人民教育出版社
拓广探索
7. 已知 $ a+b=5 $，$ ab=3 $，求 $ a^2+b^2 $ 的值.
8. 计算下列式子：
$ (x-1)(x+1) $，$ (x-1)(x^2+x+1) $，$ (x-1)(x^3+x^2+x+1) $，…
你能发现什么规律？验证你发现的规律. 利用你发现的规律，计算
$ 2^9+2^8+2^7+\dots+2+1 $.
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阅读与思考
杨辉三角
我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的《数学是我国人民所擅长的学科》一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列. 他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就.”其中“杨辉三角”（图1）就是一例.
在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》（1261年）一书中，用图1的三角形解释二项和的乘方规律. 杨辉在书中提到，在他之前北宋数学家贾宪（约11世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.
杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和. 事实上，这个三角形给出了 $ (a+b)^n $（$ n=0,1,2,3,4,5,6 $）的展开式（按 $ a $ 的次数由大到小的顺序）的系数规律. 例如，此三角形中第3行的3个数 $ 1,2,1 $，恰好对应着 $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $ 展开式中的各项的系数；第4行的4个数 $ 1,3,3,1 $，恰好对应着 $ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $ 展开式中各项的系数；等等.
利用上面的三角形，你能写出 $ (a+b)^6 $ 的展开式吗？请利用整式的乘法验证你的结果.
（图1：杨辉三角，内部数字依次为：
第1行：一
第2行：一 一
第3行：一 二 一
第4行：一 三 三 一
第5行：一 四 六 四 一
第6行：一 五 十 十 五 一
第7行：一 六 十五 二十 十五 六 一）
这个三角形被欧洲学者称为“帕斯卡三角”.法国数学家帕斯卡（Pas-cal，1623—1662）于1654年发现了此三角形.
118 第十六章 整式的乘法