1.(2024·潜山期末)阅读与思考.
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，
即由$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$，得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次
项式进行因式分解，
例如：将$x^2+3x+2$分解因式。
解：因为$x^2+3x+2=x^2+(1+2)x+1×2$，所以$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：$x^2 -2x -8$。
(2)分解因式：$x^3 -8x^2 +12x$。
(3)若$x^2 +px -6$可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值。
整式乘法与因式分解是方向相反的变形，
即由$(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq$，得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$。
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次
项式进行因式分解，例如：将$x^2+3x+2$分解因式。
解：因为$x^2+3x+2=x^2+(1+2)x+1×2$，所以$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$。
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)分解因式：$x^2 -2x -8$。
(2)分解因式：$x^3 -8x^2 +12x$。
(3)若$x^2 +px -6$可分解为两个一次因式的积，写出整数p所有可能的值。
答案：1.解:(1)
∵$x^2−2x−8=x^2+(−4+2)x+2×(−4)$,
∴$x^2−2x−8=(x−4)(x+2)$.
(2)原式=$x(x^2−8x+12)$,
∵$x^2−8x+12=x^2+(−2−6)x+(−2)×(−6)$,
∴$x^2−8x+12=(x−2)(x−6)$,
∴$x^3−8x^2+12x=x(x−2)(x−6)$.
(3)
∵$−6=(−1)×6=1×(−6)=2×(−3)=(−2)×3$,
∴$p=−1+6=5$或$p=1−6=−5$或$p=2−3=−1$或$p=−2+3=1$.
当$p=0$时,$x^2−6=(x+\sqrt{6})(x−\sqrt{6})$,也符合题意.
因此整数p的值可能为5或−5或1或−1或0.
∵$x^2−2x−8=x^2+(−4+2)x+2×(−4)$,
∴$x^2−2x−8=(x−4)(x+2)$.
(2)原式=$x(x^2−8x+12)$,
∵$x^2−8x+12=x^2+(−2−6)x+(−2)×(−6)$,
∴$x^2−8x+12=(x−2)(x−6)$,
∴$x^3−8x^2+12x=x(x−2)(x−6)$.
(3)
∵$−6=(−1)×6=1×(−6)=2×(−3)=(−2)×3$,
∴$p=−1+6=5$或$p=1−6=−5$或$p=2−3=−1$或$p=−2+3=1$.
当$p=0$时,$x^2−6=(x+\sqrt{6})(x−\sqrt{6})$,也符合题意.
因此整数p的值可能为5或−5或1或−1或0.
解析：
【分析】
本题考查二次项系数为1的十字相乘法因式分解的应用，解题思路如下：
(1) 对于$x^2+bx+c$型的二次三项式，只需找到两个数$m、n$，满足$m+n=b$，$mn=c$，即可将其分解为$(x+m)(x+n)$。第一问中常数项为$-8$，一次项系数为$-2$，找到乘积为$-8$、和为$-2$的两个整数即可完成分解。
(2) 因式分解优先提取公因式，第二问先提取公因式$x$，再对剩余的二次三项式用十字相乘法分解即可。
(3) 第三问先将常数项$-6$拆分为所有可能的两数乘积形式，每组拆分的两个数之和即为$p$的取值，注意考虑全所有拆分情况，避免漏解。
【解析】
(1) 寻找满足乘积为$-8$、和为$-2$的两个数，可得$-4$和$2$：
∵$x^2−2x−8=x^2+(−4+2)x+2×(−4)$,
∴$x^2−2x−8=(x−4)(x+2)$.
(2) 先提取公因式$x$，再对剩余二次三项式分解：
原式=$x(x^2−8x+12)$,
寻找满足乘积为$12$、和为$-8$的两个数，可得$-2$和$-6$：
∵$x^2−8x+12=x^2+(−2−6)x+(−2)×(−6)$,
∴$x^2−8x+12=(x−2)(x−6)$,
∴$x^3−8x^2+12x=x(x−2)(x−6)$.
(3) 列出$-6$的所有整数因数对，再考虑一次项系数为0的情况：
∵$-6=(−1)×6=1×(−6)=2×(−3)=(−2)×3$,
对应$p$的取值分别为：$p=−1+6=5$、$p=1−6=−5$、$p=2−3=−1$、$p=−2+3=1$。
当$p=0$时，$x^2−6=(x+\sqrt{6})(x−\sqrt{6})$，也符合分解为两个一次因式积的要求。
因此整数p的所有可能值为$5,-5,1,-1,0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-4)(x+2)}$
(2) $\boldsymbol{x(x-2)(x-6)}$
(3) $\boldsymbol{5,-5,1,-1,0}$
【知识点】
提公因式法因式分解、十字相乘法因式分解、因式分解的应用
【点评】
本题重点考查十字相乘法在因式分解中的应用，核心是掌握二次项系数为1的十字相乘法的“凑数”规则：拆分常数项为两数乘积，且两数之和等于一次项系数。解题时要注意因式分解的顺序，有公因式先提取公因式，开放性问题要考虑所有可能的拆分情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题考查二次项系数为1的十字相乘法因式分解的应用，解题思路如下：
(1) 对于$x^2+bx+c$型的二次三项式，只需找到两个数$m、n$，满足$m+n=b$，$mn=c$，即可将其分解为$(x+m)(x+n)$。第一问中常数项为$-8$，一次项系数为$-2$，找到乘积为$-8$、和为$-2$的两个整数即可完成分解。
(2) 因式分解优先提取公因式，第二问先提取公因式$x$，再对剩余的二次三项式用十字相乘法分解即可。
(3) 第三问先将常数项$-6$拆分为所有可能的两数乘积形式，每组拆分的两个数之和即为$p$的取值，注意考虑全所有拆分情况，避免漏解。
【解析】
(1) 寻找满足乘积为$-8$、和为$-2$的两个数，可得$-4$和$2$：
∵$x^2−2x−8=x^2+(−4+2)x+2×(−4)$,
∴$x^2−2x−8=(x−4)(x+2)$.
(2) 先提取公因式$x$，再对剩余二次三项式分解：
原式=$x(x^2−8x+12)$,
寻找满足乘积为$12$、和为$-8$的两个数，可得$-2$和$-6$：
∵$x^2−8x+12=x^2+(−2−6)x+(−2)×(−6)$,
∴$x^2−8x+12=(x−2)(x−6)$,
∴$x^3−8x^2+12x=x(x−2)(x−6)$.
(3) 列出$-6$的所有整数因数对，再考虑一次项系数为0的情况：
∵$-6=(−1)×6=1×(−6)=2×(−3)=(−2)×3$,
对应$p$的取值分别为：$p=−1+6=5$、$p=1−6=−5$、$p=2−3=−1$、$p=−2+3=1$。
当$p=0$时，$x^2−6=(x+\sqrt{6})(x−\sqrt{6})$，也符合分解为两个一次因式积的要求。
因此整数p的所有可能值为$5,-5,1,-1,0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x-4)(x+2)}$
(2) $\boldsymbol{x(x-2)(x-6)}$
(3) $\boldsymbol{5,-5,1,-1,0}$
【知识点】
提公因式法因式分解、十字相乘法因式分解、因式分解的应用
【点评】
本题重点考查十字相乘法在因式分解中的应用，核心是掌握二次项系数为1的十字相乘法的“凑数”规则：拆分常数项为两数乘积，且两数之和等于一次项系数。解题时要注意因式分解的顺序，有公因式先提取公因式，开放性问题要考虑所有可能的拆分情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
2. 阅读下列材料，解答问题.
形如$x^2+(p+q)x+pq$型的二次三项式，有以下特点：
①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).$
因此，可以得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).$
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，请利用上述方法分解因式：
(1)$m^2+7m-18$；
(2)$x^2-2x-8$；
(3)$x^2y^2-7xy+10$；
(4)$(x-y)^2+4(x-y)+3.$
形如$x^2+(p+q)x+pq$型的二次三项式，有以下特点：
①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和.
把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).$
因此，可以得$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).$
利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，请利用上述方法分解因式：
(1)$m^2+7m-18$；
(2)$x^2-2x-8$；
(3)$x^2y^2-7xy+10$；
(4)$(x-y)^2+4(x-y)+3.$
答案：2.解:(1)原式=$m^2+(−2+9)m+(−2)×9=(m−2)·(m+9)$.
(2)原式=$x^2+(−4+2)x+(−4)×2=(x−4)(x+2)$.
(3)原式=$x^2y^2+(−5−2)xy+(−5)×(−2)=(xy−5)·(xy−2)$.
(4)原式=$(x−y)^2+(1+3)(x−y)+1×3=[(x−y)+1][(x−y)+3]=(x−y+1)(x−y+3)$.
(2)原式=$x^2+(−4+2)x+(−4)×2=(x−4)(x+2)$.
(3)原式=$x^2y^2+(−5−2)xy+(−5)×(−2)=(xy−5)·(xy−2)$.
(4)原式=$(x−y)^2+(1+3)(x−y)+1×3=[(x−y)+1][(x−y)+3]=(x−y+1)(x−y+3)$.
解析：
【分析】
这道题考查题目给出的十字相乘法因式分解的应用，解题思路如下：①先识别待分解式子的结构：要么是二次项系数为1的二次三项式，要么可以将某个整体看作变量，转化为该类二次三项式；②针对每个式子，寻找两个数p、q，满足p与q的乘积等于式子的常数项，p与q的和等于一次项系数；③最后套用公式$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$完成分解，对于含整体的式子，分解后再把整体代回即可。
【解析】
(1) 对于$m^2+7m-18$，常数项为$-18$，一次项系数为$7$，找到两个数$-2$和$9$，满足$(-2)×9=-18$，$-2+9=7$，因此：
原式=$m^2+(−2+9)m+(−2)×9=(m−2)(m+9)$
(2) 对于$x^2-2x-8$，常数项为$-8$，一次项系数为$-2$，找到两个数$-4$和$2$，满足$(-4)×2=-8$，$-4+2=-2$，因此：
原式=$x^2+(−4+2)x+(−4)×2=(x−4)(x+2)$
(3) 将$xy$看作一个整体，式子$x^2y^2-7xy+10$可看作关于$xy$的二次三项式，常数项为$10$，一次项系数为$-7$，找到两个数$-5$和$-2$，满足$(-5)×(-2)=10$，$-5+(-2)=-7$，因此：
原式=$x^2y^2+(−5−2)xy+(−5)×(−2)=(xy−5)(xy−2)$
(4) 将$(x-y)$看作一个整体，式子$(x-y)^2+4(x-y)+3$可看作关于$(x-y)$的二次三项式，常数项为$3$，一次项系数为$4$，找到两个数$1$和$3$，满足$1×3=3$，$1+3=4$，因此：
原式=$(x−y)^2+(1+3)(x−y)+1×3=[(x−y)+1][(x−y)+3]=(x−y+1)(x−y+3)$
【答案】
(1) $(m-2)(m+9)$
(2) $(x-4)(x+2)$
(3) $(xy-5)(xy-2)$
(4) $(x-y+1)(x-y+3)$
【知识点】
1. 十字相乘法因式分解
2. 整体思想因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，核心是掌握十字相乘法的核心规律：找到两个数满足“乘积为常数项，和为一次项系数”，对于含有相同整体的式子，先将整体视作单一变量再分解，能大幅降低解题难度，熟练掌握后解题效率很高。
【难度系数】
0.8
这道题考查题目给出的十字相乘法因式分解的应用，解题思路如下：①先识别待分解式子的结构：要么是二次项系数为1的二次三项式，要么可以将某个整体看作变量，转化为该类二次三项式；②针对每个式子，寻找两个数p、q，满足p与q的乘积等于式子的常数项，p与q的和等于一次项系数；③最后套用公式$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$完成分解，对于含整体的式子，分解后再把整体代回即可。
【解析】
(1) 对于$m^2+7m-18$，常数项为$-18$，一次项系数为$7$，找到两个数$-2$和$9$，满足$(-2)×9=-18$，$-2+9=7$，因此：
原式=$m^2+(−2+9)m+(−2)×9=(m−2)(m+9)$
(2) 对于$x^2-2x-8$，常数项为$-8$，一次项系数为$-2$，找到两个数$-4$和$2$，满足$(-4)×2=-8$，$-4+2=-2$，因此：
原式=$x^2+(−4+2)x+(−4)×2=(x−4)(x+2)$
(3) 将$xy$看作一个整体，式子$x^2y^2-7xy+10$可看作关于$xy$的二次三项式，常数项为$10$，一次项系数为$-7$，找到两个数$-5$和$-2$，满足$(-5)×(-2)=10$，$-5+(-2)=-7$，因此：
原式=$x^2y^2+(−5−2)xy+(−5)×(−2)=(xy−5)(xy−2)$
(4) 将$(x-y)$看作一个整体，式子$(x-y)^2+4(x-y)+3$可看作关于$(x-y)$的二次三项式，常数项为$3$，一次项系数为$4$，找到两个数$1$和$3$，满足$1×3=3$，$1+3=4$，因此：
原式=$(x−y)^2+(1+3)(x−y)+1×3=[(x−y)+1][(x−y)+3]=(x−y+1)(x−y+3)$
【答案】
(1) $(m-2)(m+9)$
(2) $(x-4)(x+2)$
(3) $(xy-5)(xy-2)$
(4) $(x-y+1)(x-y+3)$
【知识点】
1. 十字相乘法因式分解
2. 整体思想因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础应用题型，核心是掌握十字相乘法的核心规律：找到两个数满足“乘积为常数项，和为一次项系数”，对于含有相同整体的式子，先将整体视作单一变量再分解，能大幅降低解题难度，熟练掌握后解题效率很高。
【难度系数】
0.8