1. 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将 $2a - 3ab - 4 + 6b$ 因式分解。经过小组合作交流，得到了如下的解决方法：
解法一：原式$=(2a - 3ab) - (4 - 6b)$
$=a(2 - 3b) - 2(2 - 3b)$
$=(2 - 3b)(a - 2)$。
解法二：原式$=(2a - 4) - (3ab - 6b)$
$=2(a - 2) - 3b(a - 2)$
$=(a - 2)(2 - 3b)$。
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的。这种方法可以称为分组分解法。（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
(1)$x^2 - a^2 + x + a$；
(2)$ax + a^2 - 2ab - bx + b^2$。
解法一：原式$=(2a - 3ab) - (4 - 6b)$
$=a(2 - 3b) - 2(2 - 3b)$
$=(2 - 3b)(a - 2)$。
解法二：原式$=(2a - 4) - (3ab - 6b)$
$=2(a - 2) - 3b(a - 2)$
$=(a - 2)(2 - 3b)$。
小明由此体会到，对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的。这种方法可以称为分组分解法。（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）
请你也试一试利用分组分解法进行因式分解：
(1)$x^2 - a^2 + x + a$；
(2)$ax + a^2 - 2ab - bx + b^2$。
答案：(1)原式$=(x^2 - a^2)+(x + a)=(x - a)(x + a)+(x + a)=(x + a)(x - a + 1)$.
(2)原式$=(ax - bx)+(a^2 - 2ab + b^2)=x(a - b)+(a - b)^2=(a - b)(x + a - b)$.
(2)原式$=(ax - bx)+(a^2 - 2ab + b^2)=x(a - b)+(a - b)^2=(a - b)(x + a - b)$.
解析：
【分析】
对于项数较多的多项式因式分解，优先考虑分组分解法，核心原则是分组后可通过提公因式或套用乘法公式继续分解。
(1) 观察多项式$x^2 - a^2 + x + a$，前两项$x^2 - a^2$符合平方差公式的结构，分解后会出现因式$(x+a)$，刚好和后两项$x+a$的公因式一致，因此选择将前两项分为一组，后两项分为一组。
(2) 观察多项式$ax + a^2 - 2ab - bx + b^2$，其中$a^2 - 2ab + b^2$符合完全平方公式的结构，分解后得到$(a-b)^2$，剩余的$ax - bx$提取公因式$x$后可得到$x(a-b)$，两组分解后有公因式$(a-b)$，因此选择将一次项$ax - bx$分为一组，二次项$a^2 - 2ab + b^2$分为一组。
【解析】
(1) 按照“平方差组+一次项组”分组计算：
原式$=(x^2 - a^2)+(x + a)$
利用平方差公式分解第一组，得：
$=(x - a)(x + a)+(x + a)$
提取两组的公因式$(x + a)$，得：
$=(x + a)(x - a + 1)$，已无法继续分解。
(2) 按照“一次项组+完全平方组”分组计算：
原式$=(ax - bx)+(a^2 - 2ab + b^2)$
第一组提取公因式$x$，第二组利用完全平方公式分解，得：
$=x(a - b)+(a - b)^2$
提取两组的公因式$(a - b)$，得：
$=(a - b)(x + a - b)$，已无法继续分解。
【答案】
(1) $(x + a)(x - a + 1)$
(2) $(a - b)(x + a - b)$
【知识点】
分组分解法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查分组分解法进行因式分解，解题的关键是根据多项式的项数和结构特点合理选择分组方式，确保分组后可以通过提公因式或套用公式继续分解，同时注意因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
对于项数较多的多项式因式分解，优先考虑分组分解法，核心原则是分组后可通过提公因式或套用乘法公式继续分解。
(1) 观察多项式$x^2 - a^2 + x + a$，前两项$x^2 - a^2$符合平方差公式的结构，分解后会出现因式$(x+a)$，刚好和后两项$x+a$的公因式一致，因此选择将前两项分为一组，后两项分为一组。
(2) 观察多项式$ax + a^2 - 2ab - bx + b^2$，其中$a^2 - 2ab + b^2$符合完全平方公式的结构，分解后得到$(a-b)^2$，剩余的$ax - bx$提取公因式$x$后可得到$x(a-b)$，两组分解后有公因式$(a-b)$，因此选择将一次项$ax - bx$分为一组，二次项$a^2 - 2ab + b^2$分为一组。
【解析】
(1) 按照“平方差组+一次项组”分组计算：
原式$=(x^2 - a^2)+(x + a)$
利用平方差公式分解第一组，得：
$=(x - a)(x + a)+(x + a)$
提取两组的公因式$(x + a)$，得：
$=(x + a)(x - a + 1)$，已无法继续分解。
(2) 按照“一次项组+完全平方组”分组计算：
原式$=(ax - bx)+(a^2 - 2ab + b^2)$
第一组提取公因式$x$，第二组利用完全平方公式分解，得：
$=x(a - b)+(a - b)^2$
提取两组的公因式$(a - b)$，得：
$=(a - b)(x + a - b)$，已无法继续分解。
【答案】
(1) $(x + a)(x - a + 1)$
(2) $(a - b)(x + a - b)$
【知识点】
分组分解法因式分解，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查分组分解法进行因式分解，解题的关键是根据多项式的项数和结构特点合理选择分组方式，确保分组后可以通过提公因式或套用公式继续分解，同时注意因式分解要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
2.(2025·大渡口区期中)阅读下列材料:某校“数学社团”活动中,研究发现常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如$m^2 - mn + 2m - 2n$,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可以提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为$m^2 - mn + 2m - 2n = (m^2 - mn) + (2m - 2n) = m(m - n) + 2(m - n) = (m - n)(m + 2)$.这种因式分解的方法叫作“分组分解法”,请在这种方法的启发下,分解因式:
(1)$a^3 - 3a^2 + 2a - 6$;
(2)$4m^2 - 12mn + 9n^2 - 4m + 6n + 1$.
(1)$a^3 - 3a^2 + 2a - 6$;
(2)$4m^2 - 12mn + 9n^2 - 4m + 6n + 1$.
答案：(1)原式$=(a^3 - 3a^2)+(2a - 6)=a^2(a - 3)+2(a - 3)=(a - 3)(a^2 + 2)$.
(2)原式$=(4m^2 - 12mn + 9n^2)-(4m - 6n)+1=(2m - 3n)^2 - 2(2m - 3n)+1=(2m - 3n - 1)^2$.
(2)原式$=(4m^2 - 12mn + 9n^2)-(4m - 6n)+1=(2m - 3n)^2 - 2(2m - 3n)+1=(2m - 3n - 1)^2$.
解析：
【分析】
解决本题需运用分组分解法因式分解，核心思路是将多项式合理分组，每组先独立分解，再寻找组间的公因式或可套用公式的结构：
(1) 观察4项式的特点，将前两项、后两项分别分为一组，两组各自提取公因式后会出现相同的因式$(a-3)$，再整体提取公因式即可完成分解；
(2) 观察6项式的特点，前3项符合完全平方式的特征，先将前3项分为一组分解为$(2m-3n)^2$，再将中间两项提取公因式$-2$得到$-2(2m-3n)$，此时将$(2m-3n)$看作一个整体，原式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2$的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 两两分组后分步提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a^3 - 3a^2)+(2a - 6)\\&=a^2(a - 3)+2(a - 3)\\&=(a - 3)(a^2 + 2)\end{aligned}$
(2) 先分组分解完全平方，再整体套用完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4m^2 - 12mn + 9n^2)-(4m - 6n)+1\\&=(2m - 3n)^2 - 2(2m - 3n)+1\\&=(2m - 3n - 1)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a - 3)(a^2 + 2)}$
(2) $\boldsymbol{(2m - 3n - 1)^2}$
【知识点】
分组分解法因式分解、提公因式法、公式法因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解中分组分解法的灵活运用，解题的核心是合理选择分组方式，确保分组后可继续提取公因式或套用乘法公式，第二问需要运用整体思想简化运算，能有效提升因式分解方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题需运用分组分解法因式分解，核心思路是将多项式合理分组，每组先独立分解，再寻找组间的公因式或可套用公式的结构：
(1) 观察4项式的特点，将前两项、后两项分别分为一组，两组各自提取公因式后会出现相同的因式$(a-3)$，再整体提取公因式即可完成分解；
(2) 观察6项式的特点，前3项符合完全平方式的特征，先将前3项分为一组分解为$(2m-3n)^2$，再将中间两项提取公因式$-2$得到$-2(2m-3n)$，此时将$(2m-3n)$看作一个整体，原式符合完全平方公式$a^2-2ab+b^2$的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) 两两分组后分步提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(a^3 - 3a^2)+(2a - 6)\\&=a^2(a - 3)+2(a - 3)\\&=(a - 3)(a^2 + 2)\end{aligned}$
(2) 先分组分解完全平方，再整体套用完全平方公式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(4m^2 - 12mn + 9n^2)-(4m - 6n)+1\\&=(2m - 3n)^2 - 2(2m - 3n)+1\\&=(2m - 3n - 1)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a - 3)(a^2 + 2)}$
(2) $\boldsymbol{(2m - 3n - 1)^2}$
【知识点】
分组分解法因式分解、提公因式法、公式法因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解中分组分解法的灵活运用，解题的核心是合理选择分组方式，确保分组后可继续提取公因式或套用乘法公式，第二问需要运用整体思想简化运算，能有效提升因式分解方法的综合运用能力。
【难度系数】
0.7