1. 如图，在长方形纸片$ABCD$中，$M$为$AD$边上的一点，将纸片沿$BM$，$CM$折叠，使点$A$落在点$A_1$处，点$D$落在点$D_1$处。若$∠ BMC=105°$，则$∠ 1$的度数为 （
A.$60°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$30°$
D
）A.$60°$
B.$75°$
C.$45°$
D.$30°$
答案：
1. D 点拨:如答图
,由折叠的性质得∠2=∠3,∠4=∠5.
因为∠BMC=105°,所以∠2+∠5=180°-∠BMC=75°,所以∠3+∠4=75°,所以∠1=∠BMC-(∠3+∠4)=105°-75°=30°.
1. D 点拨:如答图
,由折叠的性质得∠2=∠3,∠4=∠5.因为∠BMC=105°,所以∠2+∠5=180°-∠BMC=75°,所以∠3+∠4=75°,所以∠1=∠BMC-(∠3+∠4)=105°-75°=30°.
解析：
【分析】
解决这道题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等。首先观察AD边是一条直线，构成180°的平角，平角由∠2、∠BMC、∠5三部分组成，已知∠BMC=105°，可以先算出∠2+∠5的度数；再根据折叠的性质得到∠2=∠3、∠4=∠5，就能推出∠3+∠4的度数；最后用∠BMC减去∠3+∠4的和，即可求出∠1的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：∠2=∠3，∠4=∠5。
∵ AD为直线，即∠AMB+∠BMC+∠DMC=180°，
∴ ∠2+∠BMC+∠5=180°，
已知∠BMC=105°，代入得：
∠2+∠5=180°-105°=75°，
∴ ∠3+∠4=∠2+∠5=75°，
又
∵ ∠BMC=∠1+∠3+∠4，
∴ ∠1=∠BMC-(∠3+∠4)=105°-75°=30°。
【答案】
D 点拨:如答图,由折叠的性质得∠2=∠3,∠4=∠5.
因为∠BMC=105°,所以∠2+∠5=180°-∠BMC=75°,所以∠3+∠4=75°,所以∠1=∠BMC-(∠3+∠4)=105°-75°=30°.
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，核心考查折叠变换中对应角相等的性质，结合平角的性质即可快速推导求解，解题时要注意找准折叠前后对应的相等角，理清角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等。首先观察AD边是一条直线，构成180°的平角，平角由∠2、∠BMC、∠5三部分组成，已知∠BMC=105°，可以先算出∠2+∠5的度数；再根据折叠的性质得到∠2=∠3、∠4=∠5，就能推出∠3+∠4的度数；最后用∠BMC减去∠3+∠4的和，即可求出∠1的度数。
【解析】
根据折叠的性质可得：∠2=∠3，∠4=∠5。
∵ AD为直线，即∠AMB+∠BMC+∠DMC=180°，
∴ ∠2+∠BMC+∠5=180°，
已知∠BMC=105°，代入得：
∠2+∠5=180°-105°=75°，
∴ ∠3+∠4=∠2+∠5=75°，
又
∵ ∠BMC=∠1+∠3+∠4，
∴ ∠1=∠BMC-(∠3+∠4)=105°-75°=30°。
【答案】
D 点拨:如答图
,由折叠的性质得∠2=∠3,∠4=∠5.因为∠BMC=105°,所以∠2+∠5=180°-∠BMC=75°,所以∠3+∠4=75°,所以∠1=∠BMC-(∠3+∠4)=105°-75°=30°.
【知识点】
折叠的性质，平角的定义，角度计算
【点评】
本题属于角度计算的基础题，核心考查折叠变换中对应角相等的性质，结合平角的性质即可快速推导求解，解题时要注意找准折叠前后对应的相等角，理清角之间的和差关系。
【难度系数】
0.7
2.如图,射线OA绕点O逆时针旋转一周,满足∠EOF始终在∠AOB的内部且∠EOF=58°.OM,ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线,在旋转过程中,∠MON的最大度数是
119°
.答案：2. 119° 点拨:当∠AOB=180°时,∠MON的度数最大.
因为∠EOF=58°,所以∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=180°-58°=122°.
因为OM,ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线,
所以∠MOE=$\frac{1}{2}$∠AOE,∠FON=$\frac{1}{2}$∠BOF,
所以∠MOE+∠FON=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOF)=$\frac{1}{2}$×122°=61°,所以∠MON=∠EOF+∠MOE+∠FON=58°+61°=119°,即∠MON的最大度数是119°.
因为∠EOF=58°,所以∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF=180°-58°=122°.
因为OM,ON分别为∠AOE和∠BOF的平分线,
所以∠MOE=$\frac{1}{2}$∠AOE,∠FON=$\frac{1}{2}$∠BOF,
所以∠MOE+∠FON=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOF)=$\frac{1}{2}$×122°=61°,所以∠MON=∠EOF+∠MOE+∠FON=58°+61°=119°,即∠MON的最大度数是119°.
解析：
【分析】
要计算∠MON的最大度数，首先观察∠MON的组成：∠MON=∠MOE+∠EOF+∠FON，其中∠EOF=58°是固定值，因此要使∠MON最大，需使∠MOE+∠FON最大。已知OM、ON分别是∠AOE、∠BOF的平分线，根据角平分线定义，∠MOE=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠FON=$\frac{1}{2}$∠BOF，因此∠MOE+∠FON=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOF)。又因为∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF，∠EOF固定，所以要使∠AOE+∠BOF最大，需让∠AOB取最大值，由于∠EOF始终在∠AOB内部，∠AOB最大为180°（平角），代入计算即可得到∠MON的最大值。
【解析】
当∠AOB最大为180°时，∠MON的度数最大。
已知∠EOF=58°，则∠AOE+∠BOF=∠AOB - ∠EOF = 180° - 58° = 122°。
∵OM平分∠AOE，ON平分∠BOF，
∴∠MOE=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠FON=$\frac{1}{2}$∠BOF，
∴∠MOE + ∠FON = $\frac{1}{2}$(∠AOE + ∠BOF) = $\frac{1}{2}$×122° = 61°，
∴∠MON = ∠MOE + ∠EOF + ∠FON = 61° + 58° = 119°。
【答案】
119°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；动态角最值
【点评】
本题属于角的动态探究问题，核心是结合角平分线的性质梳理清楚各角之间的和差关系，解题关键是找到使目标角最大的临界条件，掌握角的基本运算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.6
要计算∠MON的最大度数，首先观察∠MON的组成：∠MON=∠MOE+∠EOF+∠FON，其中∠EOF=58°是固定值，因此要使∠MON最大，需使∠MOE+∠FON最大。已知OM、ON分别是∠AOE、∠BOF的平分线，根据角平分线定义，∠MOE=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠FON=$\frac{1}{2}$∠BOF，因此∠MOE+∠FON=$\frac{1}{2}$(∠AOE+∠BOF)。又因为∠AOE+∠BOF=∠AOB-∠EOF，∠EOF固定，所以要使∠AOE+∠BOF最大，需让∠AOB取最大值，由于∠EOF始终在∠AOB内部，∠AOB最大为180°（平角），代入计算即可得到∠MON的最大值。
【解析】
当∠AOB最大为180°时，∠MON的度数最大。
已知∠EOF=58°，则∠AOE+∠BOF=∠AOB - ∠EOF = 180° - 58° = 122°。
∵OM平分∠AOE，ON平分∠BOF，
∴∠MOE=$\frac{1}{2}$∠AOE，∠FON=$\frac{1}{2}$∠BOF，
∴∠MOE + ∠FON = $\frac{1}{2}$(∠AOE + ∠BOF) = $\frac{1}{2}$×122° = 61°，
∴∠MON = ∠MOE + ∠EOF + ∠FON = 61° + 58° = 119°。
【答案】
119°
【知识点】
角平分线的定义；角的和差计算；动态角最值
【点评】
本题属于角的动态探究问题，核心是结合角平分线的性质梳理清楚各角之间的和差关系，解题关键是找到使目标角最大的临界条件，掌握角的基本运算方法即可快速求解。
【难度系数】
0.6
3.【定义】若$0°＜∠α＜180°,0°＜∠β＜180°$，且$|∠α-∠β|=45°$，则称$∠α,∠β$互为“半余角”. 如图，$O$为直线$AB$上一点，$∠ AOM=15°,∠ BON=60°$.
(1)图中的“半余角”有哪几对？
(2)若射线$ON$绕点$O$以每秒$10°$的速度顺时针旋转，设旋转时间为$t$秒$(0＜t＜21)$.
①当$t=13.5$时，请判断$∠ BON$与$∠ MON$是否互为“半余角”，并说明理由；
②若射线$OM$同时绕点$O$以每秒$15°$的速度顺时针旋转，当$∠ AON$与$∠ MON$互为“半余角”时，直接写出$t$的值.
(1)图中的“半余角”有哪几对？
(2)若射线$ON$绕点$O$以每秒$10°$的速度顺时针旋转，设旋转时间为$t$秒$(0＜t＜21)$.
①当$t=13.5$时，请判断$∠ BON$与$∠ MON$是否互为“半余角”，并说明理由；
②若射线$OM$同时绕点$O$以每秒$15°$的速度顺时针旋转，当$∠ AON$与$∠ MON$互为“半余角”时，直接写出$t$的值.
答案：3.解:(1)有3对:∠AOM和∠BON,∠MON和∠BON,∠MOB和∠AON.理由如下:
因为∠AOM=15°,∠BON=60°,
所以∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°-15°-60°=105°,
所以|∠AOM-∠BON|=|15°-60°|=45°,
|∠MON-∠BON|=|105°-60°|=45°,
|∠MOB-∠AON|=|105°+60°-15°-105°|=45°.
所以∠AOM和∠BON互为“半余角”,∠MON和∠BON互为“半余角”,∠MOB和∠AON互为“半余角”.
(2)①是,理由:当t=13.5时,∠BON=10°×13.5-60°=75°,所以∠MON=15°+(180°-75°)=120°,
所以∠MON-∠BON=45°,
所以∠MON和∠BON互为“半余角”.
②2或18.
因为∠AOM=15°,∠BON=60°,
所以∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°-15°-60°=105°,
所以|∠AOM-∠BON|=|15°-60°|=45°,
|∠MON-∠BON|=|105°-60°|=45°,
|∠MOB-∠AON|=|105°+60°-15°-105°|=45°.
所以∠AOM和∠BON互为“半余角”,∠MON和∠BON互为“半余角”,∠MOB和∠AON互为“半余角”.
(2)①是,理由:当t=13.5时,∠BON=10°×13.5-60°=75°,所以∠MON=15°+(180°-75°)=120°,
所以∠MON-∠BON=45°,
所以∠MON和∠BON互为“半余角”.
②2或18.
解析：
【分析】
本题是结合“半余角”新定义的角的计算类问题，解题思路可分三步梳理：
1. 解决第(1)问时，先利用平角为180°的性质，算出图中所有已知角之外的角的度数，再逐一核对每两个角的差的绝对值是否为45°，即可找出所有“半余角”对。
2. 解决第(2)问①时，先根据旋转速度和时间算出射线ON旋转的总角度，求出此时∠BON的度数，再计算对应的∠MON的度数，验证二者差的绝对值是否符合“半余角”的定义即可。
3. 解决第(2)问②时，先用含t的代数式分别表示出旋转t秒后∠AON和∠MON的度数，再根据“半余角”的定义列绝对值方程，结合t的取值范围0＜t＜21求解即可。
【解析】
(1) 已知O为直线AB上一点，故∠AOB=180°。
由∠AOM=15°，∠BON=60°，可得：
∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°-15°-60°=105°，
∠MOB=180°-∠AOM=165°，∠AON=180°-∠BON=120°。
逐一验证：
|∠AOM-∠BON|=|15°-60°|=45°，符合定义；
|∠MON-∠BON|=|105°-60°|=45°，符合定义；
|∠MOB-∠AON|=|165°-120°|=45°，符合定义。
因此共有3对“半余角”。
(2) ①当t=13.5时，射线ON顺时针旋转的角度为10°×13.5=135°，
此时∠BON=135°-60°=75°，
∠MON=15°+(180°-75°)=120°，
则|∠MON-∠BON|=|120°-75°|=45°，满足“半余角”的定义，故二者互为“半余角”。
②根据运动规则列绝对值方程，结合0＜t＜21的范围求解，最终得符合要求的解。
【答案】
(1) 3对，分别为∠AOM和∠BON，∠MON和∠BON，∠MOB和∠AON；
(2) ①是，理由见解析；②t的值为$\boxed{2}$或$\boxed{18}$
【知识点】
新定义理解，角的和差计算，动态角求解
【点评】
本题以新定义为背景考查角的相关计算，解题核心是准确理解“半余角”的定义，处理动态角问题时要学会用参数表示运动后角的度数，解绝对值方程时要注意分类讨论，同时验证解是否符合题目给出的取值范围。
【难度系数】
0.5
本题是结合“半余角”新定义的角的计算类问题，解题思路可分三步梳理：
1. 解决第(1)问时，先利用平角为180°的性质，算出图中所有已知角之外的角的度数，再逐一核对每两个角的差的绝对值是否为45°，即可找出所有“半余角”对。
2. 解决第(2)问①时，先根据旋转速度和时间算出射线ON旋转的总角度，求出此时∠BON的度数，再计算对应的∠MON的度数，验证二者差的绝对值是否符合“半余角”的定义即可。
3. 解决第(2)问②时，先用含t的代数式分别表示出旋转t秒后∠AON和∠MON的度数，再根据“半余角”的定义列绝对值方程，结合t的取值范围0＜t＜21求解即可。
【解析】
(1) 已知O为直线AB上一点，故∠AOB=180°。
由∠AOM=15°，∠BON=60°，可得：
∠MON=180°-∠AOM-∠BON=180°-15°-60°=105°，
∠MOB=180°-∠AOM=165°，∠AON=180°-∠BON=120°。
逐一验证：
|∠AOM-∠BON|=|15°-60°|=45°，符合定义；
|∠MON-∠BON|=|105°-60°|=45°，符合定义；
|∠MOB-∠AON|=|165°-120°|=45°，符合定义。
因此共有3对“半余角”。
(2) ①当t=13.5时，射线ON顺时针旋转的角度为10°×13.5=135°，
此时∠BON=135°-60°=75°，
∠MON=15°+(180°-75°)=120°，
则|∠MON-∠BON|=|120°-75°|=45°，满足“半余角”的定义，故二者互为“半余角”。
②根据运动规则列绝对值方程，结合0＜t＜21的范围求解，最终得符合要求的解。
【答案】
(1) 3对，分别为∠AOM和∠BON，∠MON和∠BON，∠MOB和∠AON；
(2) ①是，理由见解析；②t的值为$\boxed{2}$或$\boxed{18}$
【知识点】
新定义理解，角的和差计算，动态角求解
【点评】
本题以新定义为背景考查角的相关计算，解题核心是准确理解“半余角”的定义，处理动态角问题时要学会用参数表示运动后角的度数，解绝对值方程时要注意分类讨论，同时验证解是否符合题目给出的取值范围。
【难度系数】
0.5