15.3 等腰三角形
有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可以帮助我们研究图形的性质. 本节我们利用轴对称研究等腰三角形.
15.3.1 等腰三角形
等腰三角形中，相等的边叫作腰，与腰不相等的边叫作底边，腰和底边的夹角叫作底角，两腰的夹角叫作顶角.
我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形. 等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质.
知识链接 ①等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等；
探究 ②等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高；
③等腰三角形两腰上的中线、高分别相等.
如图15.3-1，在纸上画一个等腰三角形，把它剪下来. 将这个等腰三角形对折，使它的两腰重合，再展开，找出其中重合的线段和角.
由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.
重合的线段有AB和AC，BD和CD；重合的角有∠BAD和∠CAD，∠BDA和∠CDA，∠B和∠C.
等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，底边上的中线、高及顶角平分线是同一条线段.
可以用来证明两条线段相等和两个角相等；还可以用来证明两条线段之间的垂直关系.
我们可以发现等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合（简写成“三线合一”）.
由上面的探究过程获得启发，可以利用三角形的全等证明这些性质.
如图15.3-2，在△ABC中，AB=AC，作底边BC的中线AD，则BD=CD.
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC, \\BD=CD, \\AD=AD,\end{array} $
∴ △ABD≌△ACD（SSS）.
∴ ∠B=∠C.
这样就证明了“等边对等角”.


图15.3-1
图15.3-2
由△ABD≌△ACD，还可得出∠BAD=∠CAD，∠BDA=∠CDA，从而AD⊥BC. 这也就证明了等腰三角形ABC底边上的中线AD平分顶角∠A并垂直于底边BC. 用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边. 这也就证明了等腰三角形“三线合一”.
从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角的平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
注意! ①等腰三角形的顶角可以是锐角、直角或钝角；
②等腰三角形的底角只能是锐角.