24.(8分)(2025·临淄区期末)小聪在学习完乘法公式后,发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合,可以解决很多数学问题.请根据以上信息,解答下列问题:
(1)已知$a-b=1$,$a^2+b^2=17$,求$ab$的值;
(2)如图,两个正方形的边长分别为$a$,$b$,若$a+b=7$,$ab=9$,求图中阴影部分的面积;
(3)若$(2025-x)(x-2024)=-6$,求$(2025-x)^2+(x-2024)^2$的值.
(1)已知$a-b=1$,$a^2+b^2=17$,求$ab$的值;
(2)如图,两个正方形的边长分别为$a$,$b$,若$a+b=7$,$ab=9$,求图中阴影部分的面积;
(3)若$(2025-x)(x-2024)=-6$,求$(2025-x)^2+(x-2024)^2$的值.
答案：24. (1)$\because a-b=1,a^2+b^2=17,(a-b)^2=a^2+b^2-2ab,$
$\therefore 1^2=17-2ab$,解得$ab=8.$
(2)$S_{\mathrm{阴影}}=a^2-2×\frac{1}{2}b(a-b)=a^2+b^2-ab.$
$\because a+b=7, \therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49.$
$\because ab=9, \therefore a^2+b^2+2×9=49,$
$\therefore a^2+b^2=31,$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=a^2+b^2-ab=31-9=22.$
(3)令$2025-x=m,x-2024=n,$
则$m+n=2025-x+x-2024=1.$
$\because (2025-x)(x-2024)=-6, \therefore mn=-6,$
$\therefore (2025-x)^2+(x-2024)^2=m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=1^2-2×(-6)=13.$
$\therefore 1^2=17-2ab$,解得$ab=8.$
(2)$S_{\mathrm{阴影}}=a^2-2×\frac{1}{2}b(a-b)=a^2+b^2-ab.$
$\because a+b=7, \therefore (a+b)^2=a^2+2ab+b^2=49.$
$\because ab=9, \therefore a^2+b^2+2×9=49,$
$\therefore a^2+b^2=31,$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=a^2+b^2-ab=31-9=22.$
(3)令$2025-x=m,x-2024=n,$
则$m+n=2025-x+x-2024=1.$
$\because (2025-x)(x-2024)=-6, \therefore mn=-6,$
$\therefore (2025-x)^2+(x-2024)^2=m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=1^2-2×(-6)=13.$
25.(12分)定义:若实数$p$可以表示成$p=x^2 + y^2 - xy(x,y$为自然数)的形式,则称$p$为“希尔伯特”数.例如,$3=2^2 +1^2 -2×1,39=7^2 +5^2 -7×5,147=13^2 +11^2 -13×11,···$.所以3,39,147都是“希尔伯特”数.
(1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数；
(2)像39,147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来,试说明所有用连续两个奇数表达出来的“希尔伯特”数一定能被4除余3；
(3)已知两个“希尔伯特”数,它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来,且它们的差是224,求这两个“希尔伯特”数.
(1)请写出两个10以内的“希尔伯特”数；
(2)像39,147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来,试说明所有用连续两个奇数表达出来的“希尔伯特”数一定能被4除余3；
(3)已知两个“希尔伯特”数,它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来,且它们的差是224,求这两个“希尔伯特”数.
答案：25. (1)答案不唯一,如4,7是“希尔伯特”数.
(2)设用连续两个奇数表达出来的“希尔伯特”数为$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)(n$为自然数).
$\because (2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)=4n^2+3,$
又$4n^2$能被4整除,
$\therefore$ 所有用连续两个奇数表达出来的“希尔伯特”数一定能被4除余3.
(3)设这两个“希尔伯特”数分别为$(2m+1)^2+(2m-1)^2-(2m+1)(2m-1)$和$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)(m,n$均为自然数).
由题意,得$(2m+1)^2+(2m-1)^2-(2m+1)(2m-1)-[(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)]=224,$
$\therefore m^2-n^2=56, \therefore (m+n)(m-n)=56,$
可得整数解$\begin{cases}m=9,\\n=5\end{cases}$或$\begin{cases}m=15,\\n=13,\end{cases}$
$\therefore$ 这两个“希尔伯特”数分别为327和103或903和679.
(2)设用连续两个奇数表达出来的“希尔伯特”数为$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)(n$为自然数).
$\because (2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)=4n^2+3,$
又$4n^2$能被4整除,
$\therefore$ 所有用连续两个奇数表达出来的“希尔伯特”数一定能被4除余3.
(3)设这两个“希尔伯特”数分别为$(2m+1)^2+(2m-1)^2-(2m+1)(2m-1)$和$(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)(m,n$均为自然数).
由题意,得$(2m+1)^2+(2m-1)^2-(2m+1)(2m-1)-[(2n+1)^2+(2n-1)^2-(2n+1)(2n-1)]=224,$
$\therefore m^2-n^2=56, \therefore (m+n)(m-n)=56,$
可得整数解$\begin{cases}m=9,\\n=5\end{cases}$或$\begin{cases}m=15,\\n=13,\end{cases}$
$\therefore$ 这两个“希尔伯特”数分别为327和103或903和679.
26.(12分)已知△ABC和△ADE都是等边三角形，M,N分别是AB,AC边上的定点，且MN//BC，点D在射线MN上移动，如图①，当点D与点M重合时，点E与点N也重合，此时易得BD=CE.
(1)如图②，当点D不与点M重合时，BD和CE仍相等吗？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由.
(2)如图③，延长BD,CE交于点P，随着点D的移动，BD与CE的夹角∠BPC是否发生改变？若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由.
(3)如图④，在△A₁B₁C₁中，A₁B₁=B₁C₁，∠A₁B₁C₁=90°，D₁为A₁B₁的中点，E₁为B₁C₁边上一动点，以D₁E₁为边，向右作等边△D₁E₁F₁，连接A₁F₁.若A₁B₁=6，则A₁F₁的最小值为
(1)如图②，当点D不与点M重合时，BD和CE仍相等吗？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由.
(2)如图③，延长BD,CE交于点P，随着点D的移动，BD与CE的夹角∠BPC是否发生改变？若不变，请求出其度数；若改变，请说明理由.
(3)如图④，在△A₁B₁C₁中，A₁B₁=B₁C₁，∠A₁B₁C₁=90°，D₁为A₁B₁的中点，E₁为B₁C₁边上一动点，以D₁E₁为边，向右作等边△D₁E₁F₁，连接A₁F₁.若A₁B₁=6，则A₁F₁的最小值为
$\frac{9}{2}$
，此时∠F₁A₁D₁=$60$
°.答案：
26. (1)解:结论:$BD=CE.$
证明:$\because △ ADE$和$△ ABC$都是等边三角形,
$\therefore AB=AC,AD=AE,∠ BAC=∠ DAE=60°,$
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC,$
即$∠ BAD=∠ CAE.$
在$△ BAD$和$△ CAE$中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS}), \therefore BD=CE.$
(2)解:不变,$∠ BPC=60°.$
如答图,$BP$与$AC$的交点记为$G.$
由(1)知$△ BAD≌△ CAE,$
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE.$
又$\because ∠ BGA=∠ CGP,$
$\therefore 180°-∠ ACE-∠ CGP=180°-∠ ABD-∠ BGA,$
$\therefore ∠ BPC=∠ BAC=60°.$
(3)$\frac{9}{2}\ \ 60$
26. (1)解:结论:$BD=CE.$
证明:$\because △ ADE$和$△ ABC$都是等边三角形,
$\therefore AB=AC,AD=AE,∠ BAC=∠ DAE=60°,$
$\therefore ∠ BAC-∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC,$
即$∠ BAD=∠ CAE.$
在$△ BAD$和$△ CAE$中,$\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS}), \therefore BD=CE.$
(2)解:不变,$∠ BPC=60°.$
如答图,$BP$与$AC$的交点记为$G.$
由(1)知$△ BAD≌△ CAE,$
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE.$
又$\because ∠ BGA=∠ CGP,$
$\therefore 180°-∠ ACE-∠ CGP=180°-∠ ABD-∠ BGA,$
$\therefore ∠ BPC=∠ BAC=60°.$
(3)$\frac{9}{2}\ \ 60$