任务1 如图5，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到A处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？
任务2 如图6，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？
任务3 如图7，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，最后回到A处. 如何确定A，B，C的位置，使从A
图5 图6 图7
综合与实践 最短路径问题 95
人民教育出版社
处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短？
任务4 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
任务2 如图6，牧民从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，最后回到B处. 牧民怎样走可使所走的路径最短？
任务3 如图7，牧民每天从生活区的边沿A处出发，先到草地边的B处牧马，再到河边C处饮马，最后回到A处. 如何确定A，B，C的位置，使从A
图5 图6 图7
综合与实践 最短路径问题 95
人民教育出版社
处出发，到B处牧马，再到C处饮马，最后回到A处所走的路径最短？
任务4 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决.
答案：解：
任务1
作法：
1. 记草地边界所在直线为$l_1$，河岸所在直线为$l_2$；
2. 作点$A$关于直线$l_1$的对称点$A_1$，作点$A$关于直线$l_2$的对称点$A_2$；
3. 连接$A_1A_2$，交$l_1$于点$P$，交$l_2$于点$Q$。
牧民沿路径$A \to P \to Q \to A$行走时路径最短。
由轴对称性质得$AP=A_1P$，$AQ=A_2Q$，总路径长$AP+PQ+QA = A_1P+PQ+QA_2 = A_1A_2$，根据两点之间线段最短，该路径为最短路径。
任务2
作法：
1. 记草地边界所在直线为$l_1$，河岸所在直线为$l_2$；
2. 作点$A$关于直线$l_1$的对称点$A'$，作点$B$关于直线$l_2$的对称点$B'$；
3. 连接$A'B'$，交$l_1$于点$M$，交$l_2$于点$N$。
牧民沿路径$A \to M \to N \to B$行走时路径最短。
由轴对称性质得$AM=A'M$，$BN=B'N$，总路径长$AM+MN+NB = A'M+MN+NB' = A'B'$，根据两点之间线段最短，该路径为最短路径。
任务3
作法：
1. 记草地边界所在直线为$m$，河岸所在直线为$n$，生活区边沿所在直线为$p$；
2. 作点$A$关于直线$m$的对称点$A_1$，作点$A$关于直线$n$的对称点$A_2$；
3. 连接$A_1A_2$，交直线$m$于点$B$，交直线$n$于点$C$，取线段$A_1A_2$与直线$p$的交点为点$A$。
此时路径$A \to B \to C \to A$的总长度最短。
由轴对称性质得$AB=A_1B$，$AC=A_2C$，总路径长$AB+BC+CA = A_1B+BC+CA_2 = A_1A_2$，根据两点之间线段最短，该路径总长度最短。
任务4
举例：在锐角$∠ MON$的内部有一个快递站点$A$，快递员从站点$A$出发，先到墙面$OM$上的点$P$张贴取件通知，再到墙面$ON$上的点$Q$张贴派件通知，最后返回站点$A$，求最短行走路径。
解决方法：
1. 作点$A$关于直线$OM$的对称点$A_1$，作点$A$关于直线$ON$的对称点$A_2$；
2. 连接$A_1A_2$，分别交$OM$于点$P$，交$ON$于点$Q$，路径$A \to P \to Q \to A$即为所求最短路径。
由轴对称性质得$AP=A_1P$，$AQ=A_2Q$，总路径长$AP+PQ+QA = A_1P+PQ+QA_2 = A_1A_2$，依据两点之间线段最短，该路径长度最短。
任务1
作法：
1. 记草地边界所在直线为$l_1$，河岸所在直线为$l_2$；
2. 作点$A$关于直线$l_1$的对称点$A_1$，作点$A$关于直线$l_2$的对称点$A_2$；
3. 连接$A_1A_2$，交$l_1$于点$P$，交$l_2$于点$Q$。
牧民沿路径$A \to P \to Q \to A$行走时路径最短。
由轴对称性质得$AP=A_1P$，$AQ=A_2Q$，总路径长$AP+PQ+QA = A_1P+PQ+QA_2 = A_1A_2$，根据两点之间线段最短，该路径为最短路径。
任务2
作法：
1. 记草地边界所在直线为$l_1$，河岸所在直线为$l_2$；
2. 作点$A$关于直线$l_1$的对称点$A'$，作点$B$关于直线$l_2$的对称点$B'$；
3. 连接$A'B'$，交$l_1$于点$M$，交$l_2$于点$N$。
牧民沿路径$A \to M \to N \to B$行走时路径最短。
由轴对称性质得$AM=A'M$，$BN=B'N$，总路径长$AM+MN+NB = A'M+MN+NB' = A'B'$，根据两点之间线段最短，该路径为最短路径。
任务3
作法：
1. 记草地边界所在直线为$m$，河岸所在直线为$n$，生活区边沿所在直线为$p$；
2. 作点$A$关于直线$m$的对称点$A_1$，作点$A$关于直线$n$的对称点$A_2$；
3. 连接$A_1A_2$，交直线$m$于点$B$，交直线$n$于点$C$，取线段$A_1A_2$与直线$p$的交点为点$A$。
此时路径$A \to B \to C \to A$的总长度最短。
由轴对称性质得$AB=A_1B$，$AC=A_2C$，总路径长$AB+BC+CA = A_1B+BC+CA_2 = A_1A_2$，根据两点之间线段最短，该路径总长度最短。
任务4
举例：在锐角$∠ MON$的内部有一个快递站点$A$，快递员从站点$A$出发，先到墙面$OM$上的点$P$张贴取件通知，再到墙面$ON$上的点$Q$张贴派件通知，最后返回站点$A$，求最短行走路径。
解决方法：
1. 作点$A$关于直线$OM$的对称点$A_1$，作点$A$关于直线$ON$的对称点$A_2$；
2. 连接$A_1A_2$，分别交$OM$于点$P$，交$ON$于点$Q$，路径$A \to P \to Q \to A$即为所求最短路径。
由轴对称性质得$AP=A_1P$，$AQ=A_2Q$，总路径长$AP+PQ+QA = A_1P+PQ+QA_2 = A_1A_2$，依据两点之间线段最短，该路径长度最短。