1.有若干个数,第一个数记为$a_1$,第二个数记为$a_2$,第三个数记为$a_3$,$···$,第$n$个数记为$a_n$.若$a_1=10$,从第二个数起,每个数都等于1与它前面那个数的差的倒数,则$a_{2024}$的值为 (
A.$-\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{9}{10}$
C.$10$
D.$\dfrac{10}{9}$
A
)A.$-\dfrac{1}{9}$
B.$\dfrac{9}{10}$
C.$10$
D.$\dfrac{10}{9}$
答案：1.A 点拨:因为$a_1=10$,$a_2=\dfrac{1}{1-10}=-\dfrac{1}{9}$,$a_3=\dfrac{1}{1-(-\dfrac{1}{9})}=\dfrac{9}{10}$,$a_4=\dfrac{1}{1-\dfrac{9}{10}}=10$,$\dots$,所以$a_1,a_2,a_3,a_4,\dots,a_n$以$10$,$-\dfrac{1}{9}$,$\dfrac{9}{10}$为一个循环组无限循环下去.
因为$2024÷3=674······2$,所以$a_{2024}$的值与$a_2$的值相同,即为$-\dfrac{1}{9}$.
因为$2024÷3=674······2$,所以$a_{2024}$的值与$a_2$的值相同,即为$-\dfrac{1}{9}$.
解析：
【分析】
遇到此类求序号极大的数列项的问题，无需逐项计算，首先按照题目给出的递推规则计算前若干项，观察是否存在周期循环规律；找到循环周期后，用所求项的序号除以周期，根据余数即可判断所求项与循环组内第几项的数值相同，进而得到结果。
【解析】
解：由题意得：
$a_1=10$，
$a_2=\dfrac{1}{1-a_1}=\dfrac{1}{1-10}=-\dfrac{1}{9}$，
$a_3=\dfrac{1}{1-a_2}=\dfrac{1}{1-(-\dfrac{1}{9})}=\dfrac{9}{10}$，
$a_4=\dfrac{1}{1-a_3}=\dfrac{1}{1-\dfrac{9}{10}}=10$，
……
可发现数列以$10$，$-\dfrac{1}{9}$，$\dfrac{9}{10}$为一个循环组依次循环，周期为3。
因为$2024÷3=674······2$，即2024除以3余数为2，
所以$a_{2024}$的值和循环组中第2个数的数值相同，即$a_{2024}=a_2=-\dfrac{1}{9}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
规律探究，倒数运算，周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题的核心是通过计算前几项确定数列的循环周期，再利用周期简化大数序号的项的求解，是规律类题型中的常见考法，掌握找循环周期的思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
遇到此类求序号极大的数列项的问题，无需逐项计算，首先按照题目给出的递推规则计算前若干项，观察是否存在周期循环规律；找到循环周期后，用所求项的序号除以周期，根据余数即可判断所求项与循环组内第几项的数值相同，进而得到结果。
【解析】
解：由题意得：
$a_1=10$，
$a_2=\dfrac{1}{1-a_1}=\dfrac{1}{1-10}=-\dfrac{1}{9}$，
$a_3=\dfrac{1}{1-a_2}=\dfrac{1}{1-(-\dfrac{1}{9})}=\dfrac{9}{10}$，
$a_4=\dfrac{1}{1-a_3}=\dfrac{1}{1-\dfrac{9}{10}}=10$，
……
可发现数列以$10$，$-\dfrac{1}{9}$，$\dfrac{9}{10}$为一个循环组依次循环，周期为3。
因为$2024÷3=674······2$，即2024除以3余数为2，
所以$a_{2024}$的值和循环组中第2个数的数值相同，即$a_{2024}=a_2=-\dfrac{1}{9}$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
规律探究，倒数运算，周期问题
【点评】
本题是典型的数字规律探究题，解题的核心是通过计算前几项确定数列的循环周期，再利用周期简化大数序号的项的求解，是规律类题型中的常见考法，掌握找循环周期的思路即可快速解题。
【难度系数】
0.7
2. 对于 $ x＞0 $，规定 $ f(x)=\frac{x}{x+1} $，例如 $ f(2)=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3} $，$ f(\frac{1}{2})=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{1}{3} $，那么 $ f(\frac{1}{2024})+f(\frac{1}{2023})+\dots +f(\frac{1}{3})+f(\frac{1}{2})+f(1)+f(2)+\dots +f(2024)= $
2023.5
答案：2.2023.5 点拨:因为$f(1)=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}$,$f(2)=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$,$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}+1}=\dfrac{1}{3}$,$f(3)=\dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4}$,$f(\dfrac{1}{3})=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}+1}=\dfrac{1}{4}$,$\dots$,所以$f(2)+f(\dfrac{1}{2})=1$,$f(3)+f(\dfrac{1}{3})=1$,$\dots$,所以原式$=f(1)+[f(2)+f(\dfrac{1}{2})]+[f(3)+f(\dfrac{1}{3})]+\dots+[f(2024)+f(\dfrac{1}{2024})]=0.5+1×2023=2023.5$.
解析：
【分析】
首先观察题目给出的新定义运算规则，先计算$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和，推导得出二者相加为1的规律；再观察所求的算式，发现除$f(1)$外，其余项均可凑成“$f(n)+f(\frac{1}{n})$”的形式，每对的和为1，统计凑成的对数后，再加上$f(1)$的值即可求出总和。
【解析】
解：根据新定义运算规则计算：
1. 计算特殊值与通用规律：
$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
对任意$x＞0$，$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$
2. 分组计算原式：
所求算式除$f(1)$外，从2到2024共有2023组$f(n)+f(\frac{1}{n})$，每组和为1，因此：
$\begin{aligned}原式&=[f(\frac{1}{2024})+f(2024)]+[f(\frac{1}{2023})+f(2023)]+\dots +[f(\frac{1}{2})+f(2)]+f(1)\\&=1×2023+\frac{1}{2}\\&=2023+0.5\\&=2023.5\end{aligned}$
【答案】
2023.5
【知识点】
新定义运算，规律探究，有理数加法
【点评】
本题核心是通过推导得出$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和为定值1的规律，利用分组凑整的方法简化计算，避免了逐项计算的繁琐，考查了观察归纳能力和简便运算的思维。
【难度系数】
0.6
首先观察题目给出的新定义运算规则，先计算$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和，推导得出二者相加为1的规律；再观察所求的算式，发现除$f(1)$外，其余项均可凑成“$f(n)+f(\frac{1}{n})$”的形式，每对的和为1，统计凑成的对数后，再加上$f(1)$的值即可求出总和。
【解析】
解：根据新定义运算规则计算：
1. 计算特殊值与通用规律：
$f(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$
对任意$x＞0$，$f(x)+f(\frac{1}{x})=\frac{x}{x+1}+\frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}+1}=\frac{x}{x+1}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x+1}=1$
2. 分组计算原式：
所求算式除$f(1)$外，从2到2024共有2023组$f(n)+f(\frac{1}{n})$，每组和为1，因此：
$\begin{aligned}原式&=[f(\frac{1}{2024})+f(2024)]+[f(\frac{1}{2023})+f(2023)]+\dots +[f(\frac{1}{2})+f(2)]+f(1)\\&=1×2023+\frac{1}{2}\\&=2023+0.5\\&=2023.5\end{aligned}$
【答案】
2023.5
【知识点】
新定义运算，规律探究，有理数加法
【点评】
本题核心是通过推导得出$f(x)$与$f(\frac{1}{x})$的和为定值1的规律，利用分组凑整的方法简化计算，避免了逐项计算的繁琐，考查了观察归纳能力和简便运算的思维。
【难度系数】
0.6
3.定义:$a$是不为1的有理数,我们把$\frac{1}{1-a}$称为$a$的差倒数.例如:2的差倒数是$\frac{1}{1-2}=-1$,$-1$的差倒数是$\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$.已知$a_1=-\frac{1}{3}$,$a_2$是$a_1$的差倒数,$a_3$是$a_2$的差倒数,$a_4$是$a_3$的差倒数,……依此类推,解答下列问题:
(1)$a_2=$
(2)求$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2025}$的值.
(1)$a_2=$
$\dfrac{3}{4}$
,$a_3=$$4$
,$a_4=$$-\dfrac{1}{3}$
;(2)求$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2025}$的值.
答案：3.(1)$\dfrac{3}{4}$ $4$ $-\dfrac{1}{3}$ 点拨:由题意可得,当$a_1=-\dfrac{1}{3}$时,$a_2=\dfrac{1}{1-(-\dfrac{1}{3})}=\dfrac{3}{4}$,$a_3=\dfrac{1}{1-\dfrac{3}{4}}=4$,$a_4=\dfrac{1}{1-4}=-\dfrac{1}{3}$.
(2)解:由(1)知这列数以$-\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{3}{4}$,$4$为一个循环组,依次出现.
因为$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}+4=-\dfrac{4}{12}+\dfrac{9}{12}+\dfrac{48}{12}=\dfrac{53}{12}$,$2025÷3=675$,所以$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2025}=(a_1+a_2+a_3)+\dots+(a_{2023}+a_{2024}+a_{2025})=\dfrac{53}{12}×675=\dfrac{11925}{4}$.
(2)解:由(1)知这列数以$-\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{3}{4}$,$4$为一个循环组,依次出现.
因为$-\dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{4}+4=-\dfrac{4}{12}+\dfrac{9}{12}+\dfrac{48}{12}=\dfrac{53}{12}$,$2025÷3=675$,所以$a_1+a_2+a_3+\dots+a_{2025}=(a_1+a_2+a_3)+\dots+(a_{2023}+a_{2024}+a_{2025})=\dfrac{53}{12}×675=\dfrac{11925}{4}$.
解析：
【分析】
本题是结合新定义的规律探究题，解题思路如下：①先正确理解“差倒数”的定义：对于不为1的有理数a，它的差倒数为$\frac{1}{1-a}$；②解决第(1)问时，直接将前一个数代入差倒数的公式，依次计算$a_2、a_3、a_4$即可；③观察计算出的前4项结果，会发现数列每3项为一个循环周期，解决第(2)问时，先算出1个周期内3个数的和，再计算2025里包含多少个完整周期，用周期数乘单个周期的和就能得到最终总和。
【解析】
(1) 根据差倒数的定义计算：
已知$a_1=-\frac{1}{3}$，
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$；
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$。
(2) 由(1)的计算结果可知，这列数按$-\frac{1}{3}、\frac{3}{4}、4$的顺序依次循环，每3个数为1个周期。
先计算单个周期的和：
$a_1+a_2+a_3=-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}+4=-\frac{4}{12}+\frac{9}{12}+\frac{48}{12}=\frac{53}{12}$
再计算2025包含的周期数：$2025÷3=675$，即刚好包含675个完整周期。
因此总和为：$\frac{53}{12}×675=\frac{11925}{4}$
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$，$4$，$-\frac{1}{3}$；
(2) $\frac{11925}{4}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题将新定义运算与规律探究结合，核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期简化求和计算，解题时需注意有理数运算的准确性，避免通分、约分步骤出错。
【难度系数】
0.7
本题是结合新定义的规律探究题，解题思路如下：①先正确理解“差倒数”的定义：对于不为1的有理数a，它的差倒数为$\frac{1}{1-a}$；②解决第(1)问时，直接将前一个数代入差倒数的公式，依次计算$a_2、a_3、a_4$即可；③观察计算出的前4项结果，会发现数列每3项为一个循环周期，解决第(2)问时，先算出1个周期内3个数的和，再计算2025里包含多少个完整周期，用周期数乘单个周期的和就能得到最终总和。
【解析】
(1) 根据差倒数的定义计算：
已知$a_1=-\frac{1}{3}$，
$a_2=\frac{1}{1-a_1}=\frac{1}{1-(-\frac{1}{3})}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$；
$a_3=\frac{1}{1-a_2}=\frac{1}{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$；
$a_4=\frac{1}{1-a_3}=\frac{1}{1-4}=-\frac{1}{3}$。
(2) 由(1)的计算结果可知，这列数按$-\frac{1}{3}、\frac{3}{4}、4$的顺序依次循环，每3个数为1个周期。
先计算单个周期的和：
$a_1+a_2+a_3=-\frac{1}{3}+\frac{3}{4}+4=-\frac{4}{12}+\frac{9}{12}+\frac{48}{12}=\frac{53}{12}$
再计算2025包含的周期数：$2025÷3=675$，即刚好包含675个完整周期。
因此总和为：$\frac{53}{12}×675=\frac{11925}{4}$
【答案】
(1) $\frac{3}{4}$，$4$，$-\frac{1}{3}$；
(2) $\frac{11925}{4}$
【知识点】
新定义运算，周期规律探究，有理数混合运算
【点评】
本题将新定义运算与规律探究结合，核心是通过计算前几项找到数列的循环周期，再利用周期简化求和计算，解题时需注意有理数运算的准确性，避免通分、约分步骤出错。
【难度系数】
0.7