1. 如图，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知$PB=2PA$，若剪断后的各段绳子中最长的一段为40 cm，则绳子的原长为 （
A.30 cm
B.60 cm
C.120 cm
D.60 cm或120 cm
D
）A.30 cm
B.60 cm
C.120 cm
D.60 cm或120 cm
答案：1.D 点拨:设$AP=x\ \mathrm{cm}$,则$BP=2x\ \mathrm{cm}$,当含有线段$AP$的绳子最长时,$x+x=40$,解得$x=20$,则绳子的原长为$2(x+2x)=6x=120(\mathrm{cm})$;当含有线段$BP$的绳子最长时,$2x+2x=40$,解得$x=10$,则绳子的原长为$2(x+2x)=6x=60(\mathrm{cm})$,故绳子的原长为60 cm或120 cm.
2.如图,在长方形ABCD中,AB=8 cm,BC=6 cm,点P从点A出发,以1 cm/s的速度沿A→B→C运动,最终到达点C,在点P运动了8 s后,点Q开始以2 cm/s的速度从D运动到点A,在运动过程中,设点P运动的时间为t s,当△APQ的面积为4 cm²时,t的值为
$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$
.答案：
2.$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$ 点拨:因为在长方形ABCD中,$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$,$∠ BAD=90°$,所以分两种情况讨论如下：
如答图①,当点P在AB上时,点Q在点D处,由题意,得$\frac{1}{2}×6t=4$,解得$t=\frac{4}{3}$;如答图②,当点P在BC上时,由题意,得$\frac{1}{2}× AQ× AB=4$,即$\frac{1}{2}× AQ×8=4$,解得$AQ=1\ \mathrm{cm}$,则$DQ=5\ \mathrm{cm}$,所以$2(t-8)=5$,解得$t=\frac{21}{2}$.综上,当$△ APQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$时,$t$的值为$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$.
2.$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$ 点拨:因为在长方形ABCD中,$AD=BC=6\ \mathrm{cm}$,$∠ BAD=90°$,所以分两种情况讨论如下：
如答图①,当点P在AB上时,点Q在点D处,由题意,得$\frac{1}{2}×6t=4$,解得$t=\frac{4}{3}$;如答图②,当点P在BC上时,由题意,得$\frac{1}{2}× AQ× AB=4$,即$\frac{1}{2}× AQ×8=4$,解得$AQ=1\ \mathrm{cm}$,则$DQ=5\ \mathrm{cm}$,所以$2(t-8)=5$,解得$t=\frac{21}{2}$.综上,当$△ APQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$时,$t$的值为$\frac{4}{3}$或$\frac{21}{2}$.
3. 如图,在长方形 $ABCD$ 中,$AB=12\ \mathrm{cm}$,$BC=6\ \mathrm{cm}$,动点 $P$ 沿 $AB$ 边从点 $A$ 开始,向点 $B$ 以 $2\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动;同时,动点 $Q$ 沿 $DA$ 边从点 $D$ 开始,向点 $A$ 以 $1\ \mathrm{cm/s}$ 的速度运动,设运动时间为 $t\ \mathrm{s}$.
(1)当 $t$ 为何值时,$AQ=AP$?
(2)当 $t$ 为何值时,$AQ+AP$ 等于长方形周长的$\frac{1}{4}$?
(3)如果点 $P$ 到达点 $B$ 后沿 $BC$ 方向继续运动,点 $Q$ 到达点 $A$ 后沿 $AB$ 方向继续运动,当点 $P$ 到达点 $C$ 时,求点 $Q$ 的位置.
(1)当 $t$ 为何值时,$AQ=AP$?
(2)当 $t$ 为何值时,$AQ+AP$ 等于长方形周长的$\frac{1}{4}$?
(3)如果点 $P$ 到达点 $B$ 后沿 $BC$ 方向继续运动,点 $Q$ 到达点 $A$ 后沿 $AB$ 方向继续运动,当点 $P$ 到达点 $C$ 时,求点 $Q$ 的位置.
答案：3.解:(1)由题意,得$2t=6-t$,解得$t=2$.
所以当$t=2$时,$AQ=AP$.
(2)由题意,得$2t+6-t=\frac{1}{4}×(12+6)×2$,解得$t=3$.
所以当$t=3$时,$AQ+AP$等于长方形周长的$\frac{1}{4}$.
(3)当点P到达点C时,共运动$(12+6)÷2=9(\mathrm{s})$,此时点Q在线段AB上,且$AQ=1×9-6=3(\mathrm{cm})$.
所以当$t=2$时,$AQ=AP$.
(2)由题意,得$2t+6-t=\frac{1}{4}×(12+6)×2$,解得$t=3$.
所以当$t=3$时,$AQ+AP$等于长方形周长的$\frac{1}{4}$.
(3)当点P到达点C时,共运动$(12+6)÷2=9(\mathrm{s})$,此时点Q在线段AB上,且$AQ=1×9-6=3(\mathrm{cm})$.