【方法归纳】十八世纪瑞士数学家欧拉发现了简单多面体中顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的一个有趣的关系式：$V+F-E=2$，它被称为欧拉公式.利用此公式可以解决许多与几何体有关的实际问题.
十八世纪瑞士数学家欧拉发现了简单多面体中顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据图中的多面体模型，完成表格：
|多面体|顶点数$(V)$|面数$(F)$|棱数$(E)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|四面体|4|4|
|长方体|8|
|12|
|正八面体|
|正十二面体|20|12|30|
你发现顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的关系式是
(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
(3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，每个顶点处都有3条棱，且每个顶点都是3个面的交点，已知共有棱36条.求该多面体外表面三角形的个数.
十八世纪瑞士数学家欧拉发现了简单多面体中顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式.请你观察如图所示的几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据图中的多面体模型，完成表格：
|多面体|顶点数$(V)$|面数$(F)$|棱数$(E)$|
| ---- | ---- | ---- | ---- |
|四面体|4|4|
6
||长方体|8|
|12||正八面体|
6
|8|12||正十二面体|20|12|30|
你发现顶点数$(V)$、面数$(F)$、棱数$(E)$之间存在的关系式是
$E=V+F-2$
；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是
20
；(3)某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成的，每个顶点处都有3条棱，且每个顶点都是3个面的交点，已知共有棱36条.求该多面体外表面三角形的个数.
答案：(1)6 6 $E=V+F-2$
(2)20 点拨:设该多面体的面数为$x$,则顶点数为$x-8$,根据欧拉公式,得$x+x-8-2=30$,解得$x=20$.
(3)解:因为$E=36=\dfrac{3V}{2}$,所以$V=24$.
又因为$E=V+F-2$,
所以$36=24+F-2$,
所以$F=14$.
设三角形的个数为$y$,则八边形的个数为$14-y$,因为每个三角形有3个顶点,每个八边形有8个顶点,且每个顶点都是3个面的交点,共有24个顶点,
所以$\dfrac{3y+8(14-y)}{3}=24$,解得$y=8$.
所以该多面体外表面三角形有8个.
(2)20 点拨:设该多面体的面数为$x$,则顶点数为$x-8$,根据欧拉公式,得$x+x-8-2=30$,解得$x=20$.
(3)解:因为$E=36=\dfrac{3V}{2}$,所以$V=24$.
又因为$E=V+F-2$,
所以$36=24+F-2$,
所以$F=14$.
设三角形的个数为$y$,则八边形的个数为$14-y$,因为每个三角形有3个顶点,每个八边形有8个顶点,且每个顶点都是3个面的交点,共有24个顶点,
所以$\dfrac{3y+8(14-y)}{3}=24$,解得$y=8$.
所以该多面体外表面三角形有8个.
解析：
【分析】
(1) 首先通过直接计数或根据多面体顶点、棱的共享关系计算表格空缺值，再对比四组多面体的V、F、E数据，归纳出三者的数量关系式；
(2) 设面数为未知数，用含未知数的式子表示顶点数，代入欧拉公式列一元一次方程求解即可；
(3) 先根据“每个顶点处有3条棱、每条棱连接2个顶点”的关系求出顶点数V，再代入欧拉公式求出总面数F，最后根据面的顶点共享特征列方程求解三角形的个数。
【解析】
(1) 四面体有4个顶点，每个顶点连3条棱，每条棱被2个顶点共享，棱数为$\frac{4×3}{2}=6$，第一空填6；长方体共有上下、前后、左右6个面，因此F=6；正八面体通过计数或代入后续公式可得顶点数为6，第二空填6；观察四组数据：$4+4-6=2$，$8+6-12=2$，$6+8-12=2$，$20+12-30=2$，可得关系式$V+F-E=2$（或$E=V+F-2$）。
(2) 设该多面体的面数为$x$，则顶点数为$x-8$，已知棱数$E=30$，代入欧拉公式得：
$x+(x-8)-30=2$
$2x-38=2$
解得$x=20$。
(3) 已知每个顶点处有3条棱，每条棱连接2个顶点，因此总棱数$E=\frac{3V}{2}$，将$E=36$代入得：
$36=\frac{3V}{2}$，解得$V=24$
将$E=36$、$V=24$代入欧拉公式得：
$24+F-36=2$，解得$F=14$
设三角形的个数为$y$，则八边形的个数为$14-y$。每个三角形有3个顶点，每个八边形有8个顶点，每个顶点是3个面的公共顶点，所有面的顶点总计数等于$3V$，可列方程：
$\frac{3y+8(14-y)}{3}=24$
$3y+112-8y=72$
$-5y=-40$
解得$y=8$
【答案】
(1) 6，6，$V+F-E=2$（或$E=V+F-2$）
(2) 20
(3) 8
【知识点】
欧拉公式，一元一次方程的应用，多面体棱面顶点计数
【点评】
本题考查规律探究与方程思想的结合应用，从基础公式验证到实际场景应用，需要注意多面体的棱、顶点存在重复共享的特征，避免计数重复导致列式错误。
【难度系数】
0.6
(1) 首先通过直接计数或根据多面体顶点、棱的共享关系计算表格空缺值，再对比四组多面体的V、F、E数据，归纳出三者的数量关系式；
(2) 设面数为未知数，用含未知数的式子表示顶点数，代入欧拉公式列一元一次方程求解即可；
(3) 先根据“每个顶点处有3条棱、每条棱连接2个顶点”的关系求出顶点数V，再代入欧拉公式求出总面数F，最后根据面的顶点共享特征列方程求解三角形的个数。
【解析】
(1) 四面体有4个顶点，每个顶点连3条棱，每条棱被2个顶点共享，棱数为$\frac{4×3}{2}=6$，第一空填6；长方体共有上下、前后、左右6个面，因此F=6；正八面体通过计数或代入后续公式可得顶点数为6，第二空填6；观察四组数据：$4+4-6=2$，$8+6-12=2$，$6+8-12=2$，$20+12-30=2$，可得关系式$V+F-E=2$（或$E=V+F-2$）。
(2) 设该多面体的面数为$x$，则顶点数为$x-8$，已知棱数$E=30$，代入欧拉公式得：
$x+(x-8)-30=2$
$2x-38=2$
解得$x=20$。
(3) 已知每个顶点处有3条棱，每条棱连接2个顶点，因此总棱数$E=\frac{3V}{2}$，将$E=36$代入得：
$36=\frac{3V}{2}$，解得$V=24$
将$E=36$、$V=24$代入欧拉公式得：
$24+F-36=2$，解得$F=14$
设三角形的个数为$y$，则八边形的个数为$14-y$。每个三角形有3个顶点，每个八边形有8个顶点，每个顶点是3个面的公共顶点，所有面的顶点总计数等于$3V$，可列方程：
$\frac{3y+8(14-y)}{3}=24$
$3y+112-8y=72$
$-5y=-40$
解得$y=8$
【答案】
(1) 6，6，$V+F-E=2$（或$E=V+F-2$）
(2) 20
(3) 8
【知识点】
欧拉公式，一元一次方程的应用，多面体棱面顶点计数
【点评】
本题考查规律探究与方程思想的结合应用，从基础公式验证到实际场景应用，需要注意多面体的棱、顶点存在重复共享的特征，避免计数重复导致列式错误。
【难度系数】
0.6