1.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=15°$，斜边$AB$的垂直平分线交$AC$于点$E$，交$AB$于点$D$，$AE=8$，求$BC$的长。
答案：
1.解:如答图,连接 BE.
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE=8，
∴∠A=∠ABE=15°，
∴∠CEB=∠A+∠ABE=30°.
∵∠C=90°,
∴BC=$\frac{1}{2}$BE=4.
1.解:如答图,连接 BE.
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE=8，
∴∠A=∠ABE=15°，
∴∠CEB=∠A+∠ABE=30°.
∵∠C=90°,
∴BC=$\frac{1}{2}$BE=4.
解析：
【分析】
解题时首先观察到DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此考虑连接辅助线BE，可得AE=BE，进而得到等腰△ABE，利用等边对等角得到∠ABE=∠A=15°；再根据三角形外角的性质，可求出△BCE中∠CEB的度数为30°，最后在Rt△BCE中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可求出BC的长度。
【解析】
解：如答图，连接BE。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=8，
∴∠A=∠ABE=15°，
∴∠CEB=∠A+∠ABE=30°。
∵∠C=90°，
∴BC=$\frac{1}{2}$BE=4。
【答案】
解:如答图,连接 BE.
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE=8，
∴∠A=∠ABE=15°，
∴∠CEB=∠A+∠ABE=30°.
∵∠C=90°,
∴BC=$\frac{1}{2}$BE=4.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是通过连接辅助线，结合垂直平分线的性质将已知边和已知角进行转化，构造出含30°角的特殊直角三角形，进而利用其性质求解，是角度转化类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察到DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此考虑连接辅助线BE，可得AE=BE，进而得到等腰△ABE，利用等边对等角得到∠ABE=∠A=15°；再根据三角形外角的性质，可求出△BCE中∠CEB的度数为30°，最后在Rt△BCE中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，即可求出BC的长度。
【解析】
解：如答图，连接BE。
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE=8，
∴∠A=∠ABE=15°，
∴∠CEB=∠A+∠ABE=30°。
∵∠C=90°，
∴BC=$\frac{1}{2}$BE=4。
【答案】
解:如答图,连接 BE.
∵DE 是AB 的垂直平分线，
∴AE=BE=8，
∴∠A=∠ABE=15°，
∴∠CEB=∠A+∠ABE=30°.
∵∠C=90°,
∴BC=$\frac{1}{2}$BE=4.
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的关键是通过连接辅助线，结合垂直平分线的性质将已知边和已知角进行转化，构造出含30°角的特殊直角三角形，进而利用其性质求解，是角度转化类的典型题型。
【难度系数】
0.7
2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=BC=20$，$∠ A=15°$，求$△ ABC$的面积.
答案：
2.解:过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D,如答图.
∵AB=BC=20,∠A=15°,
∴∠A=∠ACB=15°,
∴∠DBC=∠A+∠ACB=30°.
∵CD⊥AB,
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=10,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}×20×10=100$.
2.解:过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 的延长线于点 D,如答图.
∵AB=BC=20,∠A=15°,
∴∠A=∠ACB=15°,
∴∠DBC=∠A+∠ACB=30°.
∵CD⊥AB,
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=10,
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}×20×10=100$.
解析：
【分析】
要求△ABC的面积，可借助三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算。已知AB=20，可将AB作为底，只需计算出AB边上的高即可。首先由AB=BC可知△ABC是等腰三角形，根据等边对等角可得∠ACB=∠A=15°，再结合三角形外角的性质，可得到AB延长线与BC的夹角为30°；此时过点C作AB延长线的垂线，即可得到含30°角的直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如答图。
∵AB=BC=20，∠A=15°，
∴∠A=∠ACB=15°（等边对等角），
∴∠DBC=∠A+∠ACB=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵CD⊥AB，即△BCD为直角三角形，∠D=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=10（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}×20×10=100$。
【答案】
100
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含30°直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的利用特殊角度构造直角三角形求解面积的问题，解题的关键是通过作辅助线将15°角转化为特殊的30°角，结合等腰三角形和直角三角形的性质快速求出高，这种构造辅助线的方法在处理含15°、75°等特殊角度的几何问题中经常用到。
【难度系数】
0.6
要求△ABC的面积，可借助三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$计算。已知AB=20，可将AB作为底，只需计算出AB边上的高即可。首先由AB=BC可知△ABC是等腰三角形，根据等边对等角可得∠ACB=∠A=15°，再结合三角形外角的性质，可得到AB延长线与BC的夹角为30°；此时过点C作AB延长线的垂线，即可得到含30°角的直角三角形，利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”即可求出高，最后代入面积公式计算即可。
【解析】
过点C作CD⊥AB交AB的延长线于点D，如答图。
∵AB=BC=20，∠A=15°，
∴∠A=∠ACB=15°（等边对等角），
∴∠DBC=∠A+∠ACB=30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）。
∵CD⊥AB，即△BCD为直角三角形，∠D=90°，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=10（直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半），
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CD=\frac{1}{2}×20×10=100$。
【答案】
100
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，含30°直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的利用特殊角度构造直角三角形求解面积的问题，解题的关键是通过作辅助线将15°角转化为特殊的30°角，结合等腰三角形和直角三角形的性质快速求出高，这种构造辅助线的方法在处理含15°、75°等特殊角度的几何问题中经常用到。
【难度系数】
0.6