1.定义一种新运算：$T(x,y)=\frac{2x+y}{x+y}$，其中$x+y≠0$，比如：$T(2,5)=\frac{2×2+5}{2+5}=\frac{9}{7}$，则$T(1,2)+T(2,3)+…+T(100,101)+T(101,101)+T(101,100)+…+T(3,2)+T(2,1)$的值为（
A.$\frac{597}{2}$
B.$\frac{603}{2}$
C.300
D.303
B
）A.$\frac{597}{2}$
B.$\frac{603}{2}$
C.300
D.303
答案：1.B 点拨:原式=$\frac{4}{3}+\frac{7}{5}+…+\frac{301}{201}+\frac{303}{202}+\frac{302}{201}+…+\frac{8}{5}+\frac{5}{3}=(\frac{4}{3}+\frac{5}{3})+(\frac{7}{5}+\frac{8}{5})+…+(\frac{301}{201}+\frac{302}{201})+\frac{303}{202}=3+3+…+3+\frac{3}{2}=300+\frac{3}{2}=\frac{603}{2}$.
2.对于一个自然数n,如果能找到正整数x,y,使得$n=x+y+xy$,就称n为“好数”,例如：$3=1+1+1×1$,则3是一个“好数”,在8,9,10,11这四个数中,是“好数”的是
8,9,11
.答案：2.8,9,11 点拨:因为8=2+2+2×2,所以8是“好数”.因为9=1+4+1×4,所以9是“好数”.因为11=2+3+2×3,所以11是“好数”.综上可得,在8,9,10,11这四个数中,“好数”有8,9,11.
3. 如图，数轴上两点A，B对应的数分别为－8和4，P为数轴上一动点，若规定：点P到点A的距离是点P到点B的距离的3倍时，我们就称点P是关于A→B的“广益点”.
(1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离，则点P表示的数是
(2)若点P以每秒1个单位长度的速度从原点开始向右运动，当点P是关于A→B的“广益点”时，求点P的运动时间；
(3)若点P在原点的左边(即点P对应的数为负数)，且点P，A，B中有一个点是关于其他两个点的“广益点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数.
(1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离，则点P表示的数是
－2
；(2)若点P以每秒1个单位长度的速度从原点开始向右运动，当点P是关于A→B的“广益点”时，求点P的运动时间；
(3)若点P在原点的左边(即点P对应的数为负数)，且点P，A，B中有一个点是关于其他两个点的“广益点”，请直接写出所有符合条件的点P表示的数.
答案：3.(1)−2
(2)解:设点P运动的时间为t秒,则PA=t+8,PB=|t−4|,
因为点P是关于A→B的“广益点”,
所以t+8=3|t−4|,
所以t+8=3(t−4)或t+8=3(4−t),
所以t=10或t=1,
所以点P的运动时间为1秒或10秒.
(3)解:设点P表示的数为n,则PA=n+8或PA=−8−n,PB=4−n,AB=12,分6种情况讨论如下:
①当点A是关于P→B的“广益点”时,AP=3AB,−8−n=36或n+8=36,所以n=−44或n=28(舍去);
②当点A是关于B→P的“广益点”时,AB=3AP,3(−8−n)=12或3(8+n)=12,所以n=−12或n=−4;
③当点P是关于A→B的“广益点”时,PA=3PB,−8−n=3(4−n)或8+n=3(4−n),所以n=10(舍去)或n=1(舍去);
④当点P是关于B→A的“广益点”时,PB=3PA,4−n=3(n+8)或4−n=3(−n−8),所以n=−5或n=−14;
⑤当点B是关于P→A的“广益点”时,PB=3AB,4−n=36,所以n=−32;
⑥当点B是关于A→P的“广益点”时,AB=3PB,即3(4−n)=12,所以n=0(舍去).
综上,所有符合条件的点P表示的数为−4,−5,−12,−14,−32,−44.
(2)解:设点P运动的时间为t秒,则PA=t+8,PB=|t−4|,
因为点P是关于A→B的“广益点”,
所以t+8=3|t−4|,
所以t+8=3(t−4)或t+8=3(4−t),
所以t=10或t=1,
所以点P的运动时间为1秒或10秒.
(3)解:设点P表示的数为n,则PA=n+8或PA=−8−n,PB=4−n,AB=12,分6种情况讨论如下:
①当点A是关于P→B的“广益点”时,AP=3AB,−8−n=36或n+8=36,所以n=−44或n=28(舍去);
②当点A是关于B→P的“广益点”时,AB=3AP,3(−8−n)=12或3(8+n)=12,所以n=−12或n=−4;
③当点P是关于A→B的“广益点”时,PA=3PB,−8−n=3(4−n)或8+n=3(4−n),所以n=10(舍去)或n=1(舍去);
④当点P是关于B→A的“广益点”时,PB=3PA,4−n=3(n+8)或4−n=3(−n−8),所以n=−5或n=−14;
⑤当点B是关于P→A的“广益点”时,PB=3AB,4−n=36,所以n=−32;
⑥当点B是关于A→P的“广益点”时,AB=3PB,即3(4−n)=12,所以n=0(舍去).
综上,所有符合条件的点P表示的数为−4,−5,−12,−14,−32,−44.