1. 已知$|x|＜a$，$x$是整数，若满足条件的值有7个，则$a$的值可能是（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）A.3
B.4
C.5
D.6
答案：1.B
解析：
【分析】
首先回忆绝对值不等式的解法：当a＞0时，|x|＜a的解集为-a＜x＜a；若a≤0，不等式无解，不符合有7个整数解的条件。接下来，整数解关于0对称，7个整数解包含中间的0，剩余6个解为正负各3个，即±1、±2、±3，因此所有满足条件的整数是-3、-2、-1、0、1、2、3。接下来确定a的取值范围：要保证3在解集内、4不在解集内，即可得到a的取值区间，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵|x|＜a有解，
∴a＞0，此时不等式的解集为 $\boldsymbol{-a ＜ x ＜ a}$。
∵x是整数，且满足条件的整数有7个，
∴这7个整数为-3、-2、-1、0、1、2、3，
由此可得取值范围：$\boldsymbol{3 ＜ a \le 4}$，
结合选项，只有4在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，解含绝对值的不等式，整数的概念
【点评】
本题重点考察绝对值不等式的应用，解题关键是先根据整数解的个数确定具体的整数解，再反推参数的取值范围，解题时需注意边界值的取舍，避免因边界判断错误导致错解。
【难度系数】
0.6
首先回忆绝对值不等式的解法：当a＞0时，|x|＜a的解集为-a＜x＜a；若a≤0，不等式无解，不符合有7个整数解的条件。接下来，整数解关于0对称，7个整数解包含中间的0，剩余6个解为正负各3个，即±1、±2、±3，因此所有满足条件的整数是-3、-2、-1、0、1、2、3。接下来确定a的取值范围：要保证3在解集内、4不在解集内，即可得到a的取值区间，最后匹配选项即可。
【解析】
解：
∵|x|＜a有解，
∴a＞0，此时不等式的解集为 $\boldsymbol{-a ＜ x ＜ a}$。
∵x是整数，且满足条件的整数有7个，
∴这7个整数为-3、-2、-1、0、1、2、3，
由此可得取值范围：$\boldsymbol{3 ＜ a \le 4}$，
结合选项，只有4在该取值范围内，故选B。
【答案】
B
【知识点】
绝对值的性质，解含绝对值的不等式，整数的概念
【点评】
本题重点考察绝对值不等式的应用，解题关键是先根据整数解的个数确定具体的整数解，再反推参数的取值范围，解题时需注意边界值的取舍，避免因边界判断错误导致错解。
【难度系数】
0.6
2.若$|a-1|+|ab-2|=0$,则$\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\dots+\frac{1}{(a+2024)(b+2024)}=$
$\frac{506}{1013}$
.答案：2.$\frac{506}{1013}$ 点拨:因为$|a-1|+|ab-2|=0$,
所以$a-1=0,ab-2=0$,所以$a=1,b=2$,
所以原式=$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2026}=$
$\frac{506}{1013}$.
所以$a-1=0,ab-2=0$,所以$a=1,b=2$,
所以原式=$\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+…+\frac{1}{2025×2026}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+$
$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2026}=$
$\frac{506}{1013}$.
解析：
【分析】
解题第一步需利用绝对值的非负性：任意数的绝对值都是非负数，两个非负数相加和为0，说明两个非负数各自等于0，据此列方程求出a、b的值；再将a、b代入所求式子，观察每一项的结构，发现每一项都是两个连续正整数乘积的倒数，可使用裂项相消法，把每一项拆成两个分数的差，中间项会相互抵消，最后计算剩余首尾两项的差即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|a-1|≥0$，$|ab-2|≥0$，且$|a-1|+|ab-2|=0$，
∴ $a-1=0$，$ab-2=0$，
解得$a=1$，将$a=1$代入$ab-2=0$，得$b=2$。
把$a=1$，$b=2$代入原式，得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2025×2026}\\&=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2026}\\&=\frac{1013-1}{2026}\\&=\frac{1012}{2026}=\frac{506}{1013}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{506}{1013}$
【知识点】
绝对值的非负性，裂项相消求和，代数式求值
【点评】
本题是代数综合题，解题核心是先利用非负数的性质求出参数值，再通过裂项相消法简化分式求和运算，避免了逐项计算的繁琐，是分式简便运算的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题第一步需利用绝对值的非负性：任意数的绝对值都是非负数，两个非负数相加和为0，说明两个非负数各自等于0，据此列方程求出a、b的值；再将a、b代入所求式子，观察每一项的结构，发现每一项都是两个连续正整数乘积的倒数，可使用裂项相消法，把每一项拆成两个分数的差，中间项会相互抵消，最后计算剩余首尾两项的差即可得到结果。
【解析】
解：
∵ $|a-1|≥0$，$|ab-2|≥0$，且$|a-1|+|ab-2|=0$，
∴ $a-1=0$，$ab-2=0$，
解得$a=1$，将$a=1$代入$ab-2=0$，得$b=2$。
把$a=1$，$b=2$代入原式，得：
$\begin{aligned}原式&=\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{2025×2026}\\&=(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026})\\&=\frac{1}{2}-\frac{1}{2026}\\&=\frac{1013-1}{2026}\\&=\frac{1012}{2026}=\frac{506}{1013}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{506}{1013}$
【知识点】
绝对值的非负性，裂项相消求和，代数式求值
【点评】
本题是代数综合题，解题核心是先利用非负数的性质求出参数值，再通过裂项相消法简化分式求和运算，避免了逐项计算的繁琐，是分式简便运算的典型考法。
【难度系数】
0.6
3.数学实验室：
如图,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A,B两点之间的距离AB=|a−b|.
利用数形结合思想解答下列问题:
(1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是
(2)数轴上表示x和6的两点之间的距离为
(3)若x表示一个有理数,则|x−1|+|x+4|的最小值为
(4)若x表示一个有理数,且|x+1|+|x−3|=4,则满足条件的所有整数x的和为
(5)若x表示一个有理数,当x=
如图,点A,B在数轴上分别表示有理数a,b,A,B两点之间的距离表示为AB,在数轴上A,B两点之间的距离AB=|a−b|.
利用数形结合思想解答下列问题:
(1)数轴上表示2和6的两点之间的距离是
4
;数轴上表示1和−4的两点之间的距离是5
;(2)数轴上表示x和6的两点之间的距离为
$|x-6|$
;数轴上表示x和−3的两点之间的距离为$|x+3|$
;(3)若x表示一个有理数,则|x−1|+|x+4|的最小值为
5
;(4)若x表示一个有理数,且|x+1|+|x−3|=4,则满足条件的所有整数x的和为
5
;(5)若x表示一个有理数,当x=
3
,式子|x+2|+|x−3|+|x−4|有最小值为6
.答案：3.(1)4 5 (2)$|x-6|$ $|x+3|$ (3)5
(4)5 点拨:满足条件的x在−1和3之间,它们分别是
−1,0,1,2,3,其和为5.
(5)3 6 点拨:因为式子$|x+2|+|x-3|+|x-4|$可
看作是数轴上表示x的点到表示−2,3,4三点的距离之
和,所以当x=3时,$|x+2|+|x-3|+|x-4|$有最小
值,为$|3+2|+|3-3|+|3-4|=6$.
(4)5 点拨:满足条件的x在−1和3之间,它们分别是
−1,0,1,2,3,其和为5.
(5)3 6 点拨:因为式子$|x+2|+|x-3|+|x-4|$可
看作是数轴上表示x的点到表示−2,3,4三点的距离之
和,所以当x=3时,$|x+2|+|x-3|+|x-4|$有最小
值,为$|3+2|+|3-3|+|3-4|=6$.
解析：
【分析】
本题考查数轴上两点距离与绝对值的关系，解题核心是理解公式$AB=|a-b|$的几何意义：$|m-n|$表示数轴上表示数$m$和数$n$的两点之间的距离。解题思路如下：
1. 第(1)(2)问直接套用两点距离公式计算或列表达式即可；
2. 第(3)问将两个绝对值的和转化为$x$到两个定点的距离之和，当$x$在两个定点之间（含端点）时，距离和最小，最小值就是两个定点之间的距离；
3. 第(4)问先计算两个定点的距离，发现刚好等于等式右边的数值，因此$x$的取值范围在两个定点之间（含端点），找出范围内的整数求和即可；
4. 第(5)问是三个绝对值的和，对应$x$到三个定点的距离之和，当$x$取三个定点中中间位置的数时，距离和最小，代入计算即可得到最小值。
【解析】
(1) 根据两点距离公式，数轴上表示2和6的两点距离为$|2-6|=4$；表示1和$-4$的两点距离为$|1-(-4)|=|1+4|=5$。
(2) 数轴上表示$x$和6的两点距离为$|x-6|$；表示$x$和$-3$的两点距离为$|x-(-3)|=|x+3|$。
(3) $|x-1|$表示$x$到1的距离，$|x+4|$表示$x$到$-4$的距离。当$x$在$-4$和1之间（包括端点）时，两段距离之和最小，最小值为1与$-4$的距离，即$|1-(-4)|=5$。
(4) $|x+1|$表示$x$到$-1$的距离，$|x-3|$表示$x$到3的距离，$-1$和3之间的距离为$|3-(-1)|=4$，因此当$x$满足$-1≤ x≤3$时，两个距离之和等于4。满足条件的整数$x$为$-1,0,1,2,3$，求和得：$-1+0+1+2+3=5$。
(5) $|x+2|+|x-3|+|x-4|$表示$x$到$-2$、3、4三个点的距离之和，将三个点按大小排序为$-2＜3＜4$，当$x$取中间的数3时，距离之和最小。代入$x=3$计算：$|3+2|+|3-3|+|3-4|=5+0+1=6$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；$\boxed{5}$
(2) $\boxed{|x-6|}$；$\boxed{|x+3|}$
(3) $\boxed{5}$
(4) $\boxed{5}$
(5) $\boxed{3}$；$\boxed{6}$
【知识点】
数轴两点距离公式；绝对值的几何意义；绝对值最值求解
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将抽象的绝对值运算转化为直观的数轴上点的距离问题，能够极大简化绝对值和的最值类问题的求解过程，掌握该方法需要准确理解绝对值的几何意义，灵活套用距离公式。
【难度系数】
0.7
本题考查数轴上两点距离与绝对值的关系，解题核心是理解公式$AB=|a-b|$的几何意义：$|m-n|$表示数轴上表示数$m$和数$n$的两点之间的距离。解题思路如下：
1. 第(1)(2)问直接套用两点距离公式计算或列表达式即可；
2. 第(3)问将两个绝对值的和转化为$x$到两个定点的距离之和，当$x$在两个定点之间（含端点）时，距离和最小，最小值就是两个定点之间的距离；
3. 第(4)问先计算两个定点的距离，发现刚好等于等式右边的数值，因此$x$的取值范围在两个定点之间（含端点），找出范围内的整数求和即可；
4. 第(5)问是三个绝对值的和，对应$x$到三个定点的距离之和，当$x$取三个定点中中间位置的数时，距离和最小，代入计算即可得到最小值。
【解析】
(1) 根据两点距离公式，数轴上表示2和6的两点距离为$|2-6|=4$；表示1和$-4$的两点距离为$|1-(-4)|=|1+4|=5$。
(2) 数轴上表示$x$和6的两点距离为$|x-6|$；表示$x$和$-3$的两点距离为$|x-(-3)|=|x+3|$。
(3) $|x-1|$表示$x$到1的距离，$|x+4|$表示$x$到$-4$的距离。当$x$在$-4$和1之间（包括端点）时，两段距离之和最小，最小值为1与$-4$的距离，即$|1-(-4)|=5$。
(4) $|x+1|$表示$x$到$-1$的距离，$|x-3|$表示$x$到3的距离，$-1$和3之间的距离为$|3-(-1)|=4$，因此当$x$满足$-1≤ x≤3$时，两个距离之和等于4。满足条件的整数$x$为$-1,0,1,2,3$，求和得：$-1+0+1+2+3=5$。
(5) $|x+2|+|x-3|+|x-4|$表示$x$到$-2$、3、4三个点的距离之和，将三个点按大小排序为$-2＜3＜4$，当$x$取中间的数3时，距离之和最小。代入$x=3$计算：$|3+2|+|3-3|+|3-4|=5+0+1=6$。
【答案】
(1) $\boxed{4}$；$\boxed{5}$
(2) $\boxed{|x-6|}$；$\boxed{|x+3|}$
(3) $\boxed{5}$
(4) $\boxed{5}$
(5) $\boxed{3}$；$\boxed{6}$
【知识点】
数轴两点距离公式；绝对值的几何意义；绝对值最值求解
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，将抽象的绝对值运算转化为直观的数轴上点的距离问题，能够极大简化绝对值和的最值类问题的求解过程，掌握该方法需要准确理解绝对值的几何意义，灵活套用距离公式。
【难度系数】
0.7