1.(2024·拱墅区期中)先阅读材料,再解答问题.
分解因式:$(m-n)^2 -4(m-n)+4$.
解:将“$m-n$”看成一个整体,令$m-n=M$,则原式$=M^2 -4M +4=(M-2)^2$,再将$m-n=M$还原,得原式$=(m-n-2)^2$.
上述解题过程中用到了“整体思想”,它是数学中常用的一种思想.请你分解因式:
(1)$(x+y)(x+y-6)+9$;
(2)$x^2 -2xy + y^2 - z^2$.
分解因式:$(m-n)^2 -4(m-n)+4$.
解:将“$m-n$”看成一个整体,令$m-n=M$,则原式$=M^2 -4M +4=(M-2)^2$,再将$m-n=M$还原,得原式$=(m-n-2)^2$.
上述解题过程中用到了“整体思想”,它是数学中常用的一种思想.请你分解因式:
(1)$(x+y)(x+y-6)+9$;
(2)$x^2 -2xy + y^2 - z^2$.
答案：(1)设$x+y=m$,
则原式$=m(m-6)+9=m^2-6m+9=(m-3)^2$,
再将$x+y=m$还原,得原式$=(x+y-3)^2$.
(2)$x^2-2xy+y^2-z^2=(x-y)^2-z^2=(x-y+z)(x-y-z)$.
则原式$=m(m-6)+9=m^2-6m+9=(m-3)^2$,
再将$x+y=m$还原,得原式$=(x+y-3)^2$.
(2)$x^2-2xy+y^2-z^2=(x-y)^2-z^2=(x-y+z)(x-y-z)$.
解析：
【分析】
(1) 观察式子发现两项均含$x+y$，可利用整体思想，将$x+y$看作整体设为$m$，代入原式展开后符合完全平方公式结构，用公式分解后还原整体即可。
(2) 观察式子前三项$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式结构，先将前三项分组分解为$(x-y)^2$，此时式子转化为平方差形式，再用平方差公式继续分解即可。
【解析】
(1) 设$x+y=m$，
则原式$=m(m-6)+9=m^2-6m+9=(m-3)^2$，
将$x+y=m$还原，得原式$=(x+y-3)^2$。
(2) 先对前三项分组分解：
$x^2-2xy+y^2-z^2=(x-y)^2-z^2$，
再利用平方差公式分解：$(x-y)^2-z^2=(x-y+z)(x-y-z)$。
【答案】
(1)$(x+y-3)^2$
(2)$(x-y+z)(x-y-z)$
【知识点】
整体换元法，完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题核心是学会观察式子结构，灵活运用整体思想简化运算，需注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
(1) 观察式子发现两项均含$x+y$，可利用整体思想，将$x+y$看作整体设为$m$，代入原式展开后符合完全平方公式结构，用公式分解后还原整体即可。
(2) 观察式子前三项$x^2-2xy+y^2$符合完全平方公式结构，先将前三项分组分解为$(x-y)^2$，此时式子转化为平方差形式，再用平方差公式继续分解即可。
【解析】
(1) 设$x+y=m$，
则原式$=m(m-6)+9=m^2-6m+9=(m-3)^2$，
将$x+y=m$还原，得原式$=(x+y-3)^2$。
(2) 先对前三项分组分解：
$x^2-2xy+y^2-z^2=(x-y)^2-z^2$，
再利用平方差公式分解：$(x-y)^2-z^2=(x-y+z)(x-y-z)$。
【答案】
(1)$(x+y-3)^2$
(2)$(x-y+z)(x-y-z)$
【知识点】
整体换元法，完全平方公式因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题考查因式分解的应用，解题核心是学会观察式子结构，灵活运用整体思想简化运算，需注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
2.阅读下列材料：
材料1:将一个形如$x^2+px+q$的二次三项式因式分解时,如果能满足$q=mn$且$p=m+n$,则可以把$x^2+px+q$因式分解成$(x+m)(x+n)$.例如:
①$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$;②$x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$.
材料2:分解因式:$(x+y)^2+2(x+y)+1$.
解:将“$x+y$”看成一个整体,令$x+y=A$,则原式$=A^2+2A+1=(A+1)^2$,
再将“$A$”还原,得原式$=(x+y+1)^2$.
结合材料1和材料2,分解因式:
(1)$(x-y)^2+4(x-y)+3$;
(2)$m(m+2)(m^2+2m-2)-3$.
材料1:将一个形如$x^2+px+q$的二次三项式因式分解时,如果能满足$q=mn$且$p=m+n$,则可以把$x^2+px+q$因式分解成$(x+m)(x+n)$.例如:
①$x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$;②$x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$.
材料2:分解因式:$(x+y)^2+2(x+y)+1$.
解:将“$x+y$”看成一个整体,令$x+y=A$,则原式$=A^2+2A+1=(A+1)^2$,
再将“$A$”还原,得原式$=(x+y+1)^2$.
结合材料1和材料2,分解因式:
(1)$(x-y)^2+4(x-y)+3$;
(2)$m(m+2)(m^2+2m-2)-3$.
答案：(1)设$M=x-y$,则原式$=M^2+4M+3=(M+1)(M+3)$,$\therefore$原式$=(x-y+1)(x-y+3)$.
(2)设$N=m^2+2m$,则原式$=N(N-2)-3=N^2-2N-3=(N+1)(N-3)$,
$\therefore$原式$=(m^2+2m+1)(m^2+2m-3)=(m+1)^2(m-1)·(m+3)$.
(2)设$N=m^2+2m$,则原式$=N(N-2)-3=N^2-2N-3=(N+1)(N-3)$,
$\therefore$原式$=(m^2+2m+1)(m^2+2m-3)=(m+1)^2(m-1)·(m+3)$.
解析：
【分析】
这两道因式分解题需结合换元思想与十字相乘法求解：1. 第(1)题的式子是关于$(x-y)$的二次三项式，可将$(x-y)$看作一个整体设为新未知数，将原式转化为普通二次三项式，用材料1的十字相乘法分解后，再将新未知数还原即可。2. 第(2)题先整理式子可发现“$m^2+2m$”重复出现，将其设为整体$N$代入原式，展开后为关于$N$的二次三项式，十字相乘分解后再将$N$还原，得到的因式还可继续用完全平方公式、十字相乘法分解，需分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 设$M=x-y$，则原式转化为$M^2+4M+3$，根据十字相乘法，满足$3=1×3$，$4=1+3$，因此$M^2+4M+3=(M+1)(M+3)$，将$M=x-y$代回，得原式$=(x-y+1)(x-y+3)$。
(2) 先整理原式可得$m(m+2)=m^2+2m$，因此原式改写为$(m^2+2m)(m^2+2m-2)-3$。设$N=m^2+2m$，代入得原式$=N(N-2)-3=N^2-2N-3$，根据十字相乘法，满足$-3=1×(-3)$，$-2=1+(-3)$，因此$N^2-2N-3=(N+1)(N-3)$。将$N=m^2+2m$代回得原式$=(m^2+2m+1)(m^2+2m-3)$，再继续分解：$m^2+2m+1=(m+1)^2$，$m^2+2m-3=(m+3)(m-1)$，最终得原式$=(m+1)^2(m-1)(m+3)$。
【答案】
(1) $\boxed{(x-y+1)(x-y+3)}$
(2) $\boxed{(m+1)^2(m-1)(m+3)}$
【知识点】
换元法因式分解；十字相乘法因式分解；公式法因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解中换元思想的运用，解题核心是观察式子结构特征，找到重复出现的整体换元，将复杂式子简化为熟悉的二次三项式后分解，还原后需注意将因式分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
这两道因式分解题需结合换元思想与十字相乘法求解：1. 第(1)题的式子是关于$(x-y)$的二次三项式，可将$(x-y)$看作一个整体设为新未知数，将原式转化为普通二次三项式，用材料1的十字相乘法分解后，再将新未知数还原即可。2. 第(2)题先整理式子可发现“$m^2+2m$”重复出现，将其设为整体$N$代入原式，展开后为关于$N$的二次三项式，十字相乘分解后再将$N$还原，得到的因式还可继续用完全平方公式、十字相乘法分解，需分解到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 设$M=x-y$，则原式转化为$M^2+4M+3$，根据十字相乘法，满足$3=1×3$，$4=1+3$，因此$M^2+4M+3=(M+1)(M+3)$，将$M=x-y$代回，得原式$=(x-y+1)(x-y+3)$。
(2) 先整理原式可得$m(m+2)=m^2+2m$，因此原式改写为$(m^2+2m)(m^2+2m-2)-3$。设$N=m^2+2m$，代入得原式$=N(N-2)-3=N^2-2N-3$，根据十字相乘法，满足$-3=1×(-3)$，$-2=1+(-3)$，因此$N^2-2N-3=(N+1)(N-3)$。将$N=m^2+2m$代回得原式$=(m^2+2m+1)(m^2+2m-3)$，再继续分解：$m^2+2m+1=(m+1)^2$，$m^2+2m-3=(m+3)(m-1)$，最终得原式$=(m+1)^2(m-1)(m+3)$。
【答案】
(1) $\boxed{(x-y+1)(x-y+3)}$
(2) $\boxed{(m+1)^2(m-1)(m+3)}$
【知识点】
换元法因式分解；十字相乘法因式分解；公式法因式分解
【点评】
本题重点考查因式分解中换元思想的运用，解题核心是观察式子结构特征，找到重复出现的整体换元，将复杂式子简化为熟悉的二次三项式后分解，还原后需注意将因式分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7