1.(2025·石家庄三模)如图,C是线段BG上的一点,以BC,CG为边向两边作正方形,面积分别是$S_1$和$S_2$,两正方形的面积和$S_1+S_2=40$,已知$BG=8$,则图中阴影部分的面积为 (
A.6
B.8
C.10
D.12
A
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案：1.A 点拨:设$BC=a,CG=b$,则$S_1=a^2,S_2=b^2,a+b=BG=8,\therefore a^2+b^2=40. \because (a+b)^2=a^2+b^2+2ab=64,\therefore 2ab=64-40=24,$解得$ab=12,\therefore$阴影部分的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×12=6.$
解析：
【分析】
解决本题首先要明确已知条件和所求目标：已知两个正方形的面积和、边长和，求阴影直角三角形的面积。第一步可设两个正方形的边长分别为a、b，可得a+b=8，a²+b²=40；第二步观察阴影部分是直角三角形，两条直角边长度分别为a和b，因此阴影面积为$\frac{1}{2}ab$，只需计算出ab的值即可；第三步结合完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已知的a+b和a²+b²的值，即可求出ab，进而得到阴影面积。
【解析】
设$BC=a$，$CG=b$，
∵ 两个正方形的面积分别为$S_1$和$S_2$，
∴ $S_1=a^2$，$S_2=b^2$，
由题意得：$a+b=BG=8$，$S_1+S_2=a^2+b^2=40$，
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
代入$a+b=8$得：$8^2=40+2ab$，
即$64=40+2ab$，
解得：$2ab=24$，$ab=12$，
∵ 阴影部分为直角三角形，两条直角边长分别为a、b，
∴ 阴影部分面积$=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式的应用，正方形面积公式，三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题的核心是将几何图形的边长、面积关系与完全平方公式的变形相结合，通过设参数的方式快速求解未知量，有助于提升数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确已知条件和所求目标：已知两个正方形的面积和、边长和，求阴影直角三角形的面积。第一步可设两个正方形的边长分别为a、b，可得a+b=8，a²+b²=40；第二步观察阴影部分是直角三角形，两条直角边长度分别为a和b，因此阴影面积为$\frac{1}{2}ab$，只需计算出ab的值即可；第三步结合完全平方和公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，代入已知的a+b和a²+b²的值，即可求出ab，进而得到阴影面积。
【解析】
设$BC=a$，$CG=b$，
∵ 两个正方形的面积分别为$S_1$和$S_2$，
∴ $S_1=a^2$，$S_2=b^2$，
由题意得：$a+b=BG=8$，$S_1+S_2=a^2+b^2=40$，
根据完全平方和公式：$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
代入$a+b=8$得：$8^2=40+2ab$，
即$64=40+2ab$，
解得：$2ab=24$，$ab=12$，
∵ 阴影部分为直角三角形，两条直角边长分别为a、b，
∴ 阴影部分面积$=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×12=6$。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式的应用，正方形面积公式，三角形面积计算
【点评】
本题是代数与几何结合的基础题型，解题的核心是将几何图形的边长、面积关系与完全平方公式的变形相结合，通过设参数的方式快速求解未知量，有助于提升数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.7
2. 如图,将边长为$(a+b)$的正方形剪出两个边长分别为$a,b$的正方形（阴影部分）.观察图形,解答下列问题:
(1)根据题意,用两种不同的方法表示阴影部分的面积,即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积.
方法1:
把这种“同一图形的面积,用两种不同的方法求出的结果相等,从而构建等式,根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”.
(2)运用你发现的结论,解决下列问题:
①已知$x-y=8,xy=-15$,求$x^2+y^2$的值;
②已知$(2024-x)^2+(x-2025)^2=31$,求$(2025-x)(x-2024)$的值.
(1)根据题意,用两种不同的方法表示阴影部分的面积,即用两个不同的代数式表示阴影部分的面积.
方法1:
$a^2+b^2$
;方法2: $(a+b)^2-2ab$
;把这种“同一图形的面积,用两种不同的方法求出的结果相等,从而构建等式,根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”.
(2)运用你发现的结论,解决下列问题:
①已知$x-y=8,xy=-15$,求$x^2+y^2$的值;
②已知$(2024-x)^2+(x-2025)^2=31$,求$(2025-x)(x-2024)$的值.
答案：(1)$a^2+b^2$ $(a+b)^2-2ab$
(2)解:①根据题意,得$(x-y)^2=64$,
$\therefore x^2+y^2-2xy=64$,
$\therefore x^2+y^2=64+2xy=64+2×(-15)=34.$
②设$a=2024-x,b=x-2025$,则$a^2+b^2=31,a+b=(2024-x)+(x-2025)=-1$,
$\therefore ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{(-1)^2-31}{2}=-15,$
$\therefore (2025-x)(x-2024)=-15.$
(2)解:①根据题意,得$(x-y)^2=64$,
$\therefore x^2+y^2-2xy=64$,
$\therefore x^2+y^2=64+2xy=64+2×(-15)=34.$
②设$a=2024-x,b=x-2025$,则$a^2+b^2=31,a+b=(2024-x)+(x-2025)=-1$,
$\therefore ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\frac{(-1)^2-31}{2}=-15,$
$\therefore (2025-x)(x-2024)=-15.$
解析：
【分析】
(1) 求阴影面积可采用两种思路：第一种直接将两个阴影正方形的面积相加；第二种用边长为$(a+b)$的大正方形总面积减去两个空白长方形的面积，由此可得到关于$a^2+b^2$的恒等式，为后续计算做铺垫。
(2) ①已知$x-y$和$xy$的值，可利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，代入数值直接计算即可。
②观察式子特点，采用换元法设$a=2024-x$，$b=x-2025$，先求出$a+b$的值，再结合完全平方公式的变形求出$ab$，最后转化为所求的式子即可得到结果。
【解析】
(1) 方法1：阴影部分由边长为$a$和边长为$b$的两个正方形组成，面积和为$a^2+b^2$；
方法2：大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$，空白部分是两个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$2ab$，因此阴影面积为$(a+b)^2-2ab$。
(2) ①根据完全平方公式可得$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$，
已知$x-y=8$，因此$(x-y)^2=8^2=64$，
将$xy=-15$代入上式：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=64+2×(-15)=64-30=34$。
②设$a=2024-x$，$b=x-2025$，
由题意得$a^2+b^2=31$，
且$a+b=(2024-x)+(x-2025)=-1$，
根据完全平方公式变形$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，
代入数值计算：$ab=\frac{(-1)^2-31}{2}=\frac{1-31}{2}=-15$，
因此$(2025-x)(x-2024)=(-b)·(-a)=ab=-15$。
【答案】
(1) $a^2+b^2$；$(a+b)^2-2ab$
(2) ①$\boxed{34}$；②$\boxed{-15}$
【知识点】
完全平方公式，面积法，换元法求值
【点评】
本题结合几何图形面积推导代数恒等式，渗透数形结合思想，既考查了完全平方公式的变形应用，也考查了换元法简化复杂式子计算的技巧，是完全平方公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
(1) 求阴影面积可采用两种思路：第一种直接将两个阴影正方形的面积相加；第二种用边长为$(a+b)$的大正方形总面积减去两个空白长方形的面积，由此可得到关于$a^2+b^2$的恒等式，为后续计算做铺垫。
(2) ①已知$x-y$和$xy$的值，可利用完全平方公式的变形$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy$，代入数值直接计算即可。
②观察式子特点，采用换元法设$a=2024-x$，$b=x-2025$，先求出$a+b$的值，再结合完全平方公式的变形求出$ab$，最后转化为所求的式子即可得到结果。
【解析】
(1) 方法1：阴影部分由边长为$a$和边长为$b$的两个正方形组成，面积和为$a^2+b^2$；
方法2：大正方形边长为$(a+b)$，面积为$(a+b)^2$，空白部分是两个长为$a$、宽为$b$的长方形，总面积为$2ab$，因此阴影面积为$(a+b)^2-2ab$。
(2) ①根据完全平方公式可得$(x-y)^2=x^2+y^2-2xy$，
已知$x-y=8$，因此$(x-y)^2=8^2=64$，
将$xy=-15$代入上式：
$x^2+y^2=(x-y)^2+2xy=64+2×(-15)=64-30=34$。
②设$a=2024-x$，$b=x-2025$，
由题意得$a^2+b^2=31$，
且$a+b=(2024-x)+(x-2025)=-1$，
根据完全平方公式变形$ab=\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}$，
代入数值计算：$ab=\frac{(-1)^2-31}{2}=\frac{1-31}{2}=-15$，
因此$(2025-x)(x-2024)=(-b)·(-a)=ab=-15$。
【答案】
(1) $a^2+b^2$；$(a+b)^2-2ab$
(2) ①$\boxed{34}$；②$\boxed{-15}$
【知识点】
完全平方公式，面积法，换元法求值
【点评】
本题结合几何图形面积推导代数恒等式，渗透数形结合思想，既考查了完全平方公式的变形应用，也考查了换元法简化复杂式子计算的技巧，是完全平方公式应用的典型题型。
【难度系数】
0.7