1. 如图，$△ ABC$的面积为$8\ \mathrm{cm}^2$，$BP$为$∠ ABC$的平分线，$AP ⊥ BP$，则$△ BCP$的面积为（
A.$3.5\ \mathrm{cm}^2$
B.$3.9\ \mathrm{cm}^2$
C.$4\ \mathrm{cm}^2$
D.$4.2\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$3.5\ \mathrm{cm}^2$
B.$3.9\ \mathrm{cm}^2$
C.$4\ \mathrm{cm}^2$
D.$4.2\ \mathrm{cm}^2$
答案：
1.C 点拨:如答图,延长AP交BC的延长线于点E.
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠EPB=90°.又∠ABP=∠EBP,
BP=BP,
∴△ABP≌△EBP(ASA),
∴S△ABP=S△BEP,
AP=PE,
∴△APC和△CPE等底同高,
∴S△APC=
S△PCE.设△ACE的面积为m,
∴S△ABE=S△ABC+S△ACE=
8+m,
∴S△PBC=S△BEP−S△PCE=$\frac{1}{2}$S△ABE−$\frac{1}{2}$S△ACE=
$\frac{8+m}{2}-\frac{m}{2}=4(\mathrm{cm}^2)$.
1.C 点拨:如答图,延长AP交BC的延长线于点E.
∵AP⊥BP,
∴∠APB=∠EPB=90°.又∠ABP=∠EBP,
BP=BP,
∴△ABP≌△EBP(ASA),
∴S△ABP=S△BEP,
AP=PE,
∴△APC和△CPE等底同高,
∴S△APC=
S△PCE.设△ACE的面积为m,
∴S△ABE=S△ABC+S△ACE=
8+m,
∴S△PBC=S△BEP−S△PCE=$\frac{1}{2}$S△ABE−$\frac{1}{2}$S△ACE=
$\frac{8+m}{2}-\frac{m}{2}=4(\mathrm{cm}^2)$.
解析：
【分析】
遇到角平分线+边上的垂线的组合条件时，通常采用延长垂线段的方法构造全等三角形。本题中BP是∠ABC的平分线，且AP⊥BP，我们可以先延长AP交BC的延长线于点E，先证明△ABP和△EBP全等，得到AP=PE的结论，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，将△BCP的面积转化为△ABC面积的一半，即可求解。
【解析】
解：如答图，延长AP交BC的延长线于点E。
∵AP⊥BP，
∴$∠ APB=∠ EPB=90°$。
又
∵BP平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABP=∠ EBP$。
在$△ ABP$和$△ EBP$中：
$\begin{cases}∠ ABP=∠ EBP \\BP=BP \\∠ APB=∠ EPB\end{cases}$
∴$△ ABP≌△ EBP$（ASA）。
∴$S_{△ ABP}=S_{△ EBP}$，且$AP=PE$。
∵$AP=PE$，$△ APC$和$△ EPC$同高，底$AP=PE$，
∴$S_{△ APC}=S_{△ EPC}$。
设$S_{△ ACE}=m$，则$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}+S_{△ ACE}=8+m$。
∵$S_{△ EBP}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{8+m}{2}$，$S_{△ EPC}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=\frac{m}{2}$，
∴$S_{△ BCP}=S_{△ EBP}-S_{△ EPC}=\frac{8+m}{2}-\frac{m}{2}=4(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是角平分线与垂直结合的典型几何题，核心是通过延长垂线段构造全等三角形，将分散的面积关系进行转化，很好地考查了几何模型的应用能力和面积转化的思想。
【难度系数】
0.7
遇到角平分线+边上的垂线的组合条件时，通常采用延长垂线段的方法构造全等三角形。本题中BP是∠ABC的平分线，且AP⊥BP，我们可以先延长AP交BC的延长线于点E，先证明△ABP和△EBP全等，得到AP=PE的结论，再利用等底同高的三角形面积相等的性质，将△BCP的面积转化为△ABC面积的一半，即可求解。
【解析】
解：如答图，延长AP交BC的延长线于点E。
∵AP⊥BP，
∴$∠ APB=∠ EPB=90°$。
又
∵BP平分$∠ ABC$，
∴$∠ ABP=∠ EBP$。
在$△ ABP$和$△ EBP$中：
$\begin{cases}∠ ABP=∠ EBP \\BP=BP \\∠ APB=∠ EPB\end{cases}$
∴$△ ABP≌△ EBP$（ASA）。
∴$S_{△ ABP}=S_{△ EBP}$，且$AP=PE$。
∵$AP=PE$，$△ APC$和$△ EPC$同高，底$AP=PE$，
∴$S_{△ APC}=S_{△ EPC}$。
设$S_{△ ACE}=m$，则$S_{△ ABE}=S_{△ ABC}+S_{△ ACE}=8+m$。
∵$S_{△ EBP}=\frac{1}{2}S_{△ ABE}=\frac{8+m}{2}$，$S_{△ EPC}=\frac{1}{2}S_{△ ACE}=\frac{m}{2}$，
∴$S_{△ BCP}=S_{△ EBP}-S_{△ EPC}=\frac{8+m}{2}-\frac{m}{2}=4(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，等底同高三角形面积相等
【点评】
本题是角平分线与垂直结合的典型几何题，核心是通过延长垂线段构造全等三角形，将分散的面积关系进行转化，很好地考查了几何模型的应用能力和面积转化的思想。
【难度系数】
0.7
2.(1)观察与发现:小明将三角形纸片$ABC(AC＞AB)$沿过点$A$的直线折叠,使得$AB$落在$AC$边上,折痕为$AD$,展平纸片(如图①);在第一次折叠的基础上,第二次折叠该三角形纸片,使点$A$和点$D$重合,折痕为$EF$,展平纸片后得到$△ AEF$(如图②).小明认为$△ AEF$是等腰三角形,你同意他的结论吗?请说明理由.
(2)模型与运用:如图③,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$BE$平分$∠ ABC$交$AC$于点$E$,过点$C$作$CD⊥ BE$,交$BE$的延长线于点$D$.若$CD=4$,求$△ BCE$的面积.
(2)模型与运用:如图③,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,$BE$平分$∠ ABC$交$AC$于点$E$,过点$C$作$CD⊥ BE$,交$BE$的延长线于点$D$.若$CD=4$,求$△ BCE$的面积.
答案：
2.解:(1)同意.理由如下:
如答图①,设AD与EF交于点G.
由折叠知,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
由折叠知,∠AGE=∠DGE,
∴∠AGE=∠AGF=90°,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
即△AEF为等腰三角形.
(2)如答图②,延长CD,BA交于点F.
∵BE平分∠ABC,CD⊥BE,
∴∠ABD=∠CBD,∠BDF=∠BDC=90°.
在△BDF和△BDC中,$\begin{cases}∠FBD=∠CBD, \\BD=BD, \\∠BDF=∠BDC,\end{cases}$
∴△BDF≌△BDC(ASA),
∴FD=CD=4,CF=2CD=8.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABD+∠AEB=90°.
∵CD⊥BD,
∴∠EDC=90°,
∴∠ACD+∠CED=90°.
∵∠AEB=∠CED,
∴∠ACD=∠ABD.
在△CAF和△BAE中,$\begin{cases}∠ACF=∠ABE, \\AC=AB, \\∠CAF=∠BAE,\end{cases}$
∴△CAF≌△BAE(ASA),
∴BE=CF=8,
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BE·CD=\frac{1}{2}×8×4=16$.
2.解:(1)同意.理由如下:
如答图①,设AD与EF交于点G.
由折叠知,AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD.
由折叠知,∠AGE=∠DGE,
∴∠AGE=∠AGF=90°,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
即△AEF为等腰三角形.
(2)如答图②,延长CD,BA交于点F.
∵BE平分∠ABC,CD⊥BE,
∴∠ABD=∠CBD,∠BDF=∠BDC=90°.
在△BDF和△BDC中,$\begin{cases}∠FBD=∠CBD, \\BD=BD, \\∠BDF=∠BDC,\end{cases}$
∴△BDF≌△BDC(ASA),
∴FD=CD=4,CF=2CD=8.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABD+∠AEB=90°.
∵CD⊥BD,
∴∠EDC=90°,
∴∠ACD+∠CED=90°.
∵∠AEB=∠CED,
∴∠ACD=∠ABD.
在△CAF和△BAE中,$\begin{cases}∠ACF=∠ABE, \\AC=AB, \\∠CAF=∠BAE,\end{cases}$
∴△CAF≌△BAE(ASA),
∴BE=CF=8,
∴$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}BE·CD=\frac{1}{2}×8×4=16$.
解析：
【分析】
(1)要判断△AEF是否为等腰三角形，需证明两条边相等，可通过证明底角相等推导。根据折叠的性质，第一次折叠可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；第二次折叠使点A、D重合，可得EF垂直AD，进而推出∠AEF=∠AFE，即可得△AEF为等腰三角形。
(2)要求△BCE的面积，已知CD⊥BE、CD=4，只需求出BE的长度即可代入面积公式计算。本题符合“角平分线+垂直”的几何模型，可通过延长CD、BA交于点F构造全等三角形：先证△BDF≌△BDC得到CF=2CD=8，再证△CAF≌△BAE得到BE=CF=8，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)同意，理由如下：
如答图①，设AD与EF交于点G。
由折叠性质可知AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
由点A和点D重合的折叠性质可得∠AGE=∠DGE，结合平角定义可得∠AGE=∠AGF=90°。
在△AEG中，∠AEF=90°-∠CAD；在△AFG中，∠AFE=90°-∠BAD，结合∠BAD=∠CAD，可得∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形。
(2)如答图②，延长CD、BA交于点F。
∵BE平分∠ABC，CD⊥BE，
∴∠FBD=∠CBD，∠BDF=∠BDC=90°。
在△BDF和△BDC中：
$\begin{cases}∠FBD=∠CBD, \\BD=BD, \\∠BDF=∠BDC,\end{cases}$
∴△BDF≌△BDC（ASA），
∴FD=CD=4，即CF=CD+FD=8。
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAE=90°，可得∠ABD+∠AEB=90°；
∵CD⊥BD，
∴∠ACD+∠CED=90°，又∠AEB=∠CED（对顶角相等），
∴∠ACD=∠ABD。
在△CAF和△BAE中：
$\begin{cases}∠ACF=∠ABE, \\AC=AB, \\∠CAF=∠BAE,\end{cases}$
∴△CAF≌△BAE（ASA），
∴BE=CF=8。
∴$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BE×CD=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
(1)同意，△AEF是等腰三角形；
(2)$\boxed{16}$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等腰三角形的判定
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，第一问结合折叠变换考查等腰三角形的判定，核心是利用折叠的对应角相等推导角的等量关系；第二问考查角平分线与垂直结合的经典几何模型，掌握这类模型对应的辅助线构造方法，能快速找到解题突破口，提升几何解题能力。
【难度系数】
0.6
(1)要判断△AEF是否为等腰三角形，需证明两条边相等，可通过证明底角相等推导。根据折叠的性质，第一次折叠可得AD平分∠BAC，即∠BAD=∠CAD；第二次折叠使点A、D重合，可得EF垂直AD，进而推出∠AEF=∠AFE，即可得△AEF为等腰三角形。
(2)要求△BCE的面积，已知CD⊥BE、CD=4，只需求出BE的长度即可代入面积公式计算。本题符合“角平分线+垂直”的几何模型，可通过延长CD、BA交于点F构造全等三角形：先证△BDF≌△BDC得到CF=2CD=8，再证△CAF≌△BAE得到BE=CF=8，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
(1)同意，理由如下：
如答图①，设AD与EF交于点G。
由折叠性质可知AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD。
由点A和点D重合的折叠性质可得∠AGE=∠DGE，结合平角定义可得∠AGE=∠AGF=90°。
在△AEG中，∠AEF=90°-∠CAD；在△AFG中，∠AFE=90°-∠BAD，结合∠BAD=∠CAD，可得∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形。
(2)如答图②，延长CD、BA交于点F。
∵BE平分∠ABC，CD⊥BE，
∴∠FBD=∠CBD，∠BDF=∠BDC=90°。
在△BDF和△BDC中：
$\begin{cases}∠FBD=∠CBD, \\BD=BD, \\∠BDF=∠BDC,\end{cases}$
∴△BDF≌△BDC（ASA），
∴FD=CD=4，即CF=CD+FD=8。
∵∠BAC=90°，
∴∠CAF=∠BAE=90°，可得∠ABD+∠AEB=90°；
∵CD⊥BD，
∴∠ACD+∠CED=90°，又∠AEB=∠CED（对顶角相等），
∴∠ACD=∠ABD。
在△CAF和△BAE中：
$\begin{cases}∠ACF=∠ABE, \\AC=AB, \\∠CAF=∠BAE,\end{cases}$
∴△CAF≌△BAE（ASA），
∴BE=CF=8。
∴$S_{△BCE}=\frac{1}{2}×BE×CD=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
(1)同意，△AEF是等腰三角形；
(2)$\boxed{16}$
【知识点】
1. 折叠的性质
2. 等腰三角形的判定
3. 全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，第一问结合折叠变换考查等腰三角形的判定，核心是利用折叠的对应角相等推导角的等量关系；第二问考查角平分线与垂直结合的经典几何模型，掌握这类模型对应的辅助线构造方法，能快速找到解题突破口，提升几何解题能力。
【难度系数】
0.6