1. 如图，$AB ⊥ MN$，$CD ⊥ MN$，垂足分别为B和D，BE和DF分别平分$∠ ABN$和$∠ CDN$。下列结论：①$AB // CD$；②$∠ 1 = ∠ 2$；③$CD ⊥ EF$；④$∠ E + ∠ F = 180°$。其中结论正确的序号是（
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
C
）A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
答案：1. C 点拨:因为 $AB ⊥ MN,CD ⊥ MN$,所以 $∠ABN=∠CDN=90°$,所以 $AB// CD$,故结论①正确.
因为 BE 和 DF 分别平分$∠ABN$ 和$∠CDN$,所以$∠1=\frac{1}{2}∠ABN,∠2=\frac{1}{2}∠CDN$,
所以$∠1=∠2$,故结论②正确. 因为 $CD⊥MN,EF$ 与MN 不一定平行,所以 EF 与 CD 不一定垂直,故结论③错误.
因为$∠1=∠2$,所以 $BE// DF$,所以$∠E+∠F=180°$,故结论④正确.综上,结论正确的是①②④.
因为 BE 和 DF 分别平分$∠ABN$ 和$∠CDN$,所以$∠1=\frac{1}{2}∠ABN,∠2=\frac{1}{2}∠CDN$,
所以$∠1=∠2$,故结论②正确. 因为 $CD⊥MN,EF$ 与MN 不一定平行,所以 EF 与 CD 不一定垂直,故结论③错误.
因为$∠1=∠2$,所以 $BE// DF$,所以$∠E+∠F=180°$,故结论④正确.综上,结论正确的是①②④.
解析：
【分析】
解题时可逐一验证每个结论：1. 先观察到直线AB、CD都垂直于同一条直线MN，根据平行线判定定理即可判断AB和CD的位置关系；2. 已知BE、DF分别平分直角∠ABN、∠CDN，结合角平分线的定义可推出∠1和∠2的数量关系；3. 判断③时要注意题干未给出EF和MN平行的条件，不能默认EF垂直CD；4. 由∠1=∠2可判定BE和DF平行，再根据平行线的性质判断∠E和∠F的数量关系，最后汇总正确结论即可。
【解析】
解：①因为$AB ⊥ MN$，$CD ⊥ MN$，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以$AB // CD$，故①正确；
②因为$AB ⊥ MN$，$CD ⊥ MN$，所以$∠ ABN = ∠ CDN = 90°$，又因为BE平分$∠ ABN$，DF平分$∠ CDN$，所以$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ ABN = 45°$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ CDN = 45°$，所以$∠ 1 = ∠ 2$，故②正确；
③题干未说明$EF // MN$，所以EF与CD的夹角不一定是$90°$，无法推出$CD ⊥ EF$，故③错误；
④因为$∠ 1 = ∠ 2$，同位角相等，两直线平行，所以$BE // DF$，两直线平行，同旁内角互补，所以$∠ E + ∠ F = 180°$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线相关定理的基础应用，解题时要注意结合题干给出的条件分析，不能自行添加题目未给出的隐含条件，逐一验证每个结论即可得出答案。
【难度系数】
0.8
解题时可逐一验证每个结论：1. 先观察到直线AB、CD都垂直于同一条直线MN，根据平行线判定定理即可判断AB和CD的位置关系；2. 已知BE、DF分别平分直角∠ABN、∠CDN，结合角平分线的定义可推出∠1和∠2的数量关系；3. 判断③时要注意题干未给出EF和MN平行的条件，不能默认EF垂直CD；4. 由∠1=∠2可判定BE和DF平行，再根据平行线的性质判断∠E和∠F的数量关系，最后汇总正确结论即可。
【解析】
解：①因为$AB ⊥ MN$，$CD ⊥ MN$，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，所以$AB // CD$，故①正确；
②因为$AB ⊥ MN$，$CD ⊥ MN$，所以$∠ ABN = ∠ CDN = 90°$，又因为BE平分$∠ ABN$，DF平分$∠ CDN$，所以$∠ 1 = \frac{1}{2}∠ ABN = 45°$，$∠ 2 = \frac{1}{2}∠ CDN = 45°$，所以$∠ 1 = ∠ 2$，故②正确；
③题干未说明$EF // MN$，所以EF与CD的夹角不一定是$90°$，无法推出$CD ⊥ EF$，故③错误；
④因为$∠ 1 = ∠ 2$，同位角相等，两直线平行，所以$BE // DF$，两直线平行，同旁内角互补，所以$∠ E + ∠ F = 180°$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题考查平行线相关定理的基础应用，解题时要注意结合题干给出的条件分析，不能自行添加题目未给出的隐含条件，逐一验证每个结论即可得出答案。
【难度系数】
0.8
2.如图，GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，有下列结论：①$GH// BC$；②$∠D=∠F$；③HE平分$∠AHG$；④HE⊥AB.其中正确的是
①④
.(填序号)答案：2. ①④ 点拨:因为$∠B=∠AGH$,所以 $GH// BC$,即①正确;所以$∠1=∠MGH$.
又因为$∠1=∠2$,所以$∠2=∠MGH$,所以 $DE// GF$.
因为 $GF⊥AB$,所以 $DE⊥AB$,即④正确;$∠D=∠F$,HE 平分$∠AHG$都不一定成立.
又因为$∠1=∠2$,所以$∠2=∠MGH$,所以 $DE// GF$.
因为 $GF⊥AB$,所以 $DE⊥AB$,即④正确;$∠D=∠F$,HE 平分$∠AHG$都不一定成立.
解析：
【分析】
解题时先从已知的角相等条件入手：首先观察∠B和∠AGH是同位角，根据同位角相等可判定两直线平行，验证结论①；再利用平行线的性质得到角的等量关系，结合∠1=∠2的条件判定另一组直线平行，再结合GF⊥AB的条件验证结论④；最后判断②③是否有足够的推导依据，没有对应的已知条件支撑则不成立。
【解析】
1. 验证结论①：
因为∠B=∠AGH，二者是直线GH、BC被直线AB所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$GH// BC$，故①正确。
2. 推导平行线关系：
由$GH// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠1=∠MGH$。
又已知$∠1=∠2$，等量代换得$∠2=∠MGH$，二者是直线DE、GF被直线GH所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$DE// GF$。
3. 验证结论④：
已知$GF⊥AB$，根据“如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线”，可得$DE⊥AB$，即$HE⊥AB$，故④正确。
4. 判断②③：
题中没有给出能证明$∠D=∠F$、HE平分$∠AHG$的相关条件，这两个结论不一定成立，故②③错误。
【答案】
①④
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题关键是找准角的位置关系，结合已知条件逐步推导，注意所有结论都需要有对应的定理或已知条件作为支撑，不可主观臆断未给出的边角关系。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的角相等条件入手：首先观察∠B和∠AGH是同位角，根据同位角相等可判定两直线平行，验证结论①；再利用平行线的性质得到角的等量关系，结合∠1=∠2的条件判定另一组直线平行，再结合GF⊥AB的条件验证结论④；最后判断②③是否有足够的推导依据，没有对应的已知条件支撑则不成立。
【解析】
1. 验证结论①：
因为∠B=∠AGH，二者是直线GH、BC被直线AB所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$GH// BC$，故①正确。
2. 推导平行线关系：
由$GH// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠1=∠MGH$。
又已知$∠1=∠2$，等量代换得$∠2=∠MGH$，二者是直线DE、GF被直线GH所截形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可得$DE// GF$。
3. 验证结论④：
已知$GF⊥AB$，根据“如果一条直线垂直于一组平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线”，可得$DE⊥AB$，即$HE⊥AB$，故④正确。
4. 判断②③：
题中没有给出能证明$∠D=∠F$、HE平分$∠AHG$的相关条件，这两个结论不一定成立，故②③错误。
【答案】
①④
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；垂直的定义
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，解题关键是找准角的位置关系，结合已知条件逐步推导，注意所有结论都需要有对应的定理或已知条件作为支撑，不可主观臆断未给出的边角关系。
【难度系数】
0.7
3.如图，AB//DG，AD//EF.
(1)试说明：∠1+∠2=180°；
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=138°，求∠B的度数.
(1)试说明：∠1+∠2=180°；
(2)若DG是∠ADC的平分线，∠2=138°，求∠B的度数.
答案：3. 解:(1)因为 $AD// EF$,所以$∠BAD+∠2=180°$.
因为 $AB// DG$,所以$∠BAD=∠1$,
所以$∠1+∠2=180°$.
(2)因为$∠1+∠2=180°$且$∠2=138°$,所以$∠1=42°$.
因为 DG 是$∠ADC$的平分线,所以$∠CDG=∠1=42°$.
因为 $AB// DG$,所以$∠B=∠CDG=42°$.
因为 $AB// DG$,所以$∠BAD=∠1$,
所以$∠1+∠2=180°$.
(2)因为$∠1+∠2=180°$且$∠2=138°$,所以$∠1=42°$.
因为 DG 是$∠ADC$的平分线,所以$∠CDG=∠1=42°$.
因为 $AB// DG$,所以$∠B=∠CDG=42°$.
解析：
【分析】
(1) 要证明∠1+∠2=180°，首先结合已知AD//EF，根据两直线平行，同旁内角互补，可推出∠BAD与∠2互补；再结合AB//DG，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠BAD，通过等量代换即可证得结论。
(2) 先利用(1)的结论和已知∠2的度数求出∠1的度数，再根据角平分线的定义得到∠CDG=∠1，最后结合AB//DG，根据两直线平行，同位角相等即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD//EF（已知），
∴ ∠BAD + ∠2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ AB//DG（已知），
∴ ∠BAD = ∠1（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠1 + ∠2 = 180°（等量代换）。
(2) 解：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠2 = 138°（已知），
∴ ∠1 = 180° - 138° = 42°。
∵ DG是∠ADC的平分线（已知），
∴ ∠CDG = ∠1 = 42°（角平分线的定义）。
∵ AB//DG（已知），
∴ ∠B = ∠CDG（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠B = 42°。
【答案】
(1) 证明如上；(2) ∠B=42°
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线与角平分线的基础综合题，解题时需结合已知条件灵活调用平行线对应的角的关系，通过等量代换逐步推导所求结论，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明∠1+∠2=180°，首先结合已知AD//EF，根据两直线平行，同旁内角互补，可推出∠BAD与∠2互补；再结合AB//DG，根据两直线平行，内错角相等，可得∠1=∠BAD，通过等量代换即可证得结论。
(2) 先利用(1)的结论和已知∠2的度数求出∠1的度数，再根据角平分线的定义得到∠CDG=∠1，最后结合AB//DG，根据两直线平行，同位角相等即可求出∠B的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD//EF（已知），
∴ ∠BAD + ∠2 = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ AB//DG（已知），
∴ ∠BAD = ∠1（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠1 + ∠2 = 180°（等量代换）。
(2) 解：
∵ ∠1 + ∠2 = 180°，∠2 = 138°（已知），
∴ ∠1 = 180° - 138° = 42°。
∵ DG是∠ADC的平分线（已知），
∴ ∠CDG = ∠1 = 42°（角平分线的定义）。
∵ AB//DG（已知），
∴ ∠B = ∠CDG（两直线平行，同位角相等），
∴ ∠B = 42°。
【答案】
(1) 证明如上；(2) ∠B=42°
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线与角平分线的基础综合题，解题时需结合已知条件灵活调用平行线对应的角的关系，通过等量代换逐步推导所求结论，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8