【分析】
本题考查利用配方法结合完全平方的非负性求解代数式最值，解题思路如下：（1）仿照题干给出的示例，对含m的二次三项式进行配方，将原式转化为“完全平方式+常数”的形式，再根据完全平方的非负性，当完全平方式为0时，原式取得最小值；（2）首先根据改造后长方形的长、宽与x的关系，列出面积S的代数式，展开后进行配方，由于配方后完全平方式的系数为负，因此当完全平方式为0时，S取得最大值，需注意x的取值符合长、宽均为正数的实际要求。
【解析】
(1)
∵$m^2+2m+3=m^2+2m+1+2=(m+1)^2+2$，
又
∵$(m+1)^2≥0$，
∴$(m+1)^2+2≥2$，
∴当$m+1=0$，即$m=-1$时，代数式$m^2+2m+3$的最小值为2。
(2) 依题意，改造后养殖区域的长为$(8-x)$米，宽为$(4+x)$米，
则$S=(8-x)(4+x)=-x^2+4x+32=-(x-2)^2+36$，
∵$(x-2)^2≥0$，
∴$-(x-2)^2≤0$，
∴$-(x-2)^2+36≤36$，
∴当$x-2=0$，即$x=2$时，S取得最大值。
【答案】
(1) 最小值为2；
(2) 当$x=2$时，养殖区域面积S最大，最大值为36平方米。
【知识点】
配方法，非负数的性质，代数式最值应用
【点评】
本题属于方法迁移类题目，第一问直接套用题干给出的配方法求最值的思路即可解决，第二问需要先结合实际情境列出正确的代数式再配方求解，核心是掌握配方法的技巧以及完全平方非负性的应用。
【难度系数】
0.75

【分析】
本题核心是运用配方法解题，解题思路如下：
1. 分解因式类题目（第(1)问）：模仿小明的方法，先给二次项和一次项配成完全平方形式，常数项多退少补，再将整体写成平方差的形式，最后用平方差公式分解因式；如果是含两个字母的式子，将关于b的项看作常数项配完全平方即可。
2. 求最值类题目（第(2)问）：模仿小丽的思路，先将代数式配方成“平方项±常数”的形式，再根据平方的非负性（任意数的平方≥0），判断整个代数式的取值范围，进而得到最值。如果平方项前面带负号，那么平方项≤0，整个式子会有最大值。
【解析】
(1) ①分解因式$a^2 -12a +20$：
一次项系数是-12，一半的平方为$(-6)^2=36$，配方得：
原式$=a^2-12a+36-36+20$
$=(a-6)^2 - 16$
$=(a-6)^2 - 4^2$
根据平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，得：
$=(a-6+4)(a-6-4)$
$=(a-2)(a-10)$
②分解因式$a^2 -6ab +5b^2$：
把b看作常数，一次项系数是-6b，一半的平方为$(-3b)^2=9b^2$，配方得：
原式$=a^2-6ab+9b^2 -9b^2 +5b^2$
$=(a-3b)^2 -4b^2$
$=(a-3b)^2 -(2b)^2$
用平方差公式分解得：
$=(a-3b+2b)(a-3b-2b)$
$=(a-b)(a-5b)$
(2) ①说明$a^2 -12a +20$的最小值为-16：
先对代数式配方：
$a^2 -12a +20=a^2-12a+36-36+20=(a-6)^2 -16$
根据平方的非负性，$(a-6)^2≥0$，
所以$(a-6)^2 -16≥ 0 -16=-16$，
因此代数式$a^2 -12a +20$的最小值为-16。
②首先解释$-(a+1)^2 +8$的最大值为8：
根据平方的非负性，$(a+1)^2≥0$，
不等式两边同乘-1，不等号方向改变，得$-(a+1)^2≤0$，
所以$-(a+1)^2 +8≤ 0 +8=8$，
因此$-(a+1)^2 +8$的最大值为8。
再求$-a^2 +12a -8$的最大值：
先提负号再配方：
$-a^2 +12a -8=-(a^2 -12a +8)$
$=-(a^2 -12a +36 -36 +8)$
$=-[(a-6)^2 -28]$
$=-(a-6)^2 +28$
因为$(a-6)^2≥0$，所以$-(a-6)^2≤0$，
因此$-(a-6)^2 +28≤ 0 +28=28$，
即$-a^2 +12a -8$的最大值为28。
【答案】
(1)①$(a-10)(a-2)$；②$(a-5b)(a-b)$
(2)①最小值为$-16$；②$-(a+1)^2 +8$最大值为$8$，$-a^2 +12a -8$最大值为$28$
【知识点】
配方法的应用；因式分解；平方的非负性
【点评】
本题侧重考查配方法的两类基础应用，既需要熟练掌握完全平方公式的结构特征完成配方，也需要灵活运用平方的非负性判断代数式的取值范围，是对因式分解和代数式性质的综合考查。
【难度系数】
0.7