1. 规定:用$\{m\}$表示大于$m$的最小整数,例如$\{\dfrac{5}{2}\}=3,\{4\}=5,\{-1.5\}=-1$等;用$[m]$表示不大于$m$的最大整数,例如$[\dfrac{7}{2}]=3,[2]=2,[-3.2]=-4$.如果整数$x$满足关系式$3\{x\}+2[x]=23$,那么$x$的值为 （
A.1
B.2
C.3
D.4
D
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案：1.D 点拨:因为$x$为整数,所以$\{x\}=x+1,[x]=x$,所以原方程可化为$3(x+1)+2x=23$,解得$x=4$.
解析：
【分析】
这是一道新定义运算题型，解题时首先要准确理解题目给出的两个新符号的含义：$\{m\}$是大于$m$的最小整数，$[m]$是不大于$m$的最大整数。题目明确$x$是整数，我们可以先针对整数的性质推导两个符号对应的代数式：整数$x$的下一个整数就是比它大的最小整数，因此$\{x\}=x+1$；整数$x$本身就是不大于它的最大整数，因此$[x]=x$。再将两个代数式代入题干的关系式，就能得到我们熟悉的一元一次方程，解方程即可求出$x$的值，最后对照选项选择答案。
【解析】
$\because x$为整数
根据$\{m\}$的定义可得：$\{x\}=x+1$
根据$[m]$的定义可得：$[x]=x$
将上述结果代入关系式$3\{x\}+2[x]=23$，得：
$3(x+1)+2x=23$
去括号，得：$3x+3+2x=23$
合并同类项，得：$5x+3=23$
移项计算，得：$5x=20$
系数化为1，得：$x=4$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新定义的阅读理解能力和一元一次方程的应用能力，解题关键是结合$x$为整数的条件，将新运算符号转化为常规的代数式，再解方程求解，整体思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.8
这是一道新定义运算题型，解题时首先要准确理解题目给出的两个新符号的含义：$\{m\}$是大于$m$的最小整数，$[m]$是不大于$m$的最大整数。题目明确$x$是整数，我们可以先针对整数的性质推导两个符号对应的代数式：整数$x$的下一个整数就是比它大的最小整数，因此$\{x\}=x+1$；整数$x$本身就是不大于它的最大整数，因此$[x]=x$。再将两个代数式代入题干的关系式，就能得到我们熟悉的一元一次方程，解方程即可求出$x$的值，最后对照选项选择答案。
【解析】
$\because x$为整数
根据$\{m\}$的定义可得：$\{x\}=x+1$
根据$[m]$的定义可得：$[x]=x$
将上述结果代入关系式$3\{x\}+2[x]=23$，得：
$3(x+1)+2x=23$
去括号，得：$3x+3+2x=23$
合并同类项，得：$5x+3=23$
移项计算，得：$5x=20$
系数化为1，得：$x=4$
【答案】
D
【知识点】
新定义运算，解一元一次方程
【点评】
本题重点考查对新定义的阅读理解能力和一元一次方程的应用能力，解题关键是结合$x$为整数的条件，将新运算符号转化为常规的代数式，再解方程求解，整体思路清晰，难度不高。
【难度系数】
0.8
2.定义一种新运算“⊙”，观察下列各式：
1⊙3=1+4×3=13；3⊙(-1)=3+4×(-1)=-1；(-2)⊙5=-2+4×5=18；
(-5)⊙(-4)=-5+4×(-4)=-21.
(1)请你想一想：$a⊙b=$
(2)若$(-2a)⊙b=4$，请计算$(3a−2b)⊙(−2a+3b)$的值；
(3)若满足等式$(kx+5)⊙(x−1)=4(k$为整数$)$的$x$为正整数，则$k$的值为
1⊙3=1+4×3=13；3⊙(-1)=3+4×(-1)=-1；(-2)⊙5=-2+4×5=18；
(-5)⊙(-4)=-5+4×(-4)=-21.
(1)请你想一想：$a⊙b=$
$a+4b$
；(2)若$(-2a)⊙b=4$，请计算$(3a−2b)⊙(−2a+3b)$的值；
(3)若满足等式$(kx+5)⊙(x−1)=4(k$为整数$)$的$x$为正整数，则$k$的值为
$-3$或$-1$
.答案：2.(1)$a+4b$
(2)解:已知等式利用题中的新定义得$-2a+4b=4$,即$a-2b=-2$,
则原式$=3a-2b+4(-2a+3b)=3a-2b-8a+12b=-5a+10b=-5(a-2b)=-5×(-2)=10$.
(3)$-3$或$-1$ 点拨:根据题中的新定义得$kx+5+4(x-1)=4$,
去括号,得$kx+5+4x-4=4$,解得$x=\dfrac{3}{k+4}$.
由$x$为正整数,得$k+4=1$或$k+4=3$,
解得$k=-3$或$k=-1$.
(2)解:已知等式利用题中的新定义得$-2a+4b=4$,即$a-2b=-2$,
则原式$=3a-2b+4(-2a+3b)=3a-2b-8a+12b=-5a+10b=-5(a-2b)=-5×(-2)=10$.
(3)$-3$或$-1$ 点拨:根据题中的新定义得$kx+5+4(x-1)=4$,
去括号,得$kx+5+4x-4=4$,解得$x=\dfrac{3}{k+4}$.
由$x$为正整数,得$k+4=1$或$k+4=3$,
解得$k=-3$或$k=-1$.
解析：
【分析】
(1) 观察给出的新运算示例，可发现运算规律为：⊙前的数加上4乘⊙后的数就是运算结果，据此直接归纳$a⊙b$的表达式即可；
(2) 先将$(-2a)⊙b=4$按新定义规则转化为整式方程，化简得到$a$与$b$的数量关系，再将待求的$(3a−2b)⊙(−2a+3b)$按新定义展开整理，最后整体代入$a$、$b$的关系即可求出结果；
(3) 先按新定义将等式转化为关于$x$的一元一次方程，用含$k$的代数式表示出$x$，再结合$x$为正整数、$k$为整数的条件，确定$k+4$的正整数值，进而求出$k$的取值。
【解析】
(1) 观察各式：$1⊙3=1+4×3$，$3⊙(-1)=3+4×(-1)$，均为前项加4乘后项，因此$a⊙b=a+4b$；
(2) 根据新定义，$(-2a)⊙b=-2a+4b=4$，两边同时除以$-2$得：$a-2b=-2$。
再计算待求式：
$\begin{aligned}(3a−2b)⊙(−2a+3b)&=3a-2b + 4×(-2a+3b)\\&=3a-2b-8a+12b\\&=-5a+10b\\&=-5(a-2b)\end{aligned}$
将$a-2b=-2$代入，得原式$=-5×(-2)=10$；
(3) 根据新定义将等式展开：
$kx+5 + 4(x-1)=4$
去括号得：$kx+5+4x-4=4$
移项合并同类项得：$(k+4)x=3$
解得$x=\frac{3}{k+4}$（$k+4≠0$）
因为$x$为正整数，$k$为整数，所以$k+4$是3的正因数，即$k+4=1$或$k+4=3$。
当$k+4=1$时，$k=-3$；当$k+4=3$时，$k=-1$。
【答案】
(1) $a+4b$；(2) $10$；(3) $-3$或$-1$
【知识点】
新定义运算，代数式化简求值，一元一次方程的整数解
【点评】
本题是新定义类的典型题型，重点考查对新运算规则的理解能力和知识迁移应用能力，解题核心是将新运算转化为熟悉的四则运算，再结合代数式化简、一元一次方程的相关知识求解，注意第三问求解整数解时不要漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 观察给出的新运算示例，可发现运算规律为：⊙前的数加上4乘⊙后的数就是运算结果，据此直接归纳$a⊙b$的表达式即可；
(2) 先将$(-2a)⊙b=4$按新定义规则转化为整式方程，化简得到$a$与$b$的数量关系，再将待求的$(3a−2b)⊙(−2a+3b)$按新定义展开整理，最后整体代入$a$、$b$的关系即可求出结果；
(3) 先按新定义将等式转化为关于$x$的一元一次方程，用含$k$的代数式表示出$x$，再结合$x$为正整数、$k$为整数的条件，确定$k+4$的正整数值，进而求出$k$的取值。
【解析】
(1) 观察各式：$1⊙3=1+4×3$，$3⊙(-1)=3+4×(-1)$，均为前项加4乘后项，因此$a⊙b=a+4b$；
(2) 根据新定义，$(-2a)⊙b=-2a+4b=4$，两边同时除以$-2$得：$a-2b=-2$。
再计算待求式：
$\begin{aligned}(3a−2b)⊙(−2a+3b)&=3a-2b + 4×(-2a+3b)\\&=3a-2b-8a+12b\\&=-5a+10b\\&=-5(a-2b)\end{aligned}$
将$a-2b=-2$代入，得原式$=-5×(-2)=10$；
(3) 根据新定义将等式展开：
$kx+5 + 4(x-1)=4$
去括号得：$kx+5+4x-4=4$
移项合并同类项得：$(k+4)x=3$
解得$x=\frac{3}{k+4}$（$k+4≠0$）
因为$x$为正整数，$k$为整数，所以$k+4$是3的正因数，即$k+4=1$或$k+4=3$。
当$k+4=1$时，$k=-3$；当$k+4=3$时，$k=-1$。
【答案】
(1) $a+4b$；(2) $10$；(3) $-3$或$-1$
【知识点】
新定义运算，代数式化简求值，一元一次方程的整数解
【点评】
本题是新定义类的典型题型，重点考查对新运算规则的理解能力和知识迁移应用能力，解题核心是将新运算转化为熟悉的四则运算，再结合代数式化简、一元一次方程的相关知识求解，注意第三问求解整数解时不要漏解。
【难度系数】
0.6
3. 定义:对于一个有理数 $ x $,我们把$[x]$称作 $ x $ 的对称数.
若 $ x ≥ 0 $,则$[x]=x-2$;若 $ x ＜ 0 $,则$[x]=x+2$.例:$[1]=1-2=-1,[-2]=-2+2=0$.
(1)求$[\dfrac{3}{2}],[-1]$的值;
(2)已知有理数 $ a＞0,b＜0 $,且满足$[a]=[b]$,试求代数式$(b-a)^3 -2a +2b$的值;
(3)解方程:$[2x]+[x+1]=1$.
若 $ x ≥ 0 $,则$[x]=x-2$;若 $ x ＜ 0 $,则$[x]=x+2$.例:$[1]=1-2=-1,[-2]=-2+2=0$.
(1)求$[\dfrac{3}{2}],[-1]$的值;
(2)已知有理数 $ a＞0,b＜0 $,且满足$[a]=[b]$,试求代数式$(b-a)^3 -2a +2b$的值;
(3)解方程:$[2x]+[x+1]=1$.
答案：3.解:(1)$[\dfrac{3}{2}]=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2},[-1]=-1+2=1$.
(2)因为$a＞0,b＜0,[a]=[b]$,所以$a-2=b+2$,所以$a-b=4$,故$(b-a)^3-2a+2b=(b-a)^3-2(a-b)=(-4)^3-8=-72$.
(3)当$x≥0$时,方程为$2x-2+x+1-2=1$,解得$x=\dfrac{4}{3}$；
当$-1≤ x＜0$时,方程为$2x+2+x+1-2=1$,解得$x=0$(舍去)；
当$x＜-1$时,方程为$2x+2+x+1+2=1$,解得$x=-\dfrac{4}{3}$.
故方程的解为$x=\pm\dfrac{4}{3}$.
(2)因为$a＞0,b＜0,[a]=[b]$,所以$a-2=b+2$,所以$a-b=4$,故$(b-a)^3-2a+2b=(b-a)^3-2(a-b)=(-4)^3-8=-72$.
(3)当$x≥0$时,方程为$2x-2+x+1-2=1$,解得$x=\dfrac{4}{3}$；
当$-1≤ x＜0$时,方程为$2x+2+x+1-2=1$,解得$x=0$(舍去)；
当$x＜-1$时,方程为$2x+2+x+1+2=1$,解得$x=-\dfrac{4}{3}$.
故方程的解为$x=\pm\dfrac{4}{3}$.
解析：
【分析】
这是一道新定义运算题型，解题核心是先准确理解“对称数”的计算规则：非负有理数的对称数是自身减2，负有理数的对称数是自身加2。(1)小问直接判断所求数的正负，对应代入规则计算即可；(2)小问先根据a、b的正负分别写出[a]、[b]的表达式，利用两者相等推导a与b的数量关系，再将代数式变形为含该数量关系的形式，整体代入求值即可；(3)小问需找到2x和x+1正负的分界点x=0和x=-1，分三种情况代入对称数规则将方程转化为普通一元一次方程求解，最后检验解是否符合对应区间，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 因为$\dfrac{3}{2}＞0$，根据对称数规则可得：$[\dfrac{3}{2}]=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}$；
因为$-1＜0$，所以$[-1]=-1+2=1$。
(2) 已知$a＞0$，$b＜0$，因此$[a]=a-2$，$[b]=b+2$，
由$[a]=[b]$可得：$a-2=b+2$，整理得$a-b=4$。
将代数式变形：$(b-a)^3 -2a +2b=(b-a)^3 -2(a-b)$，
把$a-b=4$、$b-a=-4$代入得：
原式$=(-4)^3 -2×4=-64-8=-72$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$x≥0$时，$2x≥0$，$x+1＞0$，原方程化为：$2x-2 + (x+1)-2=1$，
整理得$3x=4$，解得$x=\dfrac{4}{3}$，符合$x≥0$的条件，保留；
② 当$-1≤ x＜0$时，$2x＜0$，$x+1≥0$，原方程化为：$2x+2 + (x+1)-2=1$，
整理得$3x=0$，解得$x=0$，不符合$-1≤ x＜0$的条件，舍去；
③ 当$x＜-1$时，$2x＜0$，$x+1＜0$，原方程化为：$2x+2 + (x+1)+2=1$，
整理得$3x=-4$，解得$x=-\dfrac{4}{3}$，符合$x＜-1$的条件，保留。
【答案】
(1) $[\dfrac{3}{2}]=-\dfrac{1}{2}$，$[-1]=1$；
(2) $-72$；
(3) $x=\pm\dfrac{4}{3}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程解法，代数式求值
【点评】
本题为新定义类综合题，既考察对新运算规则的理解应用能力，也渗透了分类讨论、整体代入的数学思想，解题时需注意分情况讨论时边界值的划分，求出解后要验证是否符合对应取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6
这是一道新定义运算题型，解题核心是先准确理解“对称数”的计算规则：非负有理数的对称数是自身减2，负有理数的对称数是自身加2。(1)小问直接判断所求数的正负，对应代入规则计算即可；(2)小问先根据a、b的正负分别写出[a]、[b]的表达式，利用两者相等推导a与b的数量关系，再将代数式变形为含该数量关系的形式，整体代入求值即可；(3)小问需找到2x和x+1正负的分界点x=0和x=-1，分三种情况代入对称数规则将方程转化为普通一元一次方程求解，最后检验解是否符合对应区间，舍去不符合的解。
【解析】
(1) 因为$\dfrac{3}{2}＞0$，根据对称数规则可得：$[\dfrac{3}{2}]=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}$；
因为$-1＜0$，所以$[-1]=-1+2=1$。
(2) 已知$a＞0$，$b＜0$，因此$[a]=a-2$，$[b]=b+2$，
由$[a]=[b]$可得：$a-2=b+2$，整理得$a-b=4$。
将代数式变形：$(b-a)^3 -2a +2b=(b-a)^3 -2(a-b)$，
把$a-b=4$、$b-a=-4$代入得：
原式$=(-4)^3 -2×4=-64-8=-72$。
(3) 分三种情况讨论：
① 当$x≥0$时，$2x≥0$，$x+1＞0$，原方程化为：$2x-2 + (x+1)-2=1$，
整理得$3x=4$，解得$x=\dfrac{4}{3}$，符合$x≥0$的条件，保留；
② 当$-1≤ x＜0$时，$2x＜0$，$x+1≥0$，原方程化为：$2x+2 + (x+1)-2=1$，
整理得$3x=0$，解得$x=0$，不符合$-1≤ x＜0$的条件，舍去；
③ 当$x＜-1$时，$2x＜0$，$x+1＜0$，原方程化为：$2x+2 + (x+1)+2=1$，
整理得$3x=-4$，解得$x=-\dfrac{4}{3}$，符合$x＜-1$的条件，保留。
【答案】
(1) $[\dfrac{3}{2}]=-\dfrac{1}{2}$，$[-1]=1$；
(2) $-72$；
(3) $x=\pm\dfrac{4}{3}$
【知识点】
新定义运算，一元一次方程解法，代数式求值
【点评】
本题为新定义类综合题，既考察对新运算规则的理解应用能力，也渗透了分类讨论、整体代入的数学思想，解题时需注意分情况讨论时边界值的划分，求出解后要验证是否符合对应取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.6