1.(2024·河西区期末)某县为了落实“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍.如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天.
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)为了缩短工期，以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作共同完成，则该工程施工需要多少天？
(1)这项工程的规定时间是多少天？
(2)为了缩短工期，以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作共同完成，则该工程施工需要多少天？
答案：1.解:(1)设这项工程的规定时间是x天，
则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，
根据题意，得$(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x})×15+\frac{10}{x}=1$，
方程两边乘3x，得$(3+1)×15+30=3x$，
解得$x=30$。
检验:当$x=30$时，$3x≠0$，
所以原分式方程的解为$x=30$。
答:这项工程的规定时间是30天。
(2)由(1)可知，$3x=90$，
设该工程施工需要m天，
根据题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{90})m=1$，
解得$m=22.5$。
答:该工程施工需要22.5天。
则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，
根据题意，得$(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x})×15+\frac{10}{x}=1$，
方程两边乘3x，得$(3+1)×15+30=3x$，
解得$x=30$。
检验:当$x=30$时，$3x≠0$，
所以原分式方程的解为$x=30$。
答:这项工程的规定时间是30天。
(2)由(1)可知，$3x=90$，
设该工程施工需要m天，
根据题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{90})m=1$，
解得$m=22.5$。
答:该工程施工需要22.5天。
解析：
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题时通常把总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。（1）问求规定时间，可设规定时间为x天，那么甲单独完成需x天，效率为$\frac{1}{x}$；乙单独完成需3x天，效率为$\frac{1}{3x}$。等量关系为：甲乙合作15天的工作量 + 甲单独做10天的工作量 = 总工作量1，据此列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性。（2）问已知甲乙各自的工作效率，合作总效率为两者效率之和，再根据“合作效率×合作时间=总工作量1”列方程求解即可。
【解析】
(1) 设这项工程的规定时间是x天，
则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，
根据题意，得$(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x})×15+\frac{10}{x}=1$，
方程两边乘3x去分母，得$(3+1)×15+30=3x$，
解得$x=30$。
检验：当$x=30$时，$3x≠0$，符合题意，
所以原分式方程的解为$x=30$。
答：这项工程的规定时间是30天。
(2) 由(1)可知，乙队单独完成需要$3x=90$天，
设该工程甲、乙两队合作施工需要m天，
根据题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{90})m=1$，
解得$m=22.5$。
答：该工程施工需要22.5天。
【答案】
(1)30天；(2)22.5天
【知识点】
分式方程的应用；工程问题计算；分式方程验根
【点评】
本题是典型的工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，准确梳理各施工队的工作效率、工作时间和工作量之间的等量关系列方程求解，要注意分式方程解完后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用题，解题时通常把总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成总工作的时间。（1）问求规定时间，可设规定时间为x天，那么甲单独完成需x天，效率为$\frac{1}{x}$；乙单独完成需3x天，效率为$\frac{1}{3x}$。等量关系为：甲乙合作15天的工作量 + 甲单独做10天的工作量 = 总工作量1，据此列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性。（2）问已知甲乙各自的工作效率，合作总效率为两者效率之和，再根据“合作效率×合作时间=总工作量1”列方程求解即可。
【解析】
(1) 设这项工程的规定时间是x天，
则甲队单独施工需要x天完成，乙队单独施工需要3x天完成，
根据题意，得$(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x})×15+\frac{10}{x}=1$，
方程两边乘3x去分母，得$(3+1)×15+30=3x$，
解得$x=30$。
检验：当$x=30$时，$3x≠0$，符合题意，
所以原分式方程的解为$x=30$。
答：这项工程的规定时间是30天。
(2) 由(1)可知，乙队单独完成需要$3x=90$天，
设该工程甲、乙两队合作施工需要m天，
根据题意，得$(\frac{1}{30}+\frac{1}{90})m=1$，
解得$m=22.5$。
答：该工程施工需要22.5天。
【答案】
(1)30天；(2)22.5天
【知识点】
分式方程的应用；工程问题计算；分式方程验根
【点评】
本题是典型的工程类应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，准确梳理各施工队的工作效率、工作时间和工作量之间的等量关系列方程求解，要注意分式方程解完后必须检验根是否符合实际意义。
【难度系数】
0.7
2.(2024·樊城区期末)某市拟对城区部分排水主干道公用设施全面更新改造，为响应城市建设的需要，需在一个月内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的1.5倍，若甲、乙两工程队合作只需12天完成.
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是5万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，两队合作6天后，要抽调一个工程队去完成其他任务，剩下的任务由另一个工程队单独完成，问抽调哪个队能使工程费用较少？
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？
(2)若甲工程队每天的工程费用是5万元，乙工程队每天的工程费用是3万元，两队合作6天后，要抽调一个工程队去完成其他任务，剩下的任务由另一个工程队单独完成，问抽调哪个队能使工程费用较少？
答案：2.解:(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5x天，
根据题意，得$\frac{12}{x}+\frac{12}{1.5x}=1$，
方程两边乘1.5x，得$18+12=1.5x$，
解得$x=20$。
检验:当$x=20$时，$1.5x≠0$，
所以，原分式方程的解为$x=20$，
所以$1.5x=1.5×20=30$。
答:甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天。
(2)若剩下的任务由甲工程队单独完成，设甲工程队还需要m天完成，根据题意，得
$\frac{m+6}{20}+\frac{6}{30}=1$，解得$m=10$，
∴甲工程队还需要10天完成，
则所需的工程费用为$16×5+6×3=80+18=98$(万元)。
若剩下的任务由乙工程队单独完成，设乙还需要n天完成，根据题意，得
$\frac{6}{20}+\frac{n+6}{30}=1$，解得$n=15$，
∴乙工程队还需要15天完成，
则所需的工程费用为$6×5+21×3=30+63=93$(万元)。
∵$93＜98$，
∴抽调甲工程队能使工程费用较少。
根据题意，得$\frac{12}{x}+\frac{12}{1.5x}=1$，
方程两边乘1.5x，得$18+12=1.5x$，
解得$x=20$。
检验:当$x=20$时，$1.5x≠0$，
所以，原分式方程的解为$x=20$，
所以$1.5x=1.5×20=30$。
答:甲工程队单独完成该工程需20天，乙工程队单独完成该工程需30天。
(2)若剩下的任务由甲工程队单独完成，设甲工程队还需要m天完成，根据题意，得
$\frac{m+6}{20}+\frac{6}{30}=1$，解得$m=10$，
∴甲工程队还需要10天完成，
则所需的工程费用为$16×5+6×3=80+18=98$(万元)。
若剩下的任务由乙工程队单独完成，设乙还需要n天完成，根据题意，得
$\frac{6}{20}+\frac{n+6}{30}=1$，解得$n=15$，
∴乙工程队还需要15天完成，
则所需的工程费用为$6×5+21×3=30+63=93$(万元)。
∵$93＜98$，
∴抽调甲工程队能使工程费用较少。
解析：
【分析】
这是工程类分式方程应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的时间。
第(1)问：已知乙单独完成时间是甲的1.5倍，可设甲单独完成需x天，则乙需1.5x天，根据“甲乙合作12天完成总工程”，即甲12天的工作量+乙12天的工作量=总工作量1，列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性。
第(2)问：分两种情况讨论：①抽调乙队，剩余工作由甲单独完成；②抽调甲队，剩余工作由乙单独完成。先根据“已完成工作量+剩余工作量=总工作量1”分别求出剩余工作所需时间，再计算两种情况下的总工程费用，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5x天。
根据题意，得$\frac{12}{x}+\frac{12}{1.5x}=1$
方程两边乘1.5x，得$18+12=1.5x$
解得$x=20$。
检验：当$x=20$时，$1.5x≠0$，所以原分式方程的解为$x=20$。
则乙单独完成的时间为$1.5x=1.5×20=30$。
(2)若剩下的任务由甲工程队单独完成，设甲工程队还需要m天完成，根据题意，得
$\frac{m+6}{20}+\frac{6}{30}=1$，解得$m=10$。
所需总工程费用为$(6+10)×5+6×3=80+18=98$(万元)。
若剩下的任务由乙工程队单独完成，设乙还需要n天完成，根据题意，得
$\frac{6}{20}+\frac{n+6}{30}=1$，解得$n=15$。
所需总工程费用为$6×5+(6+15)×3=30+63=93$(万元)。
∵$93＜98$，
∴抽调甲工程队的工程费用更少。
【答案】
(1)甲工程队单独完成此项工程需20天，乙工程队单独完成此项工程需30天；
(2)抽调甲工程队能使工程费用较少。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题，方案优化
【点评】
本题是工程类应用题的典型题型，既考查了分式方程的列法、解法及验根要求，又结合实际场景考查费用计算与方案比较，解题时要注意理清各个阶段的工作时间，避免漏算合作阶段的费用。
【难度系数】
0.7
这是工程类分式方程应用题，解题核心是将总工作量看作单位“1”，工作效率=1÷单独完成工作的时间。
第(1)问：已知乙单独完成时间是甲的1.5倍，可设甲单独完成需x天，则乙需1.5x天，根据“甲乙合作12天完成总工程”，即甲12天的工作量+乙12天的工作量=总工作量1，列分式方程求解，注意分式方程要检验根的合理性。
第(2)问：分两种情况讨论：①抽调乙队，剩余工作由甲单独完成；②抽调甲队，剩余工作由乙单独完成。先根据“已完成工作量+剩余工作量=总工作量1”分别求出剩余工作所需时间，再计算两种情况下的总工程费用，比较大小即可得出结论。
【解析】
(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成该工程需1.5x天。
根据题意，得$\frac{12}{x}+\frac{12}{1.5x}=1$
方程两边乘1.5x，得$18+12=1.5x$
解得$x=20$。
检验：当$x=20$时，$1.5x≠0$，所以原分式方程的解为$x=20$。
则乙单独完成的时间为$1.5x=1.5×20=30$。
(2)若剩下的任务由甲工程队单独完成，设甲工程队还需要m天完成，根据题意，得
$\frac{m+6}{20}+\frac{6}{30}=1$，解得$m=10$。
所需总工程费用为$(6+10)×5+6×3=80+18=98$(万元)。
若剩下的任务由乙工程队单独完成，设乙还需要n天完成，根据题意，得
$\frac{6}{20}+\frac{n+6}{30}=1$，解得$n=15$。
所需总工程费用为$6×5+(6+15)×3=30+63=93$(万元)。
∵$93＜98$，
∴抽调甲工程队的工程费用更少。
【答案】
(1)甲工程队单独完成此项工程需20天，乙工程队单独完成此项工程需30天；
(2)抽调甲工程队能使工程费用较少。
【知识点】
分式方程的应用，工程问题，方案优化
【点评】
本题是工程类应用题的典型题型，既考查了分式方程的列法、解法及验根要求，又结合实际场景考查费用计算与方案比较，解题时要注意理清各个阶段的工作时间，避免漏算合作阶段的费用。
【难度系数】
0.7