1.(2025·陕西期末)如图,定点P在∠AOB的内部,定点N在边OB上,请在OA上找一点M,连接PM,NM,使得△PMN的周长最小. 
第1题图
第1题图答案：
1.解:如答图,作点P关于直线OA的对称点P',连接P'N交OA于点M,则点M即为所求.
由作图知P'M=PM,则PM+MN=P'M+NM,
故当P',N,M三点共线时,P'M+NM有最小值,则△PMN的周长最小.
1.解:如答图,作点P关于直线OA的对称点P',连接P'N交OA于点M,则点M即为所求.
由作图知P'M=PM,则PM+MN=P'M+NM,
故当P',N,M三点共线时,P'M+NM有最小值,则△PMN的周长最小.
解析：
【分析】
要使△PMN的周长最小，首先分析周长的组成：△PMN的周长=PM+MN+PN，其中P、N都是定点，因此PN的长度是固定值，所以只需让PM+MN的和最小即可。求解两条线段和的最小值可借助轴对称转化线段：作点P关于OA的对称点P'，根据轴对称性质可得PM=P'M，此时PM+MN可转化为P'M+MN，再结合“两点之间线段最短”的结论，当P'、M、N三点共线时，P'M+MN的和最小，此时对应OA上的交点就是所求的点M。
【解析】
1. 分析周长可变部分：△PMN的周长为PM+MN+PN，由于点P、N为定点，因此PN长度固定，要使周长最小，只需PM+MN的和最小。
2. 轴对称转化线段：作点P关于直线OA的对称点P'，由轴对称的性质可知，OA上任意一点到P、P'的距离相等，即PM=P'M，因此PM+MN=P'M+MN。
3. 确定最小值位置：根据两点之间线段最短，当P'、M、N三点共线时，P'M+MN的和最小，最小值为线段P'N的长度，因此连接P'N，P'N与OA的交点即为所求的点M。
【答案】
如答图,作点P关于直线OA的对称点P',连接P'N交OA于点M,则点M即为所求.
由作图知P'M=PM,则PM+MN=P'M+NM,
故当P',N,M三点共线时,P'M+NM有最小值,则△PMN的周长最小.
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称应用于最短路径问题的典型题型，解题核心是通过轴对称将折线和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，掌握该转化思想可快速解决同类型的最短路径题目。
【难度系数】
0.7
要使△PMN的周长最小，首先分析周长的组成：△PMN的周长=PM+MN+PN，其中P、N都是定点，因此PN的长度是固定值，所以只需让PM+MN的和最小即可。求解两条线段和的最小值可借助轴对称转化线段：作点P关于OA的对称点P'，根据轴对称性质可得PM=P'M，此时PM+MN可转化为P'M+MN，再结合“两点之间线段最短”的结论，当P'、M、N三点共线时，P'M+MN的和最小，此时对应OA上的交点就是所求的点M。
【解析】
1. 分析周长可变部分：△PMN的周长为PM+MN+PN，由于点P、N为定点，因此PN长度固定，要使周长最小，只需PM+MN的和最小。
2. 轴对称转化线段：作点P关于直线OA的对称点P'，由轴对称的性质可知，OA上任意一点到P、P'的距离相等，即PM=P'M，因此PM+MN=P'M+MN。
3. 确定最小值位置：根据两点之间线段最短，当P'、M、N三点共线时，P'M+MN的和最小，最小值为线段P'N的长度，因此连接P'N，P'N与OA的交点即为所求的点M。
【答案】
如答图,作点P关于直线OA的对称点P',连接P'N交OA于点M,则点M即为所求.
由作图知P'M=PM,则PM+MN=P'M+NM,
故当P',N,M三点共线时,P'M+NM有最小值,则△PMN的周长最小.
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题是轴对称应用于最短路径问题的典型题型，解题核心是通过轴对称将折线和的最值问题转化为两点之间线段最短的问题，掌握该转化思想可快速解决同类型的最短路径题目。
【难度系数】
0.7
2.(2025·江宁区月考)利用图形的变换可以解决很多生活中的问题.
如图①,要在一条笔直的路边$l$上建一个燃气站,向$l$同侧的$A$,$B$两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短.
如图②,作出点$A$关于$l$的对称点$A'$,线段$A'B$与直线$l$的交点$P$的位置即为所求,即在$P$处建燃气站,所得路线$A-P-B$是最短的.
(1)如果在$A$,$B$两个城镇之间规划一个生态保护区,如图③,④,燃气管道不能穿过该区域,请分别在图中给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由,作图工具不限);
(2)如图⑤,已知$∠ AOB$及其内部一点$P$,试在$OA$,$OB$上分别确定点$M$,$N$,使$PM+PN+MN$最小(不需说明理由,作图工具不限).
如图①,要在一条笔直的路边$l$上建一个燃气站,向$l$同侧的$A$,$B$两个城镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短.
如图②,作出点$A$关于$l$的对称点$A'$,线段$A'B$与直线$l$的交点$P$的位置即为所求,即在$P$处建燃气站,所得路线$A-P-B$是最短的.
(1)如果在$A$,$B$两个城镇之间规划一个生态保护区,如图③,④,燃气管道不能穿过该区域,请分别在图中给出下列两种情形的铺设管道的方案(不需说明理由,作图工具不限);
(2)如图⑤,已知$∠ AOB$及其内部一点$P$,试在$OA$,$OB$上分别确定点$M$,$N$,使$PM+PN+MN$最小(不需说明理由,作图工具不限).
答案：
2.解:(1)如答图①,②所示.
如答图①,连接BC,然后作出点C关于l的对称点C',线段AC'与直线l的交点P的位置即为所求,即在P处建燃气站,所得路线A-P-C-B是最短的.
如答图②,分别连接AD,BC,然后作出点C关于l的对称点C',线段DC'与直线l的交点P的位置即为所求,即在P处建燃气站,所得路线A-D-P-C-B是最短的.
(2)如答图③,分别作出点P关于OA,OB的对称点P',P'',然后连接P'P''交OA于点M,交OB于点N,此时PM+PN+MN最小.
2.解:(1)如答图①,②所示.
如答图①,连接BC,然后作出点C关于l的对称点C',线段AC'与直线l的交点P的位置即为所求,即在P处建燃气站,所得路线A-P-C-B是最短的.
如答图②,分别连接AD,BC,然后作出点C关于l的对称点C',线段DC'与直线l的交点P的位置即为所求,即在P处建燃气站,所得路线A-D-P-C-B是最短的.
(2)如答图③,分别作出点P关于OA,OB的对称点P',P'',然后连接P'P''交OA于点M,交OB于点N,此时PM+PN+MN最小.
解析：
【分析】
本题是利用轴对称解决最短路径的实际应用问题，核心解题思路是利用轴对称的性质将折线路径的长度和转化为两点之间的线段长度，结合“两点之间线段最短”的原理求解。
(1)当存在生态保护区，管道无法直接连通A、B和l上的点时，需先确定路径必须经过的保护区拐点：
①针对图③的情形，路径需经过保护区靠近B侧的拐点C，将C关于l作对称后，可把P到C的长度等价转化为P到C的对称点C'的长度，连接A与C'，和l的交点就是最优的燃气站位置；
②针对图④的情形，路径需先后经过保护区靠近A侧的拐点D、靠近B侧的拐点C，将C关于l作对称后，连接D与C'，和l的交点就是最优的燃气站位置。
(2)要使OA、OB上的点M、N满足PM+PN+MN最小，分别将P关于OA、OB作对称，可将PM转化为P'M、PN转化为P''N，此时三条线段的和等价为P'到P''的路径长度，连接P'P''与OA、OB的交点即为所求的M、N，此时总长度最短。
【解析】
(1) 图③铺设方案步骤：
① 标记保护区右下角靠近点B的顶点为C，连接BC；
② 作点C关于直线l的对称点C'；
③ 连接AC'，AC'与直线l的交点即为燃气站P的位置，沿A-P-C-B路线铺设管道最短。
图④铺设方案步骤：
① 标记保护区左下角靠近点A的顶点为D、右下角靠近点B的顶点为C，分别连接AD、BC；
② 作点C关于直线l的对称点C'；
③ 连接DC'，DC'与直线l的交点即为燃气站P的位置，沿A-D-P-C-B路线铺设管道最短。
(2) 点M、N的确定步骤：
① 分别作点P关于OA的对称点P'，关于OB的对称点P''；
② 连接P'P''，P'P''与OA的交点即为M，与OB的交点即为N，此时PM+PN+MN的值最小。
【答案】
(1) 铺设方案如下：
如答图①，连接BC，然后作出点C关于l的对称点C'，线段AC'与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线A-P-C-B是最短的。
如答图②，分别连接AD，BC，然后作出点C关于l的对称点C'，线段DC'与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线A-D-P-C-B是最短的。
(2) 点M、N位置如下：
如答图③，分别作出点P关于OA，OB的对称点P'，P''，然后连接P'P''交OA于点M，交OB于点N，此时PM+PN+MN最小。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题结合实际场景考查轴对称的应用，核心是通过轴对称将折线路径转化为两点之间的线段，既需要掌握对称作图的方法，也需要结合实际限制条件确定路径的必经拐点，能够很好地锻炼转化思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.6
本题是利用轴对称解决最短路径的实际应用问题，核心解题思路是利用轴对称的性质将折线路径的长度和转化为两点之间的线段长度，结合“两点之间线段最短”的原理求解。
(1)当存在生态保护区，管道无法直接连通A、B和l上的点时，需先确定路径必须经过的保护区拐点：
①针对图③的情形，路径需经过保护区靠近B侧的拐点C，将C关于l作对称后，可把P到C的长度等价转化为P到C的对称点C'的长度，连接A与C'，和l的交点就是最优的燃气站位置；
②针对图④的情形，路径需先后经过保护区靠近A侧的拐点D、靠近B侧的拐点C，将C关于l作对称后，连接D与C'，和l的交点就是最优的燃气站位置。
(2)要使OA、OB上的点M、N满足PM+PN+MN最小，分别将P关于OA、OB作对称，可将PM转化为P'M、PN转化为P''N，此时三条线段的和等价为P'到P''的路径长度，连接P'P''与OA、OB的交点即为所求的M、N，此时总长度最短。
【解析】
(1) 图③铺设方案步骤：
① 标记保护区右下角靠近点B的顶点为C，连接BC；
② 作点C关于直线l的对称点C'；
③ 连接AC'，AC'与直线l的交点即为燃气站P的位置，沿A-P-C-B路线铺设管道最短。
图④铺设方案步骤：
① 标记保护区左下角靠近点A的顶点为D、右下角靠近点B的顶点为C，分别连接AD、BC；
② 作点C关于直线l的对称点C'；
③ 连接DC'，DC'与直线l的交点即为燃气站P的位置，沿A-D-P-C-B路线铺设管道最短。
(2) 点M、N的确定步骤：
① 分别作点P关于OA的对称点P'，关于OB的对称点P''；
② 连接P'P''，P'P''与OA的交点即为M，与OB的交点即为N，此时PM+PN+MN的值最小。
【答案】
(1) 铺设方案如下：
如答图①，连接BC，然后作出点C关于l的对称点C'，线段AC'与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线A-P-C-B是最短的。
如答图②，分别连接AD，BC，然后作出点C关于l的对称点C'，线段DC'与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线A-D-P-C-B是最短的。
(2) 点M、N位置如下：
如答图③，分别作出点P关于OA，OB的对称点P'，P''，然后连接P'P''交OA于点M，交OB于点N，此时PM+PN+MN最小。
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，两点之间线段最短
【点评】
本题结合实际场景考查轴对称的应用，核心是通过轴对称将折线路径转化为两点之间的线段，既需要掌握对称作图的方法，也需要结合实际限制条件确定路径的必经拐点，能够很好地锻炼转化思维和动手作图能力。
【难度系数】
0.6