1. 如图①,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,AE⊥BC于点E.
(1)若∠C=80°,∠B=40°,求∠DAE的度数;
(2)若∠C＞∠B,证明:∠DAE=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B);
(3)如图②,若将点A在AD上移动到点A'处,A'E'⊥BC于点E',此时∠DAE变成∠DA'E',那么(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
(1)若∠C=80°,∠B=40°,求∠DAE的度数;
(2)若∠C＞∠B,证明:∠DAE=$\frac{1}{2}$(∠C−∠B);
(3)如图②,若将点A在AD上移动到点A'处,A'E'⊥BC于点E',此时∠DAE变成∠DA'E',那么(2)中的结论还成立吗?请说明理由.
答案：
(1)解:在△ABC中,∠C=80°,∠B=40°,
∴∠BAC=180°-(∠C+∠B)=60°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.
∵AE⊥BC,
∴∠AED=90°,
∴∠CAE=∠AED-∠C=90°-80°=10°,
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=30°-10°=20°.
(2)证明:在△ABC中,∠BAC=180°-(∠C+∠B).
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$(∠C+∠B).
∵AE⊥BC,
∴∠AED=90°,
∴∠CAE=∠AED-∠C=90°-∠C,
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=90°-$\frac{1}{2}$(∠C+∠B)-(90°-∠C)=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
(3)解:还成立.理由如下:
过点A作AF⊥BC于点F,如答图所示.
由(2)可知∠DAF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
∵A'E'⊥BC,AF⊥BC,
∴A'E'//AF,
∴∠DA'E'=∠DAF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
(1)解:在△ABC中,∠C=80°,∠B=40°,
∴∠BAC=180°-(∠C+∠B)=60°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°.
∵AE⊥BC,
∴∠AED=90°,
∴∠CAE=∠AED-∠C=90°-80°=10°,
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=30°-10°=20°.
(2)证明:在△ABC中,∠BAC=180°-(∠C+∠B).
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$(∠C+∠B).
∵AE⊥BC,
∴∠AED=90°,
∴∠CAE=∠AED-∠C=90°-∠C,
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=90°-$\frac{1}{2}$(∠C+∠B)-(90°-∠C)=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
(3)解:还成立.理由如下:
过点A作AF⊥BC于点F,如答图所示.
由(2)可知∠DAF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
∵A'E'⊥BC,AF⊥BC,
∴A'E'//AF,
∴∠DA'E'=∠DAF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
解析：
【分析】
本题三小问逐层递进，解题思路如下：(1) 先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，结合角平分线定义得到∠DAC的度数，再根据高线的性质求出∠CAE的度数，最后用∠DAC减去∠CAE即可得∠DAE的度数；(2) 将(1)中的具体角度替换为∠B、∠C，沿用(1)的推导逻辑，通过代数化简即可证明结论；(3) 过点A作BC边上的高AF，利用“垂直于同一直线的两条直线平行”得到A'E'//AF，根据平行线同位角相等的性质，将∠DA'E'转化为∠DAF，再结合(2)的结论即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-(∠C+∠B)=180°-(80°+40°)=60°。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠CAE=90°-∠C=90°-80°=10°，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=30°-10°=20°。
(2) 证明：在△ABC中，∠BAC=180°-(∠B+∠C)。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$[180°-(∠B+∠C)]=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)。
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠C，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)-(90°-∠C)=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)。
(3) 结论还成立，理由如下：
过点A作AF⊥BC于点F，如答图所示。
由(2)的结论可得∠DAF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)。
∵A'E'⊥BC，AF⊥BC，
∴A'E'//AF，
∴∠DA'E'=∠DAF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)，故结论仍成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$
(2) 证明见解析
(3) 结论仍成立，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是三角形角平分线与高线夹角问题的典型题型，从特殊值计算到一般规律推导，再到图形平移变形，既考察了三角形基础角度计算能力，也渗透了由特殊到一般、转化的数学思想，掌握该类题的推导逻辑可快速解决同类夹角计算问题。
【难度系数】
0.7
本题三小问逐层递进，解题思路如下：(1) 先利用三角形内角和求出∠BAC的度数，结合角平分线定义得到∠DAC的度数，再根据高线的性质求出∠CAE的度数，最后用∠DAC减去∠CAE即可得∠DAE的度数；(2) 将(1)中的具体角度替换为∠B、∠C，沿用(1)的推导逻辑，通过代数化简即可证明结论；(3) 过点A作BC边上的高AF，利用“垂直于同一直线的两条直线平行”得到A'E'//AF，根据平行线同位角相等的性质，将∠DA'E'转化为∠DAF，再结合(2)的结论即可判断结论是否成立。
【解析】
(1) 在△ABC中，∠C=80°，∠B=40°，
∴∠BAC=180°-(∠C+∠B)=180°-(80°+40°)=60°。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°，
∴∠CAE=90°-∠C=90°-80°=10°，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=30°-10°=20°。
(2) 证明：在△ABC中，∠BAC=180°-(∠B+∠C)。
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$[180°-(∠B+∠C)]=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)。
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴∠CAE=90°-∠C，
∴∠DAE=∠DAC-∠CAE=90°-$\frac{1}{2}$(∠B+∠C)-(90°-∠C)=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)。
(3) 结论还成立，理由如下：
过点A作AF⊥BC于点F，如答图所示。
由(2)的结论可得∠DAF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)。
∵A'E'⊥BC，AF⊥BC，
∴A'E'//AF，
∴∠DA'E'=∠DAF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B)，故结论仍成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{20°}$
(2) 证明见解析
(3) 结论仍成立，理由见解析
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质
【点评】
本题是三角形角平分线与高线夹角问题的典型题型，从特殊值计算到一般规律推导，再到图形平移变形，既考察了三角形基础角度计算能力，也渗透了由特殊到一般、转化的数学思想，掌握该类题的推导逻辑可快速解决同类夹角计算问题。
【难度系数】
0.7
2.(2025·隆昌期末)如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC于点E，∠B=35°，∠C=65°.
(1)求∠DAE的度数；
(2)如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC于点E”，∠B=α，∠C=β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DFE.
(1)求∠DAE的度数；
(2)如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC于点E”，∠B=α，∠C=β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DFE.
答案：(1)解:
∵∠B=35°,∠C=65°,
∴∠BAC=180°-35°-65°=80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°,
∴∠ADE=∠B+∠BAD=35°+40°=75°.
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-75°=15°.
(2)
∵∠B=α,∠C=β,
∴∠BAC=180°-α-β.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$(α+β),
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°-$\frac{1}{2}$(α+β)=90°+$\frac{α}{2}$-$\frac{β}{2}$.
∵FE⊥BC,
∴∠FEB=90°,
∴∠DFE=90°-∠ADE=$\frac{1}{2}$(β-α).
∵∠B=35°,∠C=65°,
∴∠BAC=180°-35°-65°=80°.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°,
∴∠ADE=∠B+∠BAD=35°+40°=75°.
∵AE⊥BC,
∴∠AEB=90°,
∴∠DAE=90°-∠ADE=90°-75°=15°.
(2)
∵∠B=α,∠C=β,
∴∠BAC=180°-α-β.
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$(α+β),
∴∠ADE=∠B+∠BAD=α+90°-$\frac{1}{2}$(α+β)=90°+$\frac{α}{2}$-$\frac{β}{2}$.
∵FE⊥BC,
∴∠FEB=90°,
∴∠DFE=90°-∠ADE=$\frac{1}{2}$(β-α).
解析：
【分析】
(1) 求解∠DAE可按以下思路推进：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C度数求出∠BAC；再根据角平分线的定义算出∠BAD的度数；接着利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）求出∠ADE的度数；最后结合AE⊥BC得到的直角，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠ADE的度数即可得到∠DAE。
(2) 第二问是字母推导类问题，思路和第一问完全一致，仅将∠B、∠C的数值替换为α、β，按第一问的步骤推导后化简代数式即可得到结果，推导时注意字母运算的化简规则。
【解析】
(1) 解：
∵三角形内角和为180°，∠B=35°，∠C=65°，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-35°-65°=80°$。
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴$∠ ADE=∠ B+∠ BAD=35°+40°=75°$。
∵AE⊥BC，
∴$∠ AEB=90°$，
在Rt△ADE中，$∠ DAE+∠ ADE=90°$，
∴$∠ DAE=90°-∠ ADE=90°-75°=15°$。
(2) 解：
∵三角形内角和为180°，∠B=α，∠C=β，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-α-β$。
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-α-β)=90°-\frac{1}{2}(α+β)$。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴$∠ ADE=∠ B+∠ BAD=α+90°-\frac{1}{2}(α+β)=90°+\frac{α}{2}-\frac{β}{2}$。
∵FE⊥BC，
∴$∠ FEB=90°$，
在Rt△FDE中，$∠ DFE+∠ ADE=90°$，
∴$∠ DFE=90°-∠ ADE=90°-(90°+\frac{α}{2}-\frac{β}{2})=\frac{1}{2}(β-α)$。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$
(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}(β-α)}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角平分线与高线结合的典型夹角计算问题，按照“求三角形内角→利用角平分线得等角→通过外角性质求中间角→结合直角互余算目标角”的逻辑即可顺利求解，第二问从特殊数值推广到一般字母表示，体现了从特殊到一般的数学思想，掌握该推导逻辑可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠DAE可按以下思路推进：首先利用三角形内角和为180°，结合已知的∠B、∠C度数求出∠BAC；再根据角平分线的定义算出∠BAD的度数；接着利用三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）求出∠ADE的度数；最后结合AE⊥BC得到的直角，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠ADE的度数即可得到∠DAE。
(2) 第二问是字母推导类问题，思路和第一问完全一致，仅将∠B、∠C的数值替换为α、β，按第一问的步骤推导后化简代数式即可得到结果，推导时注意字母运算的化简规则。
【解析】
(1) 解：
∵三角形内角和为180°，∠B=35°，∠C=65°，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-35°-65°=80°$。
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴$∠ ADE=∠ B+∠ BAD=35°+40°=75°$。
∵AE⊥BC，
∴$∠ AEB=90°$，
在Rt△ADE中，$∠ DAE+∠ ADE=90°$，
∴$∠ DAE=90°-∠ ADE=90°-75°=15°$。
(2) 解：
∵三角形内角和为180°，∠B=α，∠C=β，
∴$∠ BAC=180°-∠ B-∠ C=180°-α-β$。
∵AD平分∠BAC，
∴$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}(180°-α-β)=90°-\frac{1}{2}(α+β)$。
∵∠ADE是△ABD的外角，
∴$∠ ADE=∠ B+∠ BAD=α+90°-\frac{1}{2}(α+β)=90°+\frac{α}{2}-\frac{β}{2}$。
∵FE⊥BC，
∴$∠ FEB=90°$，
在Rt△FDE中，$∠ DFE+∠ ADE=90°$，
∴$∠ DFE=90°-∠ ADE=90°-(90°+\frac{α}{2}-\frac{β}{2})=\frac{1}{2}(β-α)$。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$
(2) $\boxed{\dfrac{1}{2}(β-α)}$
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是角平分线与高线结合的典型夹角计算问题，按照“求三角形内角→利用角平分线得等角→通过外角性质求中间角→结合直角互余算目标角”的逻辑即可顺利求解，第二问从特殊数值推广到一般字母表示，体现了从特殊到一般的数学思想，掌握该推导逻辑可快速解决同类型问题。
【难度系数】
0.7