1. 分解因式：
(1) $x^2 y - 4y$；
(2) $a^3 - 2a^2 + a$；
(3) $a x^2 + 2a^2 x + a^3$；
(4) $-a^4 + 16$；
(5) $3a - 6a x + 3a x^2$；
(6) $-4b x^2 + 8b x y - 4b y^2$。
(1) $x^2 y - 4y$；
(2) $a^3 - 2a^2 + a$；
(3) $a x^2 + 2a^2 x + a^3$；
(4) $-a^4 + 16$；
(5) $3a - 6a x + 3a x^2$；
(6) $-4b x^2 + 8b x y - 4b y^2$。
答案：1. (1) $y(x+2)(x-2)$.
(2) $a(a-1)^2$.
(3) $a(x+a)^2$.
(4) $(4+a^2)(2+a)(2-a)$.
(5) $3a(x-1)^2$.
(6) $-4b(x-y)^2$.
(2) $a(a-1)^2$.
(3) $a(x+a)^2$.
(4) $(4+a^2)(2+a)(2-a)$.
(5) $3a(x-1)^2$.
(6) $-4b(x-y)^2$.
2. 分解因式：
(1) $(a - b)^2 + 4ab$；
(2) $(p - 4)(p + 1) + 3p$。
(1) $(a - b)^2 + 4ab$；
(2) $(p - 4)(p + 1) + 3p$。
答案：2. (1) $(a+b)^2$.
(2) $(p+2)(p-2)$.
(2) $(p+2)(p-2)$.
习题 17.2
复习巩固
分解因式（第1~3题）.
1. (1) $9a^2 - 16$； (2) $81x^2 - 64y^2$； (3) $m^2 - \frac{1}{36}$； (4) $\frac{1}{25}y^2 - \frac{1}{49}z^2$.
2. (1) $a^2 - 4ab + 4b^2$； (2) $-x^2 + 10xy - 25y^2$；
(3) $4 + 12(x - y) + 9(x - y)^2$； (4) $-(m + n)^2 + 4(m + n) - 4$.
3. (1) $18y^3 - 27y^4 - 3y^2$； (2) $m^4 - 18m^2 + 81$；
(3) $x^4 - 16y^4$； (4) $(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (a^2 - b^2 - c^2)^2$.
综合运用
4. 利用因式分解计算：
(1) $103^2 + 103 × 194 + 97^2$； (2) $2021^2 - 2020^2 + 2010^2 - 2009^2$.
5. 已知 $xy=4$，$x+y=5$，求 $x^3y + 2x^2y^2 + xy^3$.
6. 分解因式：
(1) $(2ab + 1)^2 - a^4b^4$； (2) $(p + q)^2 - 6(p^2 - q^2) + 9(p - q)^2$.
拓广探索
7. 已知 $n$ 为正整数，求证：$(4n + 3)^2 - (2n + 3)^2$ 能被24整除.
8. 已知 $4y^2 + my + 9$ 是完全平方式，求 $m$ 的值.
9. 观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？
$1^2 + 1^2 × 2^2 + 2^2 = (1 + 1 + 1)^2$，
$2^2 + 2^2 × 3^2 + 3^2 = (4 + 2 + 1)^2$，
$3^2 + 3^2 × 4^2 + 4^2 = (9 + 3 + 1)^2$，
……
132 第十七章 因式分解
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
复习巩固
分解因式（第1~3题）.
1. (1) $9a^2 - 16$； (2) $81x^2 - 64y^2$； (3) $m^2 - \frac{1}{36}$； (4) $\frac{1}{25}y^2 - \frac{1}{49}z^2$.
2. (1) $a^2 - 4ab + 4b^2$； (2) $-x^2 + 10xy - 25y^2$；
(3) $4 + 12(x - y) + 9(x - y)^2$； (4) $-(m + n)^2 + 4(m + n) - 4$.
3. (1) $18y^3 - 27y^4 - 3y^2$； (2) $m^4 - 18m^2 + 81$；
(3) $x^4 - 16y^4$； (4) $(a^2 + b^2 - c^2)^2 - (a^2 - b^2 - c^2)^2$.
综合运用
4. 利用因式分解计算：
(1) $103^2 + 103 × 194 + 97^2$； (2) $2021^2 - 2020^2 + 2010^2 - 2009^2$.
5. 已知 $xy=4$，$x+y=5$，求 $x^3y + 2x^2y^2 + xy^3$.
6. 分解因式：
(1) $(2ab + 1)^2 - a^4b^4$； (2) $(p + q)^2 - 6(p^2 - q^2) + 9(p - q)^2$.
拓广探索
7. 已知 $n$ 为正整数，求证：$(4n + 3)^2 - (2n + 3)^2$ 能被24整除.
8. 已知 $4y^2 + my + 9$ 是完全平方式，求 $m$ 的值.
9. 观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？
$1^2 + 1^2 × 2^2 + 2^2 = (1 + 1 + 1)^2$，
$2^2 + 2^2 × 3^2 + 3^2 = (4 + 2 + 1)^2$，
$3^2 + 3^2 × 4^2 + 4^2 = (9 + 3 + 1)^2$，
……
132 第十七章 因式分解
仅供个人学习使用，未经授权不得另做他用
答案：1. (1) $(3a+4)(3a-4)$.
(2) $(9x+8y)(9x-8y)$.
(3) $(m+\frac{1}{6})(m-\frac{1}{6})$.
(4) $(\frac{1}{5}y+\frac{1}{7}z)(\frac{1}{5}y-\frac{1}{7}z)$.
2. (1) $(a-2b)^2$.
(2) $-(x-5y)^2$.
(3) $(2+3x-3y)^2$.
(4) $-(m+n-2)^2$.
3. (1) $-3y^2(3y-1)^2$.
(2) $(m+3)^2(m-3)^2$.
(3) $(x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y)$.
(4) $4b^2(a+c)(a-c)$.
4. (1) 40 000.
(2) 8 060.
5. 100.
6. (1) $(ab+1)^2(2ab+1-a^2b^2)$.
(2) $4(2q-p)^2$.
7. 证明:$(4n+3)^2-(2n+3)^2=(4n+3+2n+3)(4n+3-2n-3)=2n(6n+6)=12n(n+1)$,
$\because n$ 为正整数,
$\therefore n(n+1)$ 能被 2 整除,
$\therefore 12n(n+1)$ 能被 24 整除,
$\therefore (4n+3)^2-(2n+3)^2$ 能被 24 整除.
8. $m=\pm12$.
9. 结论:$n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2=(n^2+n+1)^2$($n$ 为正整数).证明略.
(2) $(9x+8y)(9x-8y)$.
(3) $(m+\frac{1}{6})(m-\frac{1}{6})$.
(4) $(\frac{1}{5}y+\frac{1}{7}z)(\frac{1}{5}y-\frac{1}{7}z)$.
2. (1) $(a-2b)^2$.
(2) $-(x-5y)^2$.
(3) $(2+3x-3y)^2$.
(4) $-(m+n-2)^2$.
3. (1) $-3y^2(3y-1)^2$.
(2) $(m+3)^2(m-3)^2$.
(3) $(x^2+4y^2)(x+2y)(x-2y)$.
(4) $4b^2(a+c)(a-c)$.
4. (1) 40 000.
(2) 8 060.
5. 100.
6. (1) $(ab+1)^2(2ab+1-a^2b^2)$.
(2) $4(2q-p)^2$.
7. 证明:$(4n+3)^2-(2n+3)^2=(4n+3+2n+3)(4n+3-2n-3)=2n(6n+6)=12n(n+1)$,
$\because n$ 为正整数,
$\therefore n(n+1)$ 能被 2 整除,
$\therefore 12n(n+1)$ 能被 24 整除,
$\therefore (4n+3)^2-(2n+3)^2$ 能被 24 整除.
8. $m=\pm12$.
9. 结论:$n^2+n^2(n+1)^2+(n+1)^2=(n^2+n+1)^2$($n$ 为正整数).证明略.