1. 我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，如图画出了最上面的四层，图①有1颗弹珠，图②有3颗弹珠，图③有6颗弹珠，图④有10颗弹珠，依次类推，若用$a_n$表示图ⓝ中的弹珠数，其中$n=1,2,3,···$，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+···+\frac{1}{a_{2025}}$的值为（
A.$\frac{2025}{2026}$
B.$\frac{2025}{1013}$
C.$\frac{2023}{1012}$
D.$\frac{4045}{2026}$
第一行 1
第二行 -2 3 -4
第三行 9 -8 7 -6 5
第四行 -10 11 -12 13 -14 15 -16
第五行 25 -24 23 -22 21 -20 19 -18 17
第六行 -26 27 -28 29 -30 31 -32 33 -34 35 -36
……
B
）A.$\frac{2025}{2026}$
B.$\frac{2025}{1013}$
C.$\frac{2023}{1012}$
D.$\frac{4045}{2026}$
第一行 1
第二行 -2 3 -4
第三行 9 -8 7 -6 5
第四行 -10 11 -12 13 -14 15 -16
第五行 25 -24 23 -22 21 -20 19 -18 17
第六行 -26 27 -28 29 -30 31 -32 33 -34 35 -36
……
答案：1. B 点拨:由题图可知 $a_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$,则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{2025}}=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+\dots+\frac{2}{2025×2026}=2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})=2(1-\frac{1}{2026})=\frac{2025}{1013}.$
解析：
【分析】
首先观察图形的弹珠数规律：图①弹珠数为1，图②为1+2=3，图③为1+2+3=6，图④为1+2+3+4=10，可推出第n个图的弹珠数$a_n$是从1到n的正整数之和。得到$a_n$的表达式后，对$\frac{1}{a_n}$进行裂项变形，拆成两个分数的差，求和时中间项会相互抵消，仅保留首尾两项，最后计算即可得到结果。
【解析】
解：先推导$a_n$的表达式：
观察可得，第n个图的弹珠数是前n个正整数的和，即：
$a_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
因此$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
将n从1到2025代入求和：
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{2025}}$
$=2×(1-\frac{1}{2})+2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+2×(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+2×(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})$
提取公因数2后，中间相邻的正负项相互抵消，可得：
$=2×(1-\frac{1}{2026})$
$=2×\frac{2025}{2026}=\frac{2025}{1013}$
【答案】
B
【知识点】
规律探究，裂项相消求和，代数式运算
【点评】
本题结合古代数学文化“三角垛”设置问题，既考查了通过观察图形推导通项公式的规律探究能力，又考查了裂项相消的分数求和技巧，是规律类运算的典型题型，熟练掌握裂项方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
首先观察图形的弹珠数规律：图①弹珠数为1，图②为1+2=3，图③为1+2+3=6，图④为1+2+3+4=10，可推出第n个图的弹珠数$a_n$是从1到n的正整数之和。得到$a_n$的表达式后，对$\frac{1}{a_n}$进行裂项变形，拆成两个分数的差，求和时中间项会相互抵消，仅保留首尾两项，最后计算即可得到结果。
【解析】
解：先推导$a_n$的表达式：
观察可得，第n个图的弹珠数是前n个正整数的和，即：
$a_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$
因此$\frac{1}{a_n}=\frac{2}{n(n+1)}=2(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$
将n从1到2025代入求和：
$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{2025}}$
$=2×(1-\frac{1}{2})+2×(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+2×(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+2×(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})$
提取公因数2后，中间相邻的正负项相互抵消，可得：
$=2×(1-\frac{1}{2026})$
$=2×\frac{2025}{2026}=\frac{2025}{1013}$
【答案】
B
【知识点】
规律探究，裂项相消求和，代数式运算
【点评】
本题结合古代数学文化“三角垛”设置问题，既考查了通过观察图形推导通项公式的规律探究能力，又考查了裂项相消的分数求和技巧，是规律类运算的典型题型，熟练掌握裂项方法是解题的关键。
【难度系数】
0.6
2.如图,将一列数按规律排列,则第n行最中间的数可以表示为
$n^2-n+1$
.(用含n的代数式表示)答案：2. $n^2-n+1$ 点拨:由题图可知,第一行有1个数,第二行有3个数,第三行有5个数,…,第n行有(2n−1)个数.每一行中间的数都是正数,都等于这一行第一个数和最后一个数绝对值和的一半,且奇数行最左边的数是这一行对应行数的平方,偶数行最右边的数等于这一行对应行数的平方的相反数,故第n行最中间的数可以表示为$\frac{n^2+(n-1)^2+1}{2}=n^2-n+1.$
解析：
【分析】
解题时可按以下思路推导：第一步先观察每行数字的个数，发现第1行有1个数、第2行有3个数、第3行有5个数，均为对应行数的2倍减1，可得第n行共有(2n-1)个数；第二步计算前n-1行的总数字个数，由前k个奇数的和为k²，可知前n-1行共有(n-1)²个数，因此第n行第一个数的绝对值为(n-1)²+1，最后一个数的绝对值为n²；第三步由于每行数字的绝对值是连续整数，且最中间的数为正数，等于该行首尾数绝对值的平均数，代入化简即可得到结果。
【解析】
1. 推导第n行的数字个数：观察可得第1行有$2×1-1=1$个数，第2行有$2×2-1=3$个数，第3行有$2×3-1=5$个数，因此第$n$行共有$(2n-1)$个数。
2. 推导第n行首尾数的绝对值：前$n-1$行的数字总个数为$1+3+5+\dots+[2(n-1)-1]=(n-1)^2$，即第$n-1$行最后一个数的绝对值为$(n-1)^2$，因此第$n$行第一个数的绝对值为$(n-1)^2+1$，第$n$行最后一个数的绝对值为$n^2$。
3. 计算最中间的数：由于第$n$行数字的绝对值为连续整数，共$(2n-1)$个数，最中间的数为正数，等于该行首尾数绝对值的平均数，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{第}n\mathrm{行最中间的数}&=\frac{[(n-1)^2+1]+n^2}{2}\\&=\frac{n^2-2n+1+1+n^2}{2}\\&=\frac{2n^2-2n+2}{2}\\&=n^2-n+1\end{aligned}$
【答案】
$n^2-n+1$
【知识点】
数字规律探究，列代数式，整式的加减运算
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，需要学生通过观察归纳出数字个数、排列顺序的特征，再结合整式运算推导通用表达式，能有效考查观察归纳能力和代数运算能力，是该类考点的常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下思路推导：第一步先观察每行数字的个数，发现第1行有1个数、第2行有3个数、第3行有5个数，均为对应行数的2倍减1，可得第n行共有(2n-1)个数；第二步计算前n-1行的总数字个数，由前k个奇数的和为k²，可知前n-1行共有(n-1)²个数，因此第n行第一个数的绝对值为(n-1)²+1，最后一个数的绝对值为n²；第三步由于每行数字的绝对值是连续整数，且最中间的数为正数，等于该行首尾数绝对值的平均数，代入化简即可得到结果。
【解析】
1. 推导第n行的数字个数：观察可得第1行有$2×1-1=1$个数，第2行有$2×2-1=3$个数，第3行有$2×3-1=5$个数，因此第$n$行共有$(2n-1)$个数。
2. 推导第n行首尾数的绝对值：前$n-1$行的数字总个数为$1+3+5+\dots+[2(n-1)-1]=(n-1)^2$，即第$n-1$行最后一个数的绝对值为$(n-1)^2$，因此第$n$行第一个数的绝对值为$(n-1)^2+1$，第$n$行最后一个数的绝对值为$n^2$。
3. 计算最中间的数：由于第$n$行数字的绝对值为连续整数，共$(2n-1)$个数，最中间的数为正数，等于该行首尾数绝对值的平均数，因此：
$\begin{aligned}\mathrm{第}n\mathrm{行最中间的数}&=\frac{[(n-1)^2+1]+n^2}{2}\\&=\frac{n^2-2n+1+1+n^2}{2}\\&=\frac{2n^2-2n+2}{2}\\&=n^2-n+1\end{aligned}$
【答案】
$n^2-n+1$
【知识点】
数字规律探究，列代数式，整式的加减运算
【点评】
本题是规律探究类的典型题型，需要学生通过观察归纳出数字个数、排列顺序的特征，再结合整式运算推导通用表达式，能有效考查观察归纳能力和代数运算能力，是该类考点的常考题型。
【难度系数】
0.6
3. 观察算式：$1^2=\frac{1}{6}×1×2×3$；$1^2+2^2=\frac{1}{6}×2×3×5$；$1^2+2^2+3^2=\frac{1}{6}×3×4×7$；…，我们称这样的式子为连等式.
(1)请写出一个式子：$1^2+2^2+3^2+4^2=$
(2)$1^2+2^2+3^2+…+n^2=$
(3)根据你所得的规律计算：$11^2+12^2+13^2+14^2+…+18^2+19^2$.
(1)请写出一个式子：$1^2+2^2+3^2+4^2=$
$\frac{1}{6}×4×5×9$
；(2)$1^2+2^2+3^2+…+n^2=$
$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
；(用含$n$的式子表示)(3)根据你所得的规律计算：$11^2+12^2+13^2+14^2+…+18^2+19^2$.
答案：3. (1)$\frac{1}{6}×4×5×9$
(2)$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
(3)解:原式=$(1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+18^2+19^2)-(1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+9^2+10^2)=\frac{1}{6}×19×20×39-\frac{1}{6}×10×11×21=2470-385=2085.$
(2)$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
(3)解:原式=$(1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+18^2+19^2)-(1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+9^2+10^2)=\frac{1}{6}×19×20×39-\frac{1}{6}×10×11×21=2470-385=2085.$
解析：
【分析】
本题是数字规律探究类题目，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：观察给出的3个已知等式，总结右边式子的规律：等式右边均为$\frac{1}{6}$乘三个连续变化的数，第一个乘数等于等式左边最后一个平方项的底数，第二个乘数比第一个乘数大1，第三个乘数是第一个乘数的2倍加1，代入底数4即可得出结果。
2. 解决第(2)问：将第(1)问总结的规律推广到一般情况，把底数替换为$n$，即可得到含$n$的通用表达式。
3. 解决第(3)问：如果直接计算$11^2$到$19^2$的和计算量较大，我们可以利用第(2)问得出的平方和公式，先计算1到19的平方和，再减去1到10的平方和，就可以快速得到所求式子的结果，简化计算步骤。
【解析】
(1) 观察已知等式规律：
$1^2=\frac{1}{6}×1×(1+1)×(2×1+1)$
$1^2+2^2=\frac{1}{6}×2×(2+1)×(2×2+1)$
$1^2+2^2+3^2=\frac{1}{6}×3×(3+1)×(2×3+1)$
所以$1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{1}{6}×4×(4+1)×(2×4+1)=\frac{1}{6}×4×5×9$
(2) 把底数推广到$n$，可得通用公式：
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
(3) 计算$11^2+12^2+\dots+19^2$时，可转化为两个平方和的差：
原式=$(1^2+2^2+\dots+19^2)-(1^2+2^2+\dots+10^2)$
分别代入平方和公式计算：
$\frac{1}{6}×19×20×39 - \frac{1}{6}×10×11×21$
$= 2470 - 385$
$= 2085$
【答案】
(1)$\frac{1}{6}×4×5×9$；(2)$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$；(3)$2085$
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，整式代入求值
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，需要通过已知等式提炼出通用的平方和计算公式，第三问用到的转化思想能大幅降低计算量，平时练习时要注意观察式子结构，灵活运用规律简化运算。
【难度系数】
0.7
本题是数字规律探究类题目，解题思路如下：
1. 解决第(1)问：观察给出的3个已知等式，总结右边式子的规律：等式右边均为$\frac{1}{6}$乘三个连续变化的数，第一个乘数等于等式左边最后一个平方项的底数，第二个乘数比第一个乘数大1，第三个乘数是第一个乘数的2倍加1，代入底数4即可得出结果。
2. 解决第(2)问：将第(1)问总结的规律推广到一般情况，把底数替换为$n$，即可得到含$n$的通用表达式。
3. 解决第(3)问：如果直接计算$11^2$到$19^2$的和计算量较大，我们可以利用第(2)问得出的平方和公式，先计算1到19的平方和，再减去1到10的平方和，就可以快速得到所求式子的结果，简化计算步骤。
【解析】
(1) 观察已知等式规律：
$1^2=\frac{1}{6}×1×(1+1)×(2×1+1)$
$1^2+2^2=\frac{1}{6}×2×(2+1)×(2×2+1)$
$1^2+2^2+3^2=\frac{1}{6}×3×(3+1)×(2×3+1)$
所以$1^2+2^2+3^2+4^2=\frac{1}{6}×4×(4+1)×(2×4+1)=\frac{1}{6}×4×5×9$
(2) 把底数推广到$n$，可得通用公式：
$1^2+2^2+3^2+\dots+n^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
(3) 计算$11^2+12^2+\dots+19^2$时，可转化为两个平方和的差：
原式=$(1^2+2^2+\dots+19^2)-(1^2+2^2+\dots+10^2)$
分别代入平方和公式计算：
$\frac{1}{6}×19×20×39 - \frac{1}{6}×10×11×21$
$= 2470 - 385$
$= 2085$
【答案】
(1)$\frac{1}{6}×4×5×9$；(2)$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$；(3)$2085$
【知识点】
数字规律探究，有理数混合运算，整式代入求值
【点评】
本题重点考查观察归纳能力，需要通过已知等式提炼出通用的平方和计算公式，第三问用到的转化思想能大幅降低计算量，平时练习时要注意观察式子结构，灵活运用规律简化运算。
【难度系数】
0.7