1. 大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将−1,2,−3,4,−5,6,−7,8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为 （
A.−6或−3
B.−8或1
C.−1或−4
D.1或−1
A
）A.−6或−3
B.−8或1
C.−1或−4
D.1或−1
答案：
1.A 点拨:如答图,设小圈上的数为c,大圈上的数为d,
-1+2-3+4-5+6-7+8=4.因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,所以两个圈上的数字和是2,横、竖上的数字和也各是2,所以-7+6+b+8=2,得b=-5.又因为6+4+b+c=2,得c=-3,所以a+c+4+d=2,a+d=1.因为当a=-1时,d=2,则a+b=-1+(-5)=-6;当a=2时,d=-1,则a+b=2+(-5)=-3.
1.A 点拨:如答图,设小圈上的数为c,大圈上的数为d,
-1+2-3+4-5+6-7+8=4.因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等,所以两个圈上的数字和是2,横、竖上的数字和也各是2,所以-7+6+b+8=2,得b=-5.又因为6+4+b+c=2,得c=-3,所以a+c+4+d=2,a+d=1.因为当a=-1时,d=2,则a+b=-1+(-5)=-6;当a=2时,d=-1,则a+b=2+(-5)=-3.
解析：
【分析】
解题时先计算给出的8个数字的总和，结合“横、竖、内外圈4个数字和相等”的条件，可推导出每组的和为总和的一半。先利用竖列已知数求出b的值，再利用小圈的和求出中间空白数c的值，接着根据横线的和得到a与d的数量关系，最后结合剩余未使用的数字分类讨论，即可求出a+b的所有可能值。
【解析】
首先计算所有数字的总和：
$-1+2-3+4-5+6-7+8=4$
因为内外两圈的数字和相等，且横、竖的4个数字和也相等，可得每组的和为$4÷2=2$。
1. 求b的值：竖列四个数为$-7、6、b、8$，和为2，列等式：
$-7+6+b+8=2$
计算得$7+b=2$，解得$b=-5$。
2. 求小圈空白数c的值：小圈四个数为$6、4、b、c$，和为2，代入$b=-5$：
$6+4+(-5)+c=2$
计算得$5+c=2$，解得$c=-3$。
3. 推导a与d的关系：横线四个数为$a、c、4、d$，和为2，代入$c=-3$：
$a+(-3)+4+d=2$
计算得$a+d=1$。
4. 分类讨论：已使用的数字为$-7、6、8、4、-5、-3$，剩余未使用的数字为$-1、2$，即a的取值只能是-1或2：
① 当$a=-1$时，$d=2$，此时$a+b=-1+(-5)=-6$；
② 当$a=2$时，$d=-1$，此时$a+b=2+(-5)=-3$。
综上，$a+b$的值为$-6$或$-3$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数加减法，数字规律探究，分类讨论思想
【点评】
本题以创新幻圆游戏为载体，考查有理数的加减运算与逻辑推理能力，解题的核心是先确定各组的固定和，再逐步求解未知量，最后结合剩余数字分类讨论得到结果，兼具趣味性和知识性，能有效锻炼分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先计算给出的8个数字的总和，结合“横、竖、内外圈4个数字和相等”的条件，可推导出每组的和为总和的一半。先利用竖列已知数求出b的值，再利用小圈的和求出中间空白数c的值，接着根据横线的和得到a与d的数量关系，最后结合剩余未使用的数字分类讨论，即可求出a+b的所有可能值。
【解析】
首先计算所有数字的总和：
$-1+2-3+4-5+6-7+8=4$
因为内外两圈的数字和相等，且横、竖的4个数字和也相等，可得每组的和为$4÷2=2$。
1. 求b的值：竖列四个数为$-7、6、b、8$，和为2，列等式：
$-7+6+b+8=2$
计算得$7+b=2$，解得$b=-5$。
2. 求小圈空白数c的值：小圈四个数为$6、4、b、c$，和为2，代入$b=-5$：
$6+4+(-5)+c=2$
计算得$5+c=2$，解得$c=-3$。
3. 推导a与d的关系：横线四个数为$a、c、4、d$，和为2，代入$c=-3$：
$a+(-3)+4+d=2$
计算得$a+d=1$。
4. 分类讨论：已使用的数字为$-7、6、8、4、-5、-3$，剩余未使用的数字为$-1、2$，即a的取值只能是-1或2：
① 当$a=-1$时，$d=2$，此时$a+b=-1+(-5)=-6$；
② 当$a=2$时，$d=-1$，此时$a+b=2+(-5)=-3$。
综上，$a+b$的值为$-6$或$-3$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
有理数加减法，数字规律探究，分类讨论思想
【点评】
本题以创新幻圆游戏为载体，考查有理数的加减运算与逻辑推理能力，解题的核心是先确定各组的固定和，再逐步求解未知量，最后结合剩余数字分类讨论得到结果，兼具趣味性和知识性，能有效锻炼分析问题的能力。
【难度系数】
0.6
2.如图,在一个由6个圆圈组成的三角形里,把1到6这6个数分别填入小圆圈内,使得三角形的每条边上的三个数的和S都相等,那么S的最大值是 (
A.9
B.10
C.12
D.13
C
)A.9
B.10
C.12
D.13
答案：
2.C 点拨:三角形的三个顶点处的数字是1~6这6个数中最大的三个数字,即三个顶点处分别是4,5,6,4与5之间是3,6和5之间是1,4和6之间是2,这样每条边上的三个数的和才能相等.由答图可知S=3+4+5=12.
2.C 点拨:三角形的三个顶点处的数字是1~6这6个数中最大的三个数字,即三个顶点处分别是4,5,6,4与5之间是3,6和5之间是1,4和6之间是2,这样每条边上的三个数的和才能相等.由答图可知S=3+4+5=12.
解析：
【分析】
要找到每条边三个数的和S的最大值，首先观察三角形结构：三个顶点的数字会被相邻两条边各计算1次，属于重复计算的部分。三条边的总和等于3S，同时也等于1~6所有数的总和加上三个顶点的数字之和。因此要让S最大，需要让三个顶点的数字之和尽可能大，且顶点和要满足能被3整除（因为S是整数，3S是整数）。先计算1~6的总和，再找1~6中最大的三个数的和，验证是否满足整除要求，最后验证填法是否成立即可。
【解析】
1. 先计算1到6的数字总和：$1+2+3+4+5+6=21$
2. 推导S的表达式：三个顶点的数字会被两条边共用，因此三条边的数字总和$3S=21+\mathrm{三个顶点的数字和}$，整理得$S=\frac{21+\mathrm{三个顶点的和}}{3}=7+\frac{\mathrm{三个顶点的和}}{3}$
3. 求顶点和的最大值：要S最大，需顶点和尽可能大且是3的倍数。1~6中最大的三个数是4、5、6，和为$4+5+6=15$，15是3的倍数，符合要求。
4. 计算S并验证：代入得$S=7+\frac{15}{3}=12$，按答图填数后，三条边的和分别为$4+3+5=12$、$5+1+6=12$、$4+2+6=12$，均相等，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
有理数加法、数阵规律、最值计算
【点评】
本题的解题突破口是发现顶点数字会被重复计算，通过建立边和与总数字和、顶点和的关系，将求S最大值的问题转化为求顶点数字和的最大值问题，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要找到每条边三个数的和S的最大值，首先观察三角形结构：三个顶点的数字会被相邻两条边各计算1次，属于重复计算的部分。三条边的总和等于3S，同时也等于1~6所有数的总和加上三个顶点的数字之和。因此要让S最大，需要让三个顶点的数字之和尽可能大，且顶点和要满足能被3整除（因为S是整数，3S是整数）。先计算1~6的总和，再找1~6中最大的三个数的和，验证是否满足整除要求，最后验证填法是否成立即可。
【解析】
1. 先计算1到6的数字总和：$1+2+3+4+5+6=21$
2. 推导S的表达式：三个顶点的数字会被两条边共用，因此三条边的数字总和$3S=21+\mathrm{三个顶点的数字和}$，整理得$S=\frac{21+\mathrm{三个顶点的和}}{3}=7+\frac{\mathrm{三个顶点的和}}{3}$
3. 求顶点和的最大值：要S最大，需顶点和尽可能大且是3的倍数。1~6中最大的三个数是4、5、6，和为$4+5+6=15$，15是3的倍数，符合要求。
4. 计算S并验证：代入得$S=7+\frac{15}{3}=12$，按答图填数后，三条边的和分别为$4+3+5=12$、$5+1+6=12$、$4+2+6=12$，均相等，符合题意。
【答案】
C
【知识点】
有理数加法、数阵规律、最值计算
【点评】
本题的解题突破口是发现顶点数字会被重复计算，通过建立边和与总数字和、顶点和的关系，将求S最大值的问题转化为求顶点数字和的最大值问题，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
3. 观察下面的算式：$1+3=4=2^2$；$1+3+5=9=3^2$；$1+3+5+7=16=4^2$……
解答问题：
(1)$1+3+5+7+9+\dots+29=$
(2)若$n$表示正整数，则用含$n$的代数式表示上述规律为
(3)请用上述规律计算$41+43+45+47+49+\dots+2023+2025$的值(要求写出详细的解答过程)。
解答问题：
(1)$1+3+5+7+9+\dots+29=$
225
；(2)若$n$表示正整数，则用含$n$的代数式表示上述规律为
$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=n^2$
；(3)请用上述规律计算$41+43+45+47+49+\dots+2023+2025$的值(要求写出详细的解答过程)。
答案：3. (1)225
(2)$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=n^2$
(3)解:因为$2n-1=2025$,所以$n=1013$,
所以原式$=1+3+5+7+9+\dots+2023+2025-(1+3+5+7+9+\dots+39)=1013^2-20^2=1026169-400=1025769.$
(2)$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=n^2$
(3)解:因为$2n-1=2025$,所以$n=1013$,
所以原式$=1+3+5+7+9+\dots+2023+2025-(1+3+5+7+9+\dots+39)=1013^2-20^2=1026169-400=1025769.$
解析：
【分析】
首先观察给出的已知算式，可发现规律：从1开始的连续奇数相加，所得的和等于奇数的个数的平方。解题时可依据该规律逐步解决三个问题：
1. 解决第(1)问：先计算1到29之间共有多少个连续奇数，再用个数的平方得到结果；
2. 解决第(2)问：明确n个从1开始的连续奇数的最后一项为2n-1，直接总结规律即可；
3. 解决第(3)问：所求式子不是从1开始的连续奇数求和，可转化为“从1到2025的所有连续奇数的和”减去“从1到39的所有连续奇数的和”，再套用规律计算即可。
【解析】
先总结题干规律：从1开始的连续k个奇数相加，和为k²，其中第k个奇数为2k-1。
(1) 设29是第k个奇数，则2k-1=29，解得k=15，即共有15个连续奇数相加，因此和为$15^2=225$；
(2) n表示正整数时，从1开始的n个连续奇数的最后一项为2n-1，因此规律为$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$；
(3) 所求式子是从41到2025的连续奇数之和，利用“整体减去部分”的方法计算：
① 先求1到2025的连续奇数之和：令$2n-1=2025$，解得$n=(2025+1)÷2=1013$，因此$1+3+5+\dots+2025=1013^2$；
② 再求1到39的连续奇数之和：令$2n-1=39$，解得$n=(39+1)÷2=20$，因此$1+3+5+\dots+39=20^2$；
③ 两式相减得原式的值：$1013^2 - 20^2 = 1026169 - 400 = 1025769$。
【答案】
(1)$225$；(2)$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=n^2$；(3)$1025769$
【知识点】
数字规律探究，有理数加减运算，乘方运算
【点评】
本题核心是考查对数字变化规律的观察、归纳与应用能力，解题的关键是先从给出的特例中总结出通用规律，再灵活转换待求式子，使其符合规律的适用条件，进而快速求解，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7
首先观察给出的已知算式，可发现规律：从1开始的连续奇数相加，所得的和等于奇数的个数的平方。解题时可依据该规律逐步解决三个问题：
1. 解决第(1)问：先计算1到29之间共有多少个连续奇数，再用个数的平方得到结果；
2. 解决第(2)问：明确n个从1开始的连续奇数的最后一项为2n-1，直接总结规律即可；
3. 解决第(3)问：所求式子不是从1开始的连续奇数求和，可转化为“从1到2025的所有连续奇数的和”减去“从1到39的所有连续奇数的和”，再套用规律计算即可。
【解析】
先总结题干规律：从1开始的连续k个奇数相加，和为k²，其中第k个奇数为2k-1。
(1) 设29是第k个奇数，则2k-1=29，解得k=15，即共有15个连续奇数相加，因此和为$15^2=225$；
(2) n表示正整数时，从1开始的n个连续奇数的最后一项为2n-1，因此规律为$1+3+5+7+\dots+(2n-1)=n^2$；
(3) 所求式子是从41到2025的连续奇数之和，利用“整体减去部分”的方法计算：
① 先求1到2025的连续奇数之和：令$2n-1=2025$，解得$n=(2025+1)÷2=1013$，因此$1+3+5+\dots+2025=1013^2$；
② 再求1到39的连续奇数之和：令$2n-1=39$，解得$n=(39+1)÷2=20$，因此$1+3+5+\dots+39=20^2$；
③ 两式相减得原式的值：$1013^2 - 20^2 = 1026169 - 400 = 1025769$。
【答案】
(1)$225$；(2)$1+3+5+7+9+\dots+(2n-1)=n^2$；(3)$1025769$
【知识点】
数字规律探究，有理数加减运算，乘方运算
【点评】
本题核心是考查对数字变化规律的观察、归纳与应用能力，解题的关键是先从给出的特例中总结出通用规律，再灵活转换待求式子，使其符合规律的适用条件，进而快速求解，能有效锻炼逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.7