1.观察下列等式：$7^0=1,7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401,7^5=16807,···,$根据其中的规律可得$7^0+7^1+7^2+···+7^{2025}$的结果的个位数字是 （
A.0
B.1
C.7
D.8
D
）A.0
B.1
C.7
D.8
答案：1.D
2. 观察下列等式：$2^2 - 2^1 = 2^1$，$2^3 - 2^2 = 2^2$，$2^4 - 2^3 = 2^3$……
探究其中的规律，并解答下列问题：
(1)请直接写出第4个等式为
(2)计算：$2^1 - 2^2 - 2^3 - 2^4 - \dots - 2^{2023} + 2^{2024}$。
探究其中的规律，并解答下列问题：
(1)请直接写出第4个等式为
$2^5 - 2^4 = 2^4$
；第n个等式为$2^{n+1} - 2^n = 2^n$
；(2)计算：$2^1 - 2^2 - 2^3 - 2^4 - \dots - 2^{2023} + 2^{2024}$。
答案：(1)$2^5 - 2^4 = 2^4$；$2^{n+1} - 2^n = 2^n$
(2)解:原式=$(2^{2024} - 2^{2023}) - 2^{2022} - \dots - 2^2 + 2^1 = 2^{2023} - 2^{2022} - 2^{2021} - \dots - 2^2 + 2^1 = 2^2 + 2^1 = 4 + 2 = 6$。
(2)解:原式=$(2^{2024} - 2^{2023}) - 2^{2022} - \dots - 2^2 + 2^1 = 2^{2023} - 2^{2022} - 2^{2021} - \dots - 2^2 + 2^1 = 2^2 + 2^1 = 4 + 2 = 6$。
3.相传,古印度舍罕王准备重赏大臣达依尔——国际象棋的发明人,就把他召进宫来,问他有什么要求,达依尔说:“陛下,请您在这张棋盘的第一格内赏我一粒麦子,在第二格内给两粒,在第三格内给四粒,照这样下去,以后每格内的小麦数都是前一格的2倍,一直放到第64格,这些小麦就是我要的奖赏.”国王一听,这点小麦算什么,就满口答应了.经过计算,国王傻了眼,原来这些小麦全国要几百年才能种植出来.你能计算出国王共需要赏多少粒小麦吗?
答案：解:设国王共需要赏S粒小麦,根据题意,得
$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63}$,①
则$2S=2+2^2+2^3+…+2^{64}$,②
②−①,得$S=2^{64}-1$.
答:国王共需要赏$(2^{64}-1)$粒小麦.
$S=1+2+2^2+2^3+…+2^{63}$,①
则$2S=2+2^2+2^3+…+2^{64}$,②
②−①,得$S=2^{64}-1$.
答:国王共需要赏$(2^{64}-1)$粒小麦.