac{x^2 +1}{4x}$的值，故$y≠0$，方程两边同时乘以$y$去分母得：
$y^2 + 1 = 2y$
移项整理得：
$y^2 - 2y + 1 = 0$
【答案】
$y^2 - 2y + 1 = 0$
【知识点】
换元法解分式方程；去分母；倒数的性质
【点评】
本题是换元法应用的基础题型，核心是识别出方程中互为倒数的重复结构，通过换元简化方程，再按分式方程化整式方程的常规步骤求解即可，掌握换元法能有效降低复杂分式方程的求解难度。
【难度系数】
0.8
4. 解下列分式方程：
(1) $\frac{1+x}{2-x} - 3 = \frac{1}{x-2}$；
(2) $\frac{x}{x-1} - 1 = \frac{3x}{4x-4}$；
(3) $\frac{x}{x-2} - \frac{1-x}{x^2 -4} = 1$；
(4) $\frac{x}{x-1} - 1 = \frac{3}{(x-1)(x+2)}$；
(5) $\frac{x-1}{x+3} - 2 = \frac{x}{3-x}$；
(6) $\frac{2}{3} + \frac{x}{3x-1} = \frac{1}{9x-3}$；
(1) $\frac{1+x}{2-x} - 3 = \frac{1}{x-2}$；
(2) $\frac{x}{x-1} - 1 = \frac{3x}{4x-4}$；
(3) $\frac{x}{x-2} - \frac{1-x}{x^2 -4} = 1$；
(4) $\frac{x}{x-1} - 1 = \frac{3}{(x-1)(x+2)}$；
(5) $\frac{x-1}{x+3} - 2 = \frac{x}{3-x}$；
(6) $\frac{2}{3} + \frac{x}{3x-1} = \frac{1}{9x-3}$；
答案：4.解:(1)方程两边乘$(x-2)$,得$-1-x-3x+6=1$,
解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$x-2≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=1$.
(2)方程两边乘$4(x-1)$,得$4x-4x+4=3x$,
解得$x=\frac{4}{3}$.
检验:当$x=\frac{4}{3}$时,$4(x-1)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=\frac{4}{3}$.
(3)方程两边乘$(x+2)(x-2)$,得$x^2 + 2x - 1 + x = x^2 - 4$,
解得$x=-1$.
检验:当$x=-1$时,$(x+2)(x-2)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=-1$.
(4)方程两边乘$(x-1)(x+2)$,得$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3$,
解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$(x-1)(x+2)=0$,因此$x=1$不是原分式方程的解,
所以,原分式方程无解.
(5)方程两边乘$(x+3)(x-3)$,得$(x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)=-x(x+3)$,
整理,得$x^2 - 4x + 3 - 2x^2 + 18 = -x^2 - 3x$,
解得$x=21$.
检验:当$x=21$时,$(x+3)(x-3)≠0$,
所以,原分式方程的解是$x=21$.
(6)方程两边乘$3(3x-1)$,得$6x-2+3x=1$,
解得$x=\frac{1}{3}$.
检验:当$x=\frac{1}{3}$时,$3(3x-1)=0$,因此$x=\frac{1}{3}$不是原分式方程的解,
所以,原分式方程无解.
解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$x-2≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=1$.
(2)方程两边乘$4(x-1)$,得$4x-4x+4=3x$,
解得$x=\frac{4}{3}$.
检验:当$x=\frac{4}{3}$时,$4(x-1)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=\frac{4}{3}$.
(3)方程两边乘$(x+2)(x-2)$,得$x^2 + 2x - 1 + x = x^2 - 4$,
解得$x=-1$.
检验:当$x=-1$时,$(x+2)(x-2)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=-1$.
(4)方程两边乘$(x-1)(x+2)$,得$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3$,
解得$x=1$.
检验:当$x=1$时,$(x-1)(x+2)=0$,因此$x=1$不是原分式方程的解,
所以,原分式方程无解.
(5)方程两边乘$(x+3)(x-3)$,得$(x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)=-x(x+3)$,
整理,得$x^2 - 4x + 3 - 2x^2 + 18 = -x^2 - 3x$,
解得$x=21$.
检验:当$x=21$时,$(x+3)(x-3)≠0$,
所以,原分式方程的解是$x=21$.
(6)方程两边乘$3(3x-1)$,得$6x-2+3x=1$,
解得$x=\frac{1}{3}$.
检验:当$x=\frac{1}{3}$时,$3(3x-1)=0$,因此$x=\frac{1}{3}$不是原分式方程的解,
所以,原分式方程无解.
解析：
【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤如下：①先对各分母因式分解，找到所有分母的最简公分母，注意互为相反数的分母可以提取负号统一形式；②方程两边同时乘最简公分母消去分母，转化为整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；③解得到的整式方程；④必须检验：将解得的根代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该根是原分式方程的解；若最简公分母为0，说明该根是增根，原分式方程无解。本题6道小题均为分式方程的常见考法，按照上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 最简公分母为$x-2$，方程两边乘$(x-2)$，得$-1-x-3x+6=1$，
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$x-2≠0$，所以$x=1$是原分式方程的解。
---
(2) 先因式分解分母$4x-4=4(x-1)$，最简公分母为$4(x-1)$，方程两边乘$4(x-1)$，得$4x-4x+4=3x$，
解得$x=\frac{4}{3}$。
检验：当$x=\frac{4}{3}$时，$4(x-1)≠0$，所以$x=\frac{4}{3}$是原分式方程的解。
---
(3) 先因式分解分母$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边乘$(x+2)(x-2)$，得$x^2 + 2x - 1 + x = x^2 - 4$，
解得$x=-1$。
检验：当$x=-1$时，$(x+2)(x-2)≠0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
---
(4) 最简公分母为$(x-1)(x+2)$，方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3$，
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+2)=0$，因此$x=1$是增根，不是原分式方程的解，原分式方程无解。
---
(5) 最简公分母为$(x+3)(x-3)$，方程两边乘$(x+3)(x-3)$，得$(x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)=-x(x+3)$，
整理得$x^2 - 4x + 3 - 2x^2 + 18 = -x^2 - 3x$，
解得$x=21$。
检验：当$x=21$时，$(x+3)(x-3)≠0$，所以$x=21$是原分式方程的解。
---
(6) 先因式分解分母$9x-3=3(3x-1)$，最简公分母为$3(3x-1)$，方程两边乘$3(3x-1)$，得$6x-2+3x=1$，
解得$x=\frac{1}{3}$。
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$3(3x-1)=0$，因此$x=\frac{1}{3}$是增根，不是原分式方程的解，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=\frac{4}{3}$；(3) $x=-1$；(4) 无解；(5) $x=21$；(6) 无解
【知识点】
1. 分式方程解法 2. 增根检验 3. 因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础训练题，覆盖了分母互为相反数、需因式分解确定公分母、求解出现增根等常见考查场景，解题时要注意不要漏乘常数项，且必须对整式方程的解进行检验，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，具体步骤如下：①先对各分母因式分解，找到所有分母的最简公分母，注意互为相反数的分母可以提取负号统一形式；②方程两边同时乘最简公分母消去分母，转化为整式方程，注意不要漏乘不含分母的常数项；③解得到的整式方程；④必须检验：将解得的根代入最简公分母，若最简公分母不为0，则该根是原分式方程的解；若最简公分母为0，说明该根是增根，原分式方程无解。本题6道小题均为分式方程的常见考法，按照上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 最简公分母为$x-2$，方程两边乘$(x-2)$，得$-1-x-3x+6=1$，
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$x-2≠0$，所以$x=1$是原分式方程的解。
---
(2) 先因式分解分母$4x-4=4(x-1)$，最简公分母为$4(x-1)$，方程两边乘$4(x-1)$，得$4x-4x+4=3x$，
解得$x=\frac{4}{3}$。
检验：当$x=\frac{4}{3}$时，$4(x-1)≠0$，所以$x=\frac{4}{3}$是原分式方程的解。
---
(3) 先因式分解分母$x^2-4=(x+2)(x-2)$，最简公分母为$(x+2)(x-2)$，方程两边乘$(x+2)(x-2)$，得$x^2 + 2x - 1 + x = x^2 - 4$，
解得$x=-1$。
检验：当$x=-1$时，$(x+2)(x-2)≠0$，所以$x=-1$是原分式方程的解。
---
(4) 最简公分母为$(x-1)(x+2)$，方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得$x^2 + 2x - x^2 - x + 2 = 3$，
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+2)=0$，因此$x=1$是增根，不是原分式方程的解，原分式方程无解。
---
(5) 最简公分母为$(x+3)(x-3)$，方程两边乘$(x+3)(x-3)$，得$(x-1)(x-3)-2(x+3)(x-3)=-x(x+3)$，
整理得$x^2 - 4x + 3 - 2x^2 + 18 = -x^2 - 3x$，
解得$x=21$。
检验：当$x=21$时，$(x+3)(x-3)≠0$，所以$x=21$是原分式方程的解。
---
(6) 先因式分解分母$9x-3=3(3x-1)$，最简公分母为$3(3x-1)$，方程两边乘$3(3x-1)$，得$6x-2+3x=1$，
解得$x=\frac{1}{3}$。
检验：当$x=\frac{1}{3}$时，$3(3x-1)=0$，因此$x=\frac{1}{3}$是增根，不是原分式方程的解，原分式方程无解。
【答案】
(1) $x=1$；(2) $x=\frac{4}{3}$；(3) $x=-1$；(4) 无解；(5) $x=21$；(6) 无解
【知识点】
1. 分式方程解法 2. 增根检验 3. 因式分解
【点评】
本题是分式方程求解的基础训练题，覆盖了分母互为相反数、需因式分解确定公分母、求解出现增根等常见考查场景，解题时要注意不要漏乘常数项，且必须对整式方程的解进行检验，避免误将增根当作原方程的解。
【难度系数】
0.7