1. 我国宋朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，如图画出了最上面的四层，图①有1颗弹珠，图②有3颗弹珠，图③有6颗弹珠，图④有10颗弹珠，依次类推，若用$a_n$表示图ⓝ中的弹珠数，其中$n=1,2,3,···$，则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+···+\frac{1}{a_{2025}}$的值为（
A.$\frac{2025}{2026}$
B.$\frac{2025}{1013}$
C.$\frac{2023}{1012}$
D.$\frac{4045}{2026}$
第一行 1
第二行 -2 3 -4
第三行 9 -8 7 -6 5
第四行 -10 11 -12 13 -14 15 -16
第五行 25 -24 23 -22 21 -20 19 -18 17
第六行 -26 27 -28 29 -30 31 -32 33 -34 35 -36
……
B
）A.$\frac{2025}{2026}$
B.$\frac{2025}{1013}$
C.$\frac{2023}{1012}$
D.$\frac{4045}{2026}$
第一行 1
第二行 -2 3 -4
第三行 9 -8 7 -6 5
第四行 -10 11 -12 13 -14 15 -16
第五行 25 -24 23 -22 21 -20 19 -18 17
第六行 -26 27 -28 29 -30 31 -32 33 -34 35 -36
……
答案：1. B 点拨:由题图可知 $a_n=1+2+3+\dots+n=\frac{n(n+1)}{2}$,则$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\dots+\frac{1}{a_{2025}}=\frac{2}{1×2}+\frac{2}{2×3}+\frac{2}{3×4}+\dots+\frac{2}{2025×2026}=2(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})=2(1-\frac{1}{2026})=\frac{2025}{1013}.$
2.如图,将一列数按规律排列,则第n行最中间的数可以表示为
$n^2-n+1$
.(用含n的代数式表示)答案：2. $n^2-n+1$ 点拨:由题图可知,第一行有1个数,第二行有3个数,第三行有5个数,…,第n行有(2n−1)个数.每一行中间的数都是正数,都等于这一行第一个数和最后一个数绝对值和的一半,且奇数行最左边的数是这一行对应行数的平方,偶数行最右边的数等于这一行对应行数的平方的相反数,故第n行最中间的数可以表示为$\frac{n^2+(n-1)^2+1}{2}=n^2-n+1.$
3. 观察算式：$1^2=\frac{1}{6}×1×2×3$；$1^2+2^2=\frac{1}{6}×2×3×5$；$1^2+2^2+3^2=\frac{1}{6}×3×4×7$；…，我们称这样的式子为连等式.
(1)请写出一个式子：$1^2+2^2+3^2+4^2=$
(2)$1^2+2^2+3^2+…+n^2=$
(3)根据你所得的规律计算：$11^2+12^2+13^2+14^2+…+18^2+19^2$.
(1)请写出一个式子：$1^2+2^2+3^2+4^2=$
$\frac{1}{6}×4×5×9$
；(2)$1^2+2^2+3^2+…+n^2=$
$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
；(用含$n$的式子表示)(3)根据你所得的规律计算：$11^2+12^2+13^2+14^2+…+18^2+19^2$.
答案：3. (1)$\frac{1}{6}×4×5×9$
(2)$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
(3)解:原式=$(1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+18^2+19^2)-(1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+9^2+10^2)=\frac{1}{6}×19×20×39-\frac{1}{6}×10×11×21=2470-385=2085.$
(2)$\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
(3)解:原式=$(1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+18^2+19^2)-(1^2+2^2+3^2+4^2+\dots+9^2+10^2)=\frac{1}{6}×19×20×39-\frac{1}{6}×10×11×21=2470-385=2085.$