1. 规定:用$\{m\}$表示大于$m$的最小整数,例如$\{\dfrac{5}{2}\}=3,\{4\}=5,\{-1.5\}=-1$等;用$[m]$表示不大于$m$的最大整数,例如$[\dfrac{7}{2}]=3,[2]=2,[-3.2]=-4$.如果整数$x$满足关系式$3\{x\}+2[x]=23$,那么$x$的值为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1.D 点拨:因为$x$为整数,所以$\{x\}=x+1,[x]=x$,所以原方程可化为$3(x+1)+2x=23$,解得$x=4$.
2.定义一种新运算“⊙”，观察下列各式：
1⊙3=1+4×3=13；3⊙(-1)=3+4×(-1)=-1；(-2)⊙5=-2+4×5=18；
(-5)⊙(-4)=-5+4×(-4)=-21.
(1)请你想一想：$a⊙b=$
(2)若$(-2a)⊙b=4$，请计算$(3a−2b)⊙(−2a+3b)$的值；
(3)若满足等式$(kx+5)⊙(x−1)=4(k$为整数$)$的$x$为正整数，则$k$的值为
1⊙3=1+4×3=13；3⊙(-1)=3+4×(-1)=-1；(-2)⊙5=-2+4×5=18；
(-5)⊙(-4)=-5+4×(-4)=-21.
(1)请你想一想：$a⊙b=$
$a+4b$
；(2)若$(-2a)⊙b=4$，请计算$(3a−2b)⊙(−2a+3b)$的值；
(3)若满足等式$(kx+5)⊙(x−1)=4(k$为整数$)$的$x$为正整数，则$k$的值为
$-3$或$-1$
.答案：2.(1)$a+4b$
(2)解:已知等式利用题中的新定义得$-2a+4b=4$,即$a-2b=-2$,
则原式$=3a-2b+4(-2a+3b)=3a-2b-8a+12b=-5a+10b=-5(a-2b)=-5×(-2)=10$.
(3)$-3$或$-1$ 点拨:根据题中的新定义得$kx+5+4(x-1)=4$,
去括号,得$kx+5+4x-4=4$,解得$x=\dfrac{3}{k+4}$.
由$x$为正整数,得$k+4=1$或$k+4=3$,
解得$k=-3$或$k=-1$.
(2)解:已知等式利用题中的新定义得$-2a+4b=4$,即$a-2b=-2$,
则原式$=3a-2b+4(-2a+3b)=3a-2b-8a+12b=-5a+10b=-5(a-2b)=-5×(-2)=10$.
(3)$-3$或$-1$ 点拨:根据题中的新定义得$kx+5+4(x-1)=4$,
去括号,得$kx+5+4x-4=4$,解得$x=\dfrac{3}{k+4}$.
由$x$为正整数,得$k+4=1$或$k+4=3$,
解得$k=-3$或$k=-1$.
3. 定义:对于一个有理数 $ x $,我们把$[x]$称作 $ x $ 的对称数.
若 $ x ≥ 0 $,则$[x]=x-2$;若 $ x ＜ 0 $,则$[x]=x+2$.例:$[1]=1-2=-1,[-2]=-2+2=0$.
(1)求$[\dfrac{3}{2}],[-1]$的值;
(2)已知有理数 $ a＞0,b＜0 $,且满足$[a]=[b]$,试求代数式$(b-a)^3 -2a +2b$的值;
(3)解方程:$[2x]+[x+1]=1$.
若 $ x ≥ 0 $,则$[x]=x-2$;若 $ x ＜ 0 $,则$[x]=x+2$.例:$[1]=1-2=-1,[-2]=-2+2=0$.
(1)求$[\dfrac{3}{2}],[-1]$的值;
(2)已知有理数 $ a＞0,b＜0 $,且满足$[a]=[b]$,试求代数式$(b-a)^3 -2a +2b$的值;
(3)解方程:$[2x]+[x+1]=1$.
答案：3.解:(1)$[\dfrac{3}{2}]=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2},[-1]=-1+2=1$.
(2)因为$a＞0,b＜0,[a]=[b]$,所以$a-2=b+2$,所以$a-b=4$,故$(b-a)^3-2a+2b=(b-a)^3-2(a-b)=(-4)^3-8=-72$.
(3)当$x≥0$时,方程为$2x-2+x+1-2=1$,解得$x=\dfrac{4}{3}$；
当$-1≤ x＜0$时,方程为$2x+2+x+1-2=1$,解得$x=0$(舍去)；
当$x＜-1$时,方程为$2x+2+x+1+2=1$,解得$x=-\dfrac{4}{3}$.
故方程的解为$x=\pm\dfrac{4}{3}$.
(2)因为$a＞0,b＜0,[a]=[b]$,所以$a-2=b+2$,所以$a-b=4$,故$(b-a)^3-2a+2b=(b-a)^3-2(a-b)=(-4)^3-8=-72$.
(3)当$x≥0$时,方程为$2x-2+x+1-2=1$,解得$x=\dfrac{4}{3}$；
当$-1≤ x＜0$时,方程为$2x+2+x+1-2=1$,解得$x=0$(舍去)；
当$x＜-1$时,方程为$2x+2+x+1+2=1$,解得$x=-\dfrac{4}{3}$.
故方程的解为$x=\pm\dfrac{4}{3}$.