另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质 $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a ≠ 0$，$m$，$n$是正整数，$m＞n$）中的条件$m＞n$去掉，即假设这个性质对于像$a^3 ÷ a^5$的情形也能使用，则有
$a^3 ÷ a^5 = a^{3-5} = a^{-2}. \tag{②}$
由①②两式，我们想到如果规定 $a^{-2} = \dfrac{1}{a^2} \ (a ≠ 0)$，就能使 $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$这条性质也适用于像$a^3 ÷ a^5$这样的情形. 为使上述运算性质适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当$n$是正整数时，

这就是说，$a^{-n}(a≠0)$是$a^n$的倒数.
今后，如无特别说明，本套书中涉及的负整数指数幂的底数均不为0.
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充到全体整数.
知识链接 ①$(\dfrac{1}{a})^{-n}=a^n$（$a≠0$，$n$是正整数）；
②$(\dfrac{b}{a})^{-n}=(\dfrac{a}{b})^n$（$a≠0$，$b≠0$，$n$是正整数）.
思考
引入负整数指数和0指数后，正整数指数幂的运算性质
$a^m · a^n = a^{m+n} \ (m,\ n\mathrm{是正整数}) \tag{①}$
能否推广到$m$，$n$是任意整数的情形？
我们从特殊情形入手进行研究. 例如，
$a^3 · a^{-5} = \frac{a^3}{a^5} = \frac{1}{a^2} = a^{-2} = a^{3+(-5)}, \mathrm{即}$
$a^3 · a^{-5} = a^{3+(-5)} ;$
$a^{-3} · a^{-5} = \frac{1}{a^3} · \frac{1}{a^5} = \frac{1}{a^8} = a^{-8} = a^{(-3)+(-5)}, \mathrm{即}$
$a^{-3} · a^{-5} = a^{(-3)+(-5)} ;$
$a^0 · a^{-5} = 1 · \frac{1}{a^5} = \frac{1}{a^5} = a^{-5} = a^{0+(-5)}, \mathrm{即}$
$a^0 · a^{-5} = a^{0+(-5)}.$
例如，$a^2 · a^{-3} = \dfrac{a^2}{a^3} = \dfrac{1}{a} = a^{-1} = a^{2+(-3)}$，
即 $a^2 · a^{-3} = a^{2+(-3)}$；
$a^{-2} · a^{-3} = \dfrac{1}{a^2} · \dfrac{1}{a^3} = \dfrac{1}{a^5} = a^{-5} = a^{(-2)+(-3)}$，
即 $a^{-2} · a^{-3} = a^{(-2)+(-3)}$；
$a^0 · a^{-3} = 1 · \dfrac{1}{a^3} = \dfrac{1}{a^3} = a^{-3} = a^{0+(-3)}$，
即 $a^0 · a^{-3} = a^{0+(-3)}$.
可以换其他整数指数再验证这个规律.
一般地，$a^m · a^n = a^{m+n}$这条性质对于$m$，$n$是任意整数的情形仍然适用.
同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.
探究

进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用.
事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也推广到整数指数幂.