1. 如图，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知$PB=2PA$，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40 cm，则绳子的原长为 （
A.30 cm
B.60 cm
C.120 cm
D.60 cm或120 cm
D
）A.30 cm
B.60 cm
C.120 cm
D.60 cm或120 cm
答案：1.D 点拨:设$AP=x\ \mathrm{cm}$,则$BP=2x\ \mathrm{cm}$,当含有线段$AP$的绳子最长时,$x+x=40$,解得$x=20$,则绳子的原长为$2(x+2x)=6x=120(\mathrm{cm})$;当含有线段$BP$的绳子最长时,$2x+2x=40$,解得$x=10$,则绳子的原长为$2(x+2x)=6x=60(\mathrm{cm})$,故绳子的原长为60 cm或120 cm.
解析：
【分析】
本题是绳子对折剪断的线段计算问题，需要结合分类讨论思想求解：首先明确绳子对折成线段AB时，折点可能为A也可能为B，两种情况对应剪断后最长段的来源不同。我们可以先设AP的长度为未知数，结合PB=2PA表示出PB的长度，再分两种情况根据最长段为40cm列方程求解，最后计算绳子原长即可。
【解析】
设$AP=x\ \mathrm{cm}$，由$PB=2PA$可得$PB=2x\ \mathrm{cm}$，因此对折后线段$AB$的长度为$AP+PB=3x\ \mathrm{cm}$，绳子原长为$2AB=6x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当含有线段$AP$的绳子最长时：此时折点为A，剪断后对折的AP段展开长度为$x+x=2x$，由最长段为40cm可得方程：
$x+x=40$
解得$x=20$
则绳子原长为$6x=6×20=120\ \mathrm{cm}$
2. 当含有线段$BP$的绳子最长时：此时折点为B，剪断后对折的BP段展开长度为$2x+2x=4x$，由最长段为40cm可得方程：
$2x+2x=40$
解得$x=10$
则绳子原长为$6x=6×10=60\ \mathrm{cm}$
综上，绳子的原长为60cm或120cm。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用；分类讨论思想；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型易错题，解题的关键是考虑到对折的两种可能性，避免因漏解导致错误，同时需要掌握用方程思想解决线段长度计算问题的方法。
【难度系数】
0.6
本题是绳子对折剪断的线段计算问题，需要结合分类讨论思想求解：首先明确绳子对折成线段AB时，折点可能为A也可能为B，两种情况对应剪断后最长段的来源不同。我们可以先设AP的长度为未知数，结合PB=2PA表示出PB的长度，再分两种情况根据最长段为40cm列方程求解，最后计算绳子原长即可。
【解析】
设$AP=x\ \mathrm{cm}$，由$PB=2PA$可得$PB=2x\ \mathrm{cm}$，因此对折后线段$AB$的长度为$AP+PB=3x\ \mathrm{cm}$，绳子原长为$2AB=6x\ \mathrm{cm}$，分两种情况讨论：
1. 当含有线段$AP$的绳子最长时：此时折点为A，剪断后对折的AP段展开长度为$x+x=2x$，由最长段为40cm可得方程：
$x+x=40$
解得$x=20$
则绳子原长为$6x=6×20=120\ \mathrm{cm}$
2. 当含有线段$BP$的绳子最长时：此时折点为B，剪断后对折的BP段展开长度为$2x+2x=4x$，由最长段为40cm可得方程：
$2x+2x=40$
解得$x=10$
则绳子原长为$6x=6×10=60\ \mathrm{cm}$
综上，绳子的原长为60cm或120cm。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程的应用；分类讨论思想；线段的和差计算
【点评】
本题是线段计算的典型易错题，解题的关键是考虑到对折的两种可能性，避免因漏解导致错误，同时需要掌握用方程思想解决线段长度计算问题的方法。
【难度系数】
0.6
2.如图,在长方形ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→B→C运动,最终到达点C,在点P运动了8 s后,点Q开始以2 cm/s的速度从D运动到点A,在运动过程中,设点P运动的时间为t s,当△APQ的面积为4 cm²时,t的值为
$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$
.答案：
2.$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$ 点拨:因为在长方形ABCD中,$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$,$∠ BAD=90°$,所以分两种情况讨论如下：
如答图①,当点P在AB上时,点Q在点D处,由题意,得$\frac{1}{2}×6t=4$,解得$t=\frac{4}{3}$;如答图②,当点P在BC上时,由题意,得$\frac{1}{2}× AQ× AB=4$,即$\frac{1}{2}× AQ×8=4$,解得$AQ=1\ \mathrm{cm}$,则$DQ=5\ \mathrm{cm}$,所以$2(t-8)=5$,解得$t=\frac{21}{2}$.综上,当$△ APQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$时,$t$的值为$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$.
2.$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$ 点拨:因为在长方形ABCD中,$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$,$∠ BAD=90°$,所以分两种情况讨论如下：
如答图①,当点P在AB上时,点Q在点D处,由题意,得$\frac{1}{2}×6t=4$,解得$t=\frac{4}{3}$;如答图②,当点P在BC上时,由题意,得$\frac{1}{2}× AQ× AB=4$,即$\frac{1}{2}× AQ×8=4$,解得$AQ=1\ \mathrm{cm}$,则$DQ=5\ \mathrm{cm}$,所以$2(t-8)=5$,解得$t=\frac{21}{2}$.综上,当$△ APQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$时,$t$的值为$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$.
解析：
【分析】
本题属于动点类动态几何问题，需结合动点的运动阶段分类讨论求解：①首先判断点P在AB段运动时（运动时间t≤8s），点Q还未开始运动，始终在点D处，此时△APQ的底为AP，高为长方形的边AD，可直接结合三角形面积公式列一元一次方程求解；②当点P运动到BC段时（运动时间t＞8s），点Q已经从D出发向A运动，此时△APQ的底为AQ，高为长方形的边AB，先根据面积求出AQ的长度，再结合点Q的运动速度和运动时间列方程求解，最后验证两个解是否对应各自的运动区间即可。
【解析】
解：在长方形ABCD中，$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$∠ BAD=90°$，分两种情况讨论：
1. 当点P在AB边上运动（$0≤ t≤8$）时，点Q还未开始运动，停在点D处：
此时$AP=t\ \mathrm{cm}$，$△ APQ$的高为$AD=6\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}× AP× AD=4$
代入数值得$\frac{1}{2}× t×6=4$，解得$t=\frac{4}{3}$，符合$0≤ t≤8$的范围。
2. 当点P在BC边上运动（$8＜ t≤14$）时，点Q已经开始运动，Q的运动时长为$(t-8)\ \mathrm{s}$：
此时$△ APQ$的高为$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}× AQ× AB=4$
代入$AB=8$得$\frac{1}{2}× AQ×8=4$，解得$AQ=1\ \mathrm{cm}$。
因此$DQ=AD-AQ=6-1=5\ \mathrm{cm}$，DQ为Q运动的路程，结合Q的速度列方程：
$2(t-8)=5$
解得$t=\frac{21}{2}$，符合$8＜t≤14$的范围。
【答案】
$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$
【知识点】
一元一次方程应用、动点问题、三角形面积计算
【点评】
本题考查动态几何中动点问题的求解，核心解题思路是按动点的不同位置分类讨论，结合几何图形的面积公式建立方程求解，同时要注意验证所求的解是否符合对应阶段的运动时间范围，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
本题属于动点类动态几何问题，需结合动点的运动阶段分类讨论求解：①首先判断点P在AB段运动时（运动时间t≤8s），点Q还未开始运动，始终在点D处，此时△APQ的底为AP，高为长方形的边AD，可直接结合三角形面积公式列一元一次方程求解；②当点P运动到BC段时（运动时间t＞8s），点Q已经从D出发向A运动，此时△APQ的底为AQ，高为长方形的边AB，先根据面积求出AQ的长度，再结合点Q的运动速度和运动时间列方程求解，最后验证两个解是否对应各自的运动区间即可。
【解析】
解：在长方形ABCD中，$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$，$AB=8\ \mathrm{cm}$，$∠ BAD=90°$，分两种情况讨论：
1. 当点P在AB边上运动（$0≤ t≤8$）时，点Q还未开始运动，停在点D处：
此时$AP=t\ \mathrm{cm}$，$△ APQ$的高为$AD=6\ \mathrm{cm}$，根据三角形面积公式列方程：
$\frac{1}{2}× AP× AD=4$
代入数值得$\frac{1}{2}× t×6=4$，解得$t=\frac{4}{3}$，符合$0≤ t≤8$的范围。
2. 当点P在BC边上运动（$8＜ t≤14$）时，点Q已经开始运动，Q的运动时长为$(t-8)\ \mathrm{s}$：
此时$△ APQ$的高为$AB=8\ \mathrm{cm}$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}× AQ× AB=4$
代入$AB=8$得$\frac{1}{2}× AQ×8=4$，解得$AQ=1\ \mathrm{cm}$。
因此$DQ=AD-AQ=6-1=5\ \mathrm{cm}$，DQ为Q运动的路程，结合Q的速度列方程：
$2(t-8)=5$
解得$t=\frac{21}{2}$，符合$8＜t≤14$的范围。
【答案】
$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$
【知识点】
一元一次方程应用、动点问题、三角形面积计算
【点评】
本题考查动态几何中动点问题的求解，核心解题思路是按动点的不同位置分类讨论，结合几何图形的面积公式建立方程求解，同时要注意验证所求的解是否符合对应阶段的运动时间范围，避免出现不符合实际的增解。
【难度系数】
0.6
3. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,动点 $P$ 沿 $AB$ 边从点 $A$ 开始,向点 $B$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动;同时,动点 $Q$ 沿 $DA$ 边从点 $D$ 开始,向点 $A$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动,设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$.
(1)当 $t$ 为何值时,$AQ=AP$?
(2)当 $t$ 为何值时,$AQ+AP$ 等于长方形周长的$\frac{1}{4}$?
(3)如果点 $P$ 到达点 $B$ 后沿 $BC$ 方向继续运动,点 $Q$ 到达点 $A$ 后沿 $AB$ 方向继续运动,当点 $P$ 到达点 $C$ 时,求点 $Q$ 的位置.
(1)当 $t$ 为何值时,$AQ=AP$?
(2)当 $t$ 为何值时,$AQ+AP$ 等于长方形周长的$\frac{1}{4}$?
(3)如果点 $P$ 到达点 $B$ 后沿 $BC$ 方向继续运动,点 $Q$ 到达点 $A$ 后沿 $AB$ 方向继续运动,当点 $P$ 到达点 $C$ 时,求点 $Q$ 的位置.
答案：3.解:(1)由题意,得$2t=6-t$,解得$t=2$.
所以当$t=2$时,$AQ=AP$.
(2)由题意,得$2t+6-t=\frac{1}{4}×(12+6)×2$,解得$t=3$.
所以当$t=3$时,$AQ+AP$等于长方形周长的$\frac{1}{4}$.
(3)当点P到达点C时,共运动$(12+6)÷2=9(\mathrm{s})$,此时点Q在线段AB上,且$AQ=1×9-6=3(\mathrm{cm})$.
所以当$t=2$时,$AQ=AP$.
(2)由题意,得$2t+6-t=\frac{1}{4}×(12+6)×2$,解得$t=3$.
所以当$t=3$时,$AQ+AP$等于长方形周长的$\frac{1}{4}$.
(3)当点P到达点C时,共运动$(12+6)÷2=9(\mathrm{s})$,此时点Q在线段AB上,且$AQ=1×9-6=3(\mathrm{cm})$.
解析：
【分析】
解题时先结合动点的运动速度、时间，用含t的代数式表示出对应线段的长度，再根据题干给出的等量关系列方程求解即可：
(1) 先表示AQ、AP的长度：Q从D向A运动，速度1cm/s，运动t s后DQ=t cm，已知DA=BC=6cm，因此AQ=(6-t)cm；P从A向B运动，速度2cm/s，运动t s后AP=2t cm，根据AQ=AP列方程求解即可。
(2) 先计算长方形周长的$\frac{1}{4}$，再根据AQ+AP等于该值列方程求解。
(3) 先计算点P从A运动到C的总时间，再根据总时间计算点Q的总运动路程，结合Q的运动路径判断其位置即可。
【解析】
(1) 由题意得：$AQ=6-t$，$AP=2t$，
若$AQ=AP$，可列方程：
$2t=6-t$
解得：$t=2$。
(2) 长方形ABCD的周长为$2×(12+6)=36\ \mathrm{cm}$，其$\frac{1}{4}$为$36×\frac{1}{4}=9\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$2t+(6-t)=9$
解得：$t=3$。
(3) 点P从A到C的总路程为$12+6=18\ \mathrm{cm}$，总运动时间为$18÷2=9\ \mathrm{s}$。
点Q运动9s的总路程为$1×9=9\ \mathrm{cm}$，Q从D到A的路程为6cm，因此Q到达A后沿AB运动的路程为$9-6=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=2}$；
(2) $\boldsymbol{t=3}$；
(3) 点Q在线段AB上，距离A点3cm处。
【知识点】
一元一次方程的应用、动点问题、长方形周长计算
【点评】
本题是动态几何类的常规应用题，核心是将动态问题转化为静态数量关系，用含时间t的代数式表示相关线段长度，再结合等量关系列方程求解；第三问需要注意动点运动方向改变后，要分阶段判断位置，避免忽略运动路径出错。
【难度系数】
0.7
解题时先结合动点的运动速度、时间，用含t的代数式表示出对应线段的长度，再根据题干给出的等量关系列方程求解即可：
(1) 先表示AQ、AP的长度：Q从D向A运动，速度1cm/s，运动t s后DQ=t cm，已知DA=BC=6cm，因此AQ=(6-t)cm；P从A向B运动，速度2cm/s，运动t s后AP=2t cm，根据AQ=AP列方程求解即可。
(2) 先计算长方形周长的$\frac{1}{4}$，再根据AQ+AP等于该值列方程求解。
(3) 先计算点P从A运动到C的总时间，再根据总时间计算点Q的总运动路程，结合Q的运动路径判断其位置即可。
【解析】
(1) 由题意得：$AQ=6-t$，$AP=2t$，
若$AQ=AP$，可列方程：
$2t=6-t$
解得：$t=2$。
(2) 长方形ABCD的周长为$2×(12+6)=36\ \mathrm{cm}$，其$\frac{1}{4}$为$36×\frac{1}{4}=9\ \mathrm{cm}$。
根据题意列方程：
$2t+(6-t)=9$
解得：$t=3$。
(3) 点P从A到C的总路程为$12+6=18\ \mathrm{cm}$，总运动时间为$18÷2=9\ \mathrm{s}$。
点Q运动9s的总路程为$1×9=9\ \mathrm{cm}$，Q从D到A的路程为6cm，因此Q到达A后沿AB运动的路程为$9-6=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=2}$；
(2) $\boldsymbol{t=3}$；
(3) 点Q在线段AB上，距离A点3cm处。
【知识点】
一元一次方程的应用、动点问题、长方形周长计算
【点评】
本题是动态几何类的常规应用题，核心是将动态问题转化为静态数量关系，用含时间t的代数式表示相关线段长度，再结合等量关系列方程求解；第三问需要注意动点运动方向改变后，要分阶段判断位置，避免忽略运动路径出错。
【难度系数】
0.7