三、解答题(共56分)
18.(6分)(2025·杨浦区月考)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.
18.(6分)(2025·杨浦区月考)如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:AD⊥BC.
答案：18.证明:
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，点D在BC的垂直平分线上.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，即AD⊥BC.
∵BD=DC，
∴∠DBC=∠DCB，点D在BC的垂直平分线上.
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
∴AD是BC的垂直平分线，即AD⊥BC.
19.(6分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A(0,1),B(3,2),C(1,3)均在正方形网格的格点上.(1)画出△ABC关于y轴的对称图形△A₁B₁C₁,并写出点B₁的坐标;(2)请在x轴上找一点P,连接PA,PB,使得PA=PB,并写出点P的坐标
第19题图
第19题图答案：
19.解:(1)如答图，△A₁B₁C₁即为所求.点B₁的坐标为(-3,2).
(2)如答图，点P即为所求，点P的坐标为(2,0).
19.解:(1)如答图，△A₁B₁C₁即为所求.点B₁的坐标为(-3,2).
(2)如答图，点P即为所求，点P的坐标为(2,0).
20.(6分)(2025·虹口区期末)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AB=CD−BD.求证:∠B=2∠C.
答案：
20.证明:在DC上取点E，使DE=BD，如答图.
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB.
∵AB=CD-BD=CD-DE=CE，
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∴∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C，
∴∠B=2∠C.
20.证明:在DC上取点E，使DE=BD，如答图.
∵AD⊥BC，BD=DE，
∴AD垂直平分BE，
∴AB=AE，
∴∠B=∠AEB.
∵AB=CD-BD=CD-DE=CE，
∴AE=CE，
∴∠C=∠EAC，
∴∠AEB=∠C+∠EAC=2∠C，
∴∠B=2∠C.
21.(8分)如图,在△ABC中,点D在AB上,且△CAD和△CBE都是等边三角形,连接DE.
求证:(1)AB=DE;
(2)∠EDB=60°.
求证:(1)AB=DE;
(2)∠EDB=60°.
答案：21.证明:(1)
∵△CAD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠A=∠CDA=∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB，
即∠ACB=∠DCE.
在△ACB和△DCE中，$\begin{cases} CA=CD, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ CB=CE, \end{cases}$
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴AB=DE.
(2)由(1)得△ACB≌△DCE，
∴∠CDE=∠A=60°，
∴∠EDB=180°-∠CDA-∠CDE=180°-60°-60°=60°.
∵△CAD和△CBE都是等边三角形，
∴AC=CD，CE=CB，∠A=∠CDA=∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB，
即∠ACB=∠DCE.
在△ACB和△DCE中，$\begin{cases} CA=CD, \\ ∠ACB=∠DCE, \\ CB=CE, \end{cases}$
∴△ACB≌△DCE(SAS)，
∴AB=DE.
(2)由(1)得△ACB≌△DCE，
∴∠CDE=∠A=60°，
∴∠EDB=180°-∠CDA-∠CDE=180°-60°-60°=60°.