1. 如图，在长方形纸片$ABCD$中，$M$为$AD$边上的一点，将纸片沿$BM$，$CM$折叠，使点$A$落在点$A_1$处，点$D$落在点$D_1$处。若$∠ BMC=105°$，则$∠ 1$的度数为 （
A.$60°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$30°$
D
）A.$60°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$30°$
答案：
1. D 点拨:如答图
,由折叠的性质得∠2=∠3,∠4=∠5.
因为∠BMC=105°,所以∠2+∠5=180°-∠BMC=75°,所以∠3+∠4=75°,所以∠1=∠BMC-(∠3+∠4)=105°-75°=30°.
1. D 点拨:如答图
,由折叠的性质得∠2=∠3,∠4=∠5.因为∠BMC=105°,所以∠2+∠5=180°-∠BMC=75°,所以∠3+∠4=75°,所以∠1=∠BMC-(∠3+∠4)=105°-75°=30°.
2.如图,射线OA绕点O逆时针旋转一周,满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF=58°.OM,ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线,在旋转过程中,∠MON的最大度数是
119°
.答案：2. 119° 点拨:当∠AOB=180°时,∠MON的度数最大.
因为∠EOF=58°,所以∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=180°-58°=122°.
因为OM,ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线,
所以∠MOE=$\frac{1}{2}$∠AOE,∠FON=$\frac{1}{2}$∠BOF,
所以∠MOE+∠FON=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOF)=$\frac{1}{2}$×122°=61°,所以∠MON=∠EOF+∠MOE+∠FON=58°+61°=119°,即∠MON的最大度数是119°.
因为∠EOF=58°,所以∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=180°-58°=122°.
因为OM,ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线,
所以∠MOE=$\frac{1}{2}$∠AOE,∠FON=$\frac{1}{2}$∠BOF,
所以∠MOE+∠FON=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOF)=$\frac{1}{2}$×122°=61°,所以∠MON=∠EOF+∠MOE+∠FON=58°+61°=119°,即∠MON的最大度数是119°.
3.【定义】若$0°＜∠α＜180°,0°＜∠β＜180°$，且$|∠α-∠β|=45°$，则称$∠α,∠β$互为“半余角”. 如图，$O$为直线$AB$上一点，$∠ AOM=15°,∠ BON=60°$.
(1)图中的“半余角”有哪几对？
(2)若射线$ON$绕点$O$以每秒$10°$的速度顺时针旋转，设旋转时间为$t$秒$(0＜t＜21)$.
①当$t=13.5$时，请判断$∠ BON$与$∠ MON$是否互为“半余角”，并说明理由；
②若射线$OM$同时绕点$O$以每秒$15°$的速度顺时针旋转，当$∠ AON$与$∠ MON$互为“半余角”时，直接写出$t$的值.
(1)图中的“半余角”有哪几对？
(2)若射线$ON$绕点$O$以每秒$10°$的速度顺时针旋转，设旋转时间为$t$秒$(0＜t＜21)$.
①当$t=13.5$时，请判断$∠ BON$与$∠ MON$是否互为“半余角”，并说明理由；
②若射线$OM$同时绕点$O$以每秒$15°$的速度顺时针旋转，当$∠ AON$与$∠ MON$互为“半余角”时，直接写出$t$的值.
答案：3.解:(1)有3对:∠AOM和∠BON,∠MON和∠BON,∠MOB和∠AON.理由如下:
因为∠AOM=15°,∠BON=60°,
所以∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°-15°-60°=105°,
所以|∠AOM-∠BON|=|15°-60°|=45°,
|∠MON-∠BON|=|105°-60°|=45°,
|∠MOB-∠AON|=|105°+60°-15°-105°|=45°.
所以∠AOM和∠BON互为“半余角”,∠MON和∠BON互为“半余角”,∠MOB和∠AON互为“半余角”.
(2)①是,理由:当t=13.5时,∠BON=10°×13.5-60°=75°,所以∠MON=15°+(180°-75°)=120°,
所以∠MON-∠BON=45°,
所以∠MON和∠BON互为“半余角”.
②2或18.
因为∠AOM=15°,∠BON=60°,
所以∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°-15°-60°=105°,
所以|∠AOM-∠BON|=|15°-60°|=45°,
|∠MON-∠BON|=|105°-60°|=45°,
|∠MOB-∠AON|=|105°+60°-15°-105°|=45°.
所以∠AOM和∠BON互为“半余角”,∠MON和∠BON互为“半余角”,∠MOB和∠AON互为“半余角”.
(2)①是,理由:当t=13.5时,∠BON=10°×13.5-60°=75°,所以∠MON=15°+(180°-75°)=120°,
所以∠MON-∠BON=45°,
所以∠MON和∠BON互为“半余角”.
②2或18.